△B'ECの面積を２とすると、
BE=CEゆえ △B'BE=△B'EC=2 △BEFと△B'EFは合同であるから
△BEF=△B'EF=1
次に二つの直角三角形 △ABFと△BEFは相似で相似比はAB:BE=2:1なので △ABF=4
また△ABFと△AB'Fは合同なので、△AB'F=4
△ABEは正方形ＡＢＣＤの４分の１の面積なので
全体の面積は２０
△ABB'+△B'CDは正方形の面積の半分なので、
△ABB'+△B'CD=１０
ゆえに△B'CD=２
答え △B'CDは正方形の１/１０倍の面積である
Ｂ' からＣＤに下ろした垂線の足をＧとするとき
ＣＢ'：ＣＦ＝Ｂ'Ｇ：ＦＤ・・・・・・(1)
ところでＥＡ//ＣＦなので、ＦＤ＝ＡＤ/２・・・・・・(2)
ＢＢ'とＡＥの交点をＢ''とすればＥＢ''：Ｂ''Ａ＝１：４・・・・・・(3)
(3)からＣＢ'：ＥＡ＝２：５・・・・・・(4)
(2),(4)から Ｂ'Ｇ：ＦＤ＝２：５
よって Ｂ'Ｇ：ＡＤ＝１：５
よって 面積比は１：10
すると、BとB'はAEを軸にした線対称な図形ですからBB'とAEは垂直に交わります。
よって△EPBや△BPAなどは△ABEと相似になります。
さて、ここで△ABB'と△CDB'の面積の和は正方形全体の半分です。
また△ABB'とEBB'の面積の和も正方形全体の半分の面積です。
ですからCDB'とEBB'の面積は等しいことになります。
前述の相似関係よりEP:PB=1:2 PB:PA=2:4とわかるのでPEはAEの1/5の長さです。
よって三角形EBB'の面積は四角形ABEB'の1/5となって、全体の1/10です。
答；1/10倍
B'から辺ABへの垂線の足をFとする。
B'F=x，AF=yとする。
四角形ABEB'の面積はa2/2。
これを、△ＡＦＢ’と台形ＦＢ’ＥＢに分けて考えると、
xy/2+(a/2+x)(a-y)/2=a2/2
整理すると、
ｙ＝2x-a......... .1)
△AFB'は直角三角形で、AB=AB'。
ピタゴラスの定理より、
x2+y2=a2............2)
1),2)より
x=4a/5, y=3a/5
△B'CDの面積は、
a*1/5*a*1/2=a2/10
正方形の面積は、 a*a=a2
したがって、1/10倍となる。
答え 1/10倍
△EB"B,△EB"B',△NB'Cは合同で、 短辺：長辺＝１：２の直角三角形である。
つまり、BB":B"B':BN = 2:2:1
よって、△NB'C = 1/5△NBC = 1/20×正方形ABCD
求めるDB'Cはその2倍で、正方形ABCDの 1/10 となる。
△AB'E∽△AGB'∽△B'GE
∵∠BAE＝αとすると
∠AEB＝90°−αで、∠ABG＝∠AB'G＝90°−α
また、∠GBE＝∠GB'E＝αで、∠BEG＝∠B'EG＝90°−α
より、AG：GB'＝B'G：GE＝2：1
B'G＝Xとすると、AG＝2X、GE＝X/2
よって AE＝AG＋GE＝5X/2
□ABCDの面積＝Sとすると、
△AEB'の面積＝1/2・AE・B'G＝X/2・5X/2＝5X2/4＝S/4
よって、S＝5X2
△GB'Eの面積＝1/2・GE・B'G＝1/2・X/2・X＝X2/4
また、△B'BEの面積＝△B'ECの面積(∵EはBCの中点) かつ、
△B'BEの面積＝2・△GB'Eの面積＝2・X2/4＝X2/2
よって、△B'ECの面積＝X2/2
ここで、△B'ECの面積＋△B'FDの面積＝S/4＝5X2/4 であることがわかり、
△B'FDの面積＝5X2/4−△B'ECの面積＝3X2/4
よって、△B'ADの面積＝2・△B'FDの面積＝3X2/2
従って、
△B'CDの面積＝S−△B'ADの面積−△B'ECの面積−△ABEの面積−△AB'Eの面積 ＝S−3X2/2−X2/2−S/4−S/4
＝S/2−4X2/2
＝5X2/2−4X2/2
＝X2/2
＝S/10
以上より、△B'CDの面積は正方形ABCDの1/10となります。
B'より辺CDに垂線をひきその交点をFとし、B'F=h、DF=x、FC=yとする。
辺AB=2aとすると、正方形ABCDの面積は4a2、
△ABEと△AEB'の面積 の和は2a2。
台形AB'FDと台形EB'FCの面積の和は (2a+h)x/2+(a+h)y/2=2a2 ・・・(1)
ここでx+y=2aよりy=2a-x
これを(1)に代入し整理すると
x=2(a-h)、y=2h
B'より辺ECに垂線をひきその交点をGとすると、
B'G=y=2h なので
△B'EGから a2=4h2+(a-h)2
これより h=2a/5
△B'CDの面積は ah なので ah/4a2=h/4a=1/10・・・答え
△ＡＢＥ、△ＡＦＢ、△ＢＦＥは相似だから、
ＡＦ：ＢＦ＝ＢＦ：ＥＦ＝２：１
したがって、
ＡＦ：ＦＥ＝４：１
∴△ＡＦＢ：△ＢＦＥ＝４：１
△ＢＦＥの面積を１とすると、
△Ｂ’ＢＥ＝△Ｂ’ＥＣ であるから、△Ｂ’ＢＣは４
△ＡＢＥは５だから、正方形ＡＢＣＤは２０
△ＡＢ’Ｄ＋△Ｂ’ＢＣは１０になるので、△ＡＢ’Ｄは６
正方形の面積から、△Ｂ’ＣＤ以外を全て除くと、残りは２
よって、△Ｂ’ＣＤは正方形ＡＢＣＤの 1/10 倍
ＡＥとＢＢ’との交点をＧ、Ｂ’からＢＣへの垂線の足をＨとする。
△ＢＢ’Ｈ と △ＢＥＧ の相似から
ＢＨ：ＢＢ’＝ＢＧ：ＢＥ
ＢＢ’＝２・ＢＧ
より
ＢＨ＝２・ＢＧ2/ＢＥ…(1)
また、 △ＡＢＧ と △ＡＥＢ の相似から
ＢＧ：ＡＢ＝ＢＥ：ＡＥ
より
ＢＧ＝ＡＢ・ＢＥ/ＡＥ…(2)
(2) を (1) に代入して、両辺をＡＢで割ると
ＢＨ/ＡＢ＝２・ＡＢ・ＢＥ/ＡＥ2…(3)
また、△ＡＢＥにおいて、ピタゴラスの定理より
ＡＥ2＝ＡＢ2＋ＢＥ2…(4)
(4) を (3) に代入して
ＢＨ/ＡＢ＝２・ＡＢ・ＢＥ/(ＡＢ2＋ＢＥ2)＝２・(ＢＥ/ＡＢ)/(１＋(ＢＥ/ＡＢ)2)
両辺に ＡＢ/ＢＣ をかけて整理すると
ＢＨ/ＢＣ=２・(ＢＥ/ＢＣ)/(１＋(ＢＥ/ＢＣ)2(ＢＣ/ＡＢ)2)
ＢＥ/ＢＣ＝ｘ、 ＢＣ/ＡＢ＝ｙ とおくと
ＢＨ/ＢＣ=２ｘ/(１＋ｘ2ｙ2)
であり
△Ｂ’ＣＤ/□ＡＢＣＤ＝ＨＣ/２ＢＣ＝(１−ＢＨ/ＢＣ)/２＝(１−２ｘ/(１＋ｘ2ｙ2))/２
この問題では、□ＡＢＣＤ は正方形なので ｙ＝１、点ＥはＢＣの中点なので ｘ＝1/2 とおくと、
△Ｂ’ＣＤ/□ＡＢＣＤ＝1/10
与えられた条件より、
四角形ABEB´と四角形ECFB´は相似で相似比は2：1であることがわかり、
図の○で表す長さの比の関係がわかる。
よって、 □ABCD＝１とすると、
CF：FD＝1：3 、AB´：B´F＝4：１より、
△B´FD＝1×3/4×1/2×1/5＝3/40
さらに、
FD：CD＝3：4より、
△B´CD＝△B´FD×4/3＝4/40＝1/10
したがって、1/10倍である。