問題
△ABCにおいて、AB=(3,√3),AC=(s,-√3)とする。ただし、ｓ は正の数である。
△ABCの三辺の長さの和が最小となるとき
(1)sはいくらか？
(2)AB・BC+BC・CA+CA・ABはいくらか？
(3)△ABCの外接円の円の中心をRとすると、cos∠BARはいくらか？
※太字はベクトル
解答
(1)
点Ａを原点として、座標上に点Ｂ、Ｃを取ると上図のようになる。
点Ｃはｘ軸に平行な直線 ｙ＝−√3 上にある。
いま、ＡＢの長さは一定なので、ＡＣ＋ＢＣが最小となる点Ｃの位置を見つければよい。
直線ｙ＝−√3に対して、点Ａと対称な点Ａ’を取ると、ＡＣ＝Ａ’Ｃなので、
Ａ’ＣＢが最小になる位置、つまりＡ’ＣＢが一直線になる位置（上図のＣmin）で、ＡＣＢも最小となる。
このとき、Ａ’Ｃ：Ａ’Ｂ＝１：３なので、Ｃの座標は、（１，−√3） 答え ｓ＝１
(2)
このとき、AB=(3,√3), CA＝(-1, √3)、BC＝AC−AB＝(-2, -2√3) となる。
AB・BC＝3・(-2)＋√3・(-2√3)＝-6-6＝-12
BC・CA＝-2・(-1)-2√3・√3＝2-6＝-4
CA・AB＝-1・3＋√3・√3＝0
よって、 AB・BC+BC・CA+CA・AB＝-16
(3)
CA・AB＝0 より、∠ＣＡＢ＝90°
よって、△ＡＢＣは直角三角形であり、外接円の中心は斜辺ＢＣの中点(2, 0)である。
Ｒはｘ軸上にあるので、∠ＢＡＲはABの角度そのものであり、
∠ＢＡＲ＝30°
よって、
cos∠BAR＝√3/2
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