アムロさんからの質問1

問題
(1)原点Oを中心とし、半径r、r'の2円がある。
 半径r上の円周上に点Pを、半径r'上の円周上に点Qをとり、P(x1,y1)、Q(x2,y2)とすれば
 x1x2+y1y2=rr'cosθ
であることを証明せよ。ただし、θ=∠POQ とする。
(2)のなす角が60度で、|a+b|が|a-b|の2倍になることがあるか否かを調べよ。ただし、|a|>|b|とする。
 ※太字はベクトルです

解答
(1)

△OPQにおいて、余弦定理より
 QP2=OP2+OQ2−2OP・OQcosθ
 2OP・OQcosθ=OP2+OQ2−QP2
 (左辺)=2rr'cosθ
 (右辺)=(x12+y12)+(x22+y22)−{(x1-x2)2+(y1-y2)2}
    =2x1x2+2y1y2
 よって、x1x2+y1y2=rr'cosθが成り立つ。

(2)
 |a+b|=2|a-b| であるとする。両辺2乗して
  |a+b|2=4|a-b|2
  |a|2+2ab+|b|2=4(|a|2−2ab+|b|2)
  3|a|2-10ab+3|b|2=0
 ab=|a||b|cos60°=|a||b|/2 より
  3|a|2-5|a||b|+3|b|2=0
 |a| についての2次方程式と考えて、判別式Dを取ると、
  D=(5|b|)2−4・3・3|b|2=−11|b|2≦0
 |b|=0 のとき、||=0 となり不適。
 そのほかの場合は、D<0 となり、||は実数解を持たない。
 よって、条件を満たすようなベクトルは存在しない。

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