問題
横置き円柱に液体を貯めたとき 液深と容積の関係式を教えて下さい。
解答
底面の半径を ｒ 、円柱の高さを ｈ 、液の深さを ｄ とし、その他の寸法を図のように決めます。
図の斜線部分の面積が求まれば、それに ｈ を掛けると体積が求まりますので、斜線部分の面積を
求める問題として考えます。
斜線部分の面積をＳとします。
(i) ｄ≦ｒ のとき
Ｓ＝（扇形Ｏ−ＡＢＣ）−△ＯＡＣ
ここで、
θ＝Cos-1{(r-d)/r}
ｗ＝√{r2-(r-d)2}＝√(2rd-d2)
より、
（扇形Ｏ−ＡＢＣ）＝πｒ2×(２θ/２π)＝ｒ2Cos-1{(r-d)/r}
△ＯＡＣ＝ｗ(ｒ−ｄ)＝(ｒ−ｄ)√(2rd-d2)
よって、
Ｓ＝ｒ2Cos-1{(ｒ−ｄ)/ｒ}−(ｒ−ｄ)√(2rd-d2)
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