問題
４点Ａ:(xa, ya)，Ｂ:(xb, yb)，Ｃ:(xc, yc)，Ｄ:(xd, yd) があり、四角形ＡＢＣＤが凸四角形であるとき、
点Ｅ:(xe, ye) がこの四角形の内部にあるための条件を求めよ。
解答
４つのベクトル
ＡＢ＝(xb-xa, yb-ya)
ＡＣ＝(xc-xa, yc-ya)
ＡＤ＝(xd-xa, yd-ya)
ＡＥ＝(xe-xa, ye-ya)
を決める。
ＡＥ＝ｓＡＢ＋ｔＡＣ
を満たすｓ、ｔ を求める。成分を比較して、
xe-xa = s(xb-xa) + t(xc-xa)
ye-ya = s(yb-ya) + t(yc-ya)
これを、ｓ、ｔ について解くと、
ｓ＝{(xe-xa)(yc-ya) + (xa-xc)(ye-ya)}/{(xb-xa)(yc-ya) - (xc-xa)(yb-ya)}
ｔ＝{(xe-xa)(ya-yb) + (xb-xa)(ye-ya)}/{(xb-xa)(yc-ya) - (xc-xa)(yb-ya)}
同様に、
ＡＥ＝ｕＡＤ＋ｖＡＣ
を満たすｕ、ｖ を求めると、
ｕ＝{(xe-xa)(yc-ya) + (xa-xc)(ye-ya)}/{(xd-xa)(yc-ya) - (xc-xa)(yd-ya)}
ｖ＝{(xe-xa)(ya-yd) + (xd-xa)(ye-ya)}/{(xd-xa)(yc-ya) - (xc-xa)(yd-ya)}
このとき、
ｓ≧０ かつ ｔ＞０ かつ ０＜ｓ＋ｔ＜１
であれば、点Ｅは、△ＡＢＣの内部および辺ＡＣ（両端は含まない）上にある。
また、
ｕ≧０ かつ ｖ＞０ かつ ０＜ｕ＋ｖ＜１
であれば、点Ｅは、△ＡＣＤの内部および辺ＡＣ（両端は含まない）上にある。
つまり、このいずれか一方が成り立てば、点Ｅは、四角形ＡＢＣＤの内部にある。
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