akari さんからの質問１

問題
（１）ｎ²が６の倍数ならば、ｎは６の倍数であることを示せ。
（２）a+b＝abを満たす自然数a,bを全て求めなさい。
(2-2) a+b+c=abc を満たす自然数 a,b,c をすべて求めなさい。
（３）７を加えると９で割り切れ、９を加えると７で割り切れる自然数のうち 一番小さな数と、１００に一番近い数を求めなさい。

解答
（１）背理法で解きます。
　ｎが６の倍数でないと仮定すると、ｎ は
　ｎ＝６ｋ＋ｍ　（ｋは整数、ｍは１，２，３，４，５のいずれか）
と書ける。このとき
　ｎ²＝（６ｋ＋ｍ）²＝３６ｋ²＋１２ｋｍ＋ｍ²
　　＝６（６ｋ²＋２ｋｍ）＋ｍ²
ここで、ｍが１，２，３，４，５のいずれの数をとっても、ｍ²は１，４，９，１６，２５ なので、６の倍数にならない。
よって、ｎ² は６の倍数にならず、最初の仮定が間違っていたことになる。
従って、ｎは６の倍数である。

（２）積＝整数の形にします。
　ａｂ＝ａ＋ｂ
変形して、
　ａｂ−ａ−ｂ＋１＝１
　（ａ−１）（ｂ−１）＝１
ここで、ａ、ｂ が自然数ならば、ａ−１，ｂ−１ はいずれも０以上の整数となる。
そのような数で、積が１になるのは、ａ−１＝１，ｂ−１＝１ のときのみ。
よって、ａ＝２，ｂ＝２

(2-2)
　a+b+c=abc
を、ｃについて解くと、　
　ｃ＝（ａ＋ｂ）／（ａｂ−１）　ただし、ａｂ≠１
これが、整数になる必要条件として、
　ａ＋ｂ≧ａｂ−１
変形して、
　（ａ−１）（ｂ−１）≦２
よって、自然数ａ、ｂについて、これが成り立つには、
　ａ＝１　または　ｂ＝１　または　（ａ、ｂ）＝（２，２）、（２，３）、（３，２）

ａ＝１のとき
　ｃ＝（ｂ＋１）／（ｂ−１）
ｂ＋１ が ｂ−１ で割り切れるためには、双方の差である　２ も ｂ−１ の
倍数でないといけないので、
　ｂ＝２　または　ｂ＝３
よって、（ａ、ｂ、ｃ）＝（１，２，３）、（１，３，２）

ｂ＝１のとき、同様にして
　（ａ、ｂ、ｃ）＝（２，１，３）、（３，１，２）

（ａ、ｂ）＝（２，２）、（２，３）、（３，２）
のうち、ｃ が整数になるのは、（ａ、ｂ）＝（２，３）　と　（ａ、ｂ）＝（３，２）のときで
ともに、ｃ＝１

よって、（ａ、ｂ、ｃ）＝（２，３，１）、（３，２，１）

（３）まず、いくつか見つけます。
７を加えると９で割り切れる数は、２，１１，２０，２９、３８，４７・・・
９を加えると７で割り切れる自然数５，１２，１９，２６，３３，４０，４７・・・
４７が１つ見つかった。
あとは、これに、７と９の最小公倍数６３を加えた、
４７，１１０，１７３，２３６・・・ が該当する。
このうち、一番小さい数は　４７
１００に一番近い数は　１１０

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