円 ｘ2＋ｙ2＝ｒ2 に、円外の点Ｐ(a, b) から引いた2本の接線と円との接点をＡ，Ｂ とするとき、
ＡＢを結ぶ直線の式は
ａｘ＋ｂｙ＝ｒ2
で表される。
証明
直線ＡＢはＯＰと垂直なので、
ａｘ＋ｂｙ＝ｃ ・・・(1)
の形で表されます。
また、ＡＢとＯＰの交点をＭとすると、
△ＯＡＰ ∝ △ＯＭＡ
より、
ＯＭ：ＯＡ＝ＯＡ：ＯＰ
これより
ＯＭ＝ｒ2/ＯＰ＝ｒ2/√(ａ2＋ｂ2)
直線 (1) と原点との距離は
|ｃ|/√(ａ2＋ｂ2)
であり、これがＯＭにあたるので、
|ｃ|/√(ａ2＋ｂ2)＝ｒ2/√(ａ2＋ｂ2)
よって
ｃ＝±ｒ2
ｂ＞０ のとき
(1) のｙ切片ｃ／ｂ＞０ より ｃ＞０
ｂ＜０ のとき
(1) のｙ切片ｃ／ｂ＜０ より ｃ＞０
ｂ＝０ のとき
ａ＞ｒ＞０ のとき
(1) の式は ｘ＝ｃ／ａ＞０ より ｃ＞０
ａ＜−ｒ＜０ のとき
(1) の式は ｘ＝ｃ／ａ＜０ より ｃ＞０
よって、いずれの場合も、直線ＡＢの式は
ａｘ＋ｂｙ＝ｒ2
で表されます。
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