自然数の２乗和

を、図形的に証明します。

上の図のように、１辺が１の立方体を、1²個, 2²個, 3²個, 4²個 ・・・と積んでいき、ｎ段までの個数（体積）
を計算します。
この立体を、下の図のように
　・この立体を内包するｎ×ｎ×ｎの立方体の３頂点を通る平面
　・その平面に平行で、辺１つ分ずらした平面
で、切ります。

この切断により、各段の立体がどのように分けられるかを見ます。

オレンジ色の部分は、すべての段を集めると、
ｎ×ｎ×ｎの立方体から切り出した、三角錐になります。
その体積は、ｎ³/６
青い部分は、オレンジ色の部分と同じものなので、体積はｎ³/６
黄色の部分は、１×１×１の立方体から、三角錐を２つ取り除いた立体（体積2/3）
で、上からｎ段目にはｎ個存在する。
緑の部分は、１×１×１の立方体から切り出される三角錐（体積 1/6）で、
上からｎ段目には２（ｎ−１）個存在する。
以上より、この立体の体積は、
　ｎ³/６＋ｎ³/６＋2/3 × n(n+1)/2 ＋1/6 × n(n-1)＝(2n³+3n²+n)/6=n(n+1)(2n+1)/6

立方体から切り出した三角錐とは、
立方体の１つの頂点と隣り合う３つの頂点を通る平面で、
立方体を切るときに出来る、３つの直角二等辺三角形と、
１つの正三角形から出来る三角錐で、体積は、立方体の 1/6 となる。

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