上図は、正１２面体の１つの面をｘｙ平面上に置いた図です。
正５角形ＡＢＣＤＥの外接円の中心を、原点Ｏとし、頂点Ａをχ軸上に取ります。
Ａ：（１，０，０）と置きます。（最終的には、ＡＢ＝１ となるように倍率補正します）
このとき、Ｂ、Ｃの座標は
Ｂ：（cos72°，sin72°，０）、Ｃ：（-cos36°，sin36°，０）
となります。
また、ＡＢの長さは、
ＡＢ＝２sin36°
です。
一方、正５角形ＣＤＬＫＪは、正５角形ＡＢＣＤＥをＣＤを軸にして、回転した位置にあるので、
点Ｊのｙ座標は、点Ｂと同じです。
また、図形の対称性から、３点ＯＣＪは、同一平面上（上図では一直線上）にあります。
このことから、上図で、点Ｊは、点Ｃを sin72°/ sin36°倍した点になります。
Ｊのχ座標は、
-cos36°・sin72°/sin36°＝-2cos236°
Ｊ：（-2cos236°，sin72°，ｚ）とおいて、ＣＪ＝ＡＢ となるように、ｚの値を決めると、
(cos36°−2cos236°)2＋(sin72°−sin36°)2＋ｚ2＝４sin236°
これをｚ＞０で解いて、ｚ＝１
これを用いて、各頂点のｚ座標を出すと、下図のようになります。
ここで、正１２面体の中心（外接球の中心）と、各面までの距離は、
１＋（√５−１）／４＝（√５＋３）／４
であることが分かります。
正１２面体の体積は、１つの正５角形と、正１２面体の中心とでできる５角錐の
１２倍ですから、まず１つの５角錐の体積を求めます。
底面の正５角形の面積は、5/2×１×１×sin72°＝5/2・√((５＋√５）／８）
５角錐の体積は、1/3×5/2・√((５＋√５）／８）×（√５＋３）／４
これを１２倍して、正１２面体の体積は、５（√５＋３）／２×√((５＋√５）／８）
ただしこれは、１辺が、ＡＢ＝２sin36°の場合なので、１辺が１に換算するため、
８sin336°で割って、整理すると、以下の体積を得ます。
体積＝
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