次の無限級数の和を求めよ
(1)Σ[n=2→∞]log(1-1/n^2)
(2)Σ[n=1→∞]log{1+x^(2n-1)}(0<x<1)
まず(1)は解説のΣ[k=2→n]log(1-1/k^2)=
Σ[k=2→n]logk^2-1/k^2=Σ[k=2→n]log{(k+1)/k}{(k-1)/k}
=Σ[k=2→n]log{(k+1)/k}-log{k/(k-1)}
=log(n+1)/n-log2/1→(n→∞)=-log2
またはlog[(1・3/2^2)(2・4/3^2)(3・5/4^2)....{(n-1)(n+1)/n^2}]とあるのですが
Σ[k=2→n]log{(k+1)/k}{(k-1)/k}
からΣ[k=2→n]log{(k+1)/k}-log{k/(k-1)}への変形の仕方を教えてください
そして,またはの後の式に何故なるのか分かりません
(2)はΣ[k=1→n]log{1+x^(2k-1)}=log1/(1-x)・(1-x)(1+x)
(1+x^2)(1+x^2^2)....{1+x^(2n-1)}=log1/1-x(1-x^2n-1)
(1+x^(2n-1)=log(1-x^2n)/(1-x)となっていて
Σ[k=1→n]log{1+x^(2k-1)}からlog1/(1-x)・(1-x)(1+x)(1+x^2)(1+x^2^2)....{1+x^(2n-1)}への変形が分かりません
その次のlog1/(1-x)・(1-x)(1+x)(1+x^2)(1+x^2^2)....{1+x^(2n-1)}からlog1/1-x(1-x^2n-1)(1+x^(2n-1)への変形と
log1/1-x(1-x^2n-1)(1+x^(2n-1)からlog(1-x^2n)/(1-x)への変形もお願いします
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No.27252 - 2014/06/21(Sat) 12:36:32
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