問題
△OABにおいて、辺OAを3：1に内分する点をC，辺ABの中点をMとする。
またOA=ａ，OB=ｂとする。
１．OCをａを用いて表せ。また，CMをａ，ｂを用いて表せ
２．直線CMと直線OBの交点をＤとする。OD=ｋｂとおく時、
実数ｋの値を求めよ。
３．OA=3，OB=5，線分CMの中点をNとする。２．の点Dに対して，
ON⊥CDが成り立つ時、cos∠AOBの値を求めよ。
解答
１．
ＯＣはａと同じ向きのベクトルで、長さが3/4倍なので、
ＯＣ＝3ａ/4 ・・・答え
ＭはＡＢの中点なので、
ＯＭ＝(ａ＋ｂ)/２
ＣＭ＝ＯＭ−ＯＣ＝(ａ＋ｂ)/２−3ａ/4＝ｂ/２−ａ/４ ・・・答え
２．
ＣＤ＝ＯＤ−ＯＣ＝ｋｂ−3ａ/4
一方、ＣＭはＣＤと同じ向きのベクトルなので、ある実数ｔに対して
ＣＤ＝ｔＣＭ
とおけます。これより、
ｋｂ−3ａ/4＝ｔ(ｂ/２−ａ/４)
ａとｂは平行でないので、それぞれの係数を比較して、
−３／４＝−ｔ／４
ｋ＝ｔ／２
以上より、
ｔ＝３，ｋ＝３／２ ・・・答え
３．
ＮはＣＭの中点なので、
ＯＮ＝(ＯＣ＋ＯＭ)／２＝{３ａ/４＋(ａ＋ｂ)/２}／２＝５ａ/８＋ｂ/４
これと、
ＣＭ＝ｂ/２−ａ/４
とが垂直なので、内積を取って、
ＯＮ・ＣＭ＝(５ａ/８＋ｂ/４)・(ｂ/２−ａ/４)
＝(５ａ＋２ｂ)・(２ｂ−ａ)／３２＝０
(５ａ＋２ｂ)・(２ｂ−ａ)＝−５ａ・ａ＋４ｂ・ｂ＋８ａ・ｂ
＝−５|ａ|2＋４|ｂ|2＋８|ａ||ｂ|cos∠ＡＯＢ＝０
|ａ|＝３、|ｂ|＝５ より、
−５・３2＋４・５2＋８・３・５cos∠ＡＯＢ＝５５＋１２０cos∠ＡＯＢ＝０
よって、
cos∠ＡＯＢ＝−５５／１２０＝−１１／２４・・・答え
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