miyuki さんからの質問１

問題
区間[０，２π]において、関数 ｆ（ｘ）＝２ｃｏｓｘ＋ｓｉｎ２ｘ の極値を求めよ。

解答
f'(x)＝−２sinｘ＋２cos２ｘ＝２(cos２ｘ−sinｘ)
より、f'(x)＝０ となるｘを見つけるために
　cos２ｘ−sinｘ＝０
を解く。cos２ｘ＝１−２ｓｉｎ²ｘ より、
　１−２ｓｉｎ²ｘ−ｓｉｎｘ＝０
sinｘ＝Ｘ とおくと、
　２Ｘ²＋Ｘ−１＝０
　(２ｘ−１)(ｘ＋１)＝０
よって、
　Ｘ＝sinｘ＝1/2， −１
よって、区間[０，２π]においては、
　ｘ＝π/６，５π/６，３π/２
これを元に増減表を書くと

よって、ｘ＝π/６ で極大値(３√３)/２、ｘ＝５π/６ で極小値 −(３√３)/２ を取ります。
ｘ＝３π/２ は f'(x)＝０ ですが、極値ではありません。
ちなみにグラフは以下のようになります。



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