問題
解答
(1)
通常通り計算して、
より、ＡＢ＝ＢＡ
としても良いですし、
Ａ＝Ａt，Ｂ＝Ｂt
および、
ＡＢ＝(ＡＢ)t
であることより、
ＡＢ＝(ＡＢ)t＝ＢtＡt＝ＢＡ
としても良いでしょう。ただし、(ＡＢ)t＝ＢtＡt を既知のものとしています。
(2)
Ａの固有値をλとすると、
Ａｘ＝λｘ
を満たす、０ベクトルでない列ベクトルｘが存在します。３次の単位行列をＥとすると、
λｘ＝λＥｘ
と書けるので、 Ａｘ＝λｘ は、
Ａｘ＝λＥｘ
(Ａ−λＥ)ｘ＝０
と書けます。Ａ−λＥ の逆行列が存在すると、両辺左からそれを掛けて、
ｘ＝０
となり、ｘが０ベクトルでないことに反するので、Ａ−λＥ の逆行列は存在せず、
|Ａ−λＥ|＝０
となります。
より、Ａの固有値は、λ＝2,3,-1 となります。
λ＝2 のとき、固有ベクトルをｘ1 とすると、
これを解いて、ｘ1＝ｚ1＝0，ｙ1 は、0以外の任意の実数
よって、固有ベクトルは
同様にして、λ＝３ のとき、固有ベクトルをｘ2 とすると、
λ＝−１ のとき、固有ベクトルをｘ3とすると、
(3)
Ｂｘ1＝-3ｘ1
Ｂｘ2＝15ｘ2
Ｂｘ3＝-9ｘ3
より、ｘ1，ｘ2，ｘ3 は、３つとも、Ｂの固有ベクトルになっている。
(4)λ＝2,3,-1 に対する固有ベクトルを、ｘ1，ｘ2，ｘ3 とすると、
Ａｘ1＝２ｘ1
Ａｘ2＝３ｘ2
Ａｘ3＝−ｘ3
と書け、
となります。Ｐ＝(ｘ1 ｘ2 ｘ3 ) とおいて、上の式の左から、Ｐ-1を掛けると、
となり、また、
となります。実際にＰおよびＰ-1を計算すると、
となります。
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