九点円の定理

3角形の3辺の中点[D,H,J],3本の高さの足[E,G,K],
3頂点と垂心の中点[F,I,L]は同一円周上にある。

<証明>

四角形DFIJを考える。
中点連結定理より、
  DB=IJ=AG÷2 DB//IJ//AG ・・・(1)
同様に、
  DJ=FI=BC÷2 DJ//FI//BC ・・・(2)
(1),(2) および、AGとBCが垂直であることより、四角形DFIJは長方形である。
長方形DFIJに外接する円Oを描いたとき、対角線FJおよび、DIは円Oの直径である。
一方、∠FKJ=90° および ∠DEI=90° より、点Kと点Eも、円O上にある。

四角形FHJLについて同様に考えると、四角形FHJLは長方形であり、これに外接する円O
描いたとき、対角線FJおよび、HLはOの直径である。
一方、∠HGL=90° より、点G も円O上にある。

円Oと円OはFJを共通の直径に持つので、同一の円である。
以上より、9点D,E,F,G,H,I,J,K,L は、同一円上にある。     証明終わり

 

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