５問あります。
質問１：点Ｐから２円ｘ2+ｙ2＝４、（ｘ−４）2+（ｙ−５）2＝９に引いた
接線の長さが等しい点Ｐの軌跡を求めよ。
解答１：
円の接線の長さの公式より、
点Ｐ(ｘ、ｙ)について、
ｘ2+ｙ2−４＝（ｘ−４）2+（ｙ−５）2−９
が成り立つ。
整理して、
８ｘ＋１０ｙ＝３６
ｙ＝−０．８ｘ＋３．６・・・(1)
逆に、直線 (1) 上の任意の点を (m, -0.8m+3.6) とすると、
ｘ2+ｙ2＝４
までの接線の長さは
ｍ＾２＋(−０．８ｍ＋３．６)＾２−４
＝１．６４ｍ＾２−５．７６ｍ＋８．９６
一方、
（ｘ−４）2+（ｙ−５）2＝９
までの接線の長さは
（ｍ−４）2+（−０．８ｍ−１．４）2−９
＝１．６４ｍ＾２−５．７６ｍ＋８．９６
となり、両者は等しくなる。
答え：直線 ８ｘ＋１０ｙ＝３６
質問２：放物線ｙ＝ｘ2+ａｘ+ｂとｘ軸との共有点が存在しないとき、点（ａ，ｂ）の存在する範囲を図示せよ。
解答２：
判別式Ｄを計算して、
Ｄ＝ａ＾２−４ｂ＜０
点（ａ，ｂ）は、
ｙ＞ｘ＾２／４
の範囲に存在する。
質問３：円ｘ2+ｙ2＝１と直線ａｘ+ｂｙ+２＝０が異なる２点で交わるとき、点（ａ，ｂ）の存在する範囲を図示せよ。
解答３：
点と直線の距離の公式より、
原点から、直線ａｘ+ｂｙ+２＝０ までの距離は、
２／√(ａ＾２＋ｂ＾２)
であり、これが円の半径１未満であれば、条件を満たす。
２／√(ａ＾２＋ｂ＾２)＜１
ａとｂがともに０になることはないので、
√(ａ＾２＋ｂ＾２)＞０
これを両辺に掛けて、
２＜√(ａ＾２＋ｂ＾２)
両辺ともに正なので、２乗して、
４＜ａ＾２＋ｂ＾２
よって、点（ａ，ｂ）の存在する範囲は、以下のようになる。
質問４：
２次方程式ｘ2-２ｐｘ+（ｐ+２）＝０の２つの解がともに１より大きくなるようなｐの値の範囲を求めよ。
解答４：
ｙ＝ｘ2−２ｐｘ+（ｐ+２）＝０
のグラフが、図のような位置にあればよい。
そのためには、
・軸がｘ＝１よりも右にある。
・ｘ＝１のとき ｙ＞０
・判別式＞０
であればよい。
これらを式にすると、
ｐ＞１・・・(1)
１−２ｐ＋（ｐ＋２）＞０・・・(2)
ｐ＾２−（ｐ＋２）＞０・・・(3)
となる。
(2) より、
ｐ＜３・・・(2)'
(3) より、
(ｐ＋１)(ｐ−２)＞０
ｐ＜−１ または ｐ＞２・・・(3)'
(1),(2)',(3)' より、
２＜ｐ＜３・・・答え
質問５：整式ｐ（ｘ）をｘ-１で割ると３余り、ｘ-２で割ると１０余る。ｐ（ｘ）を ｘ2−３ｘ＋２
で割ったときの余りを求めよ。
解答５：
剰余定理より、
ｐ（１）＝３
ｐ（２）＝１０
また、ｐ（ｘ）を ｘ2−３ｘ＋２＝(ｘ−１)(ｘ−２) で割ったときの、商をｑ（ｘ）、余りを
ａｘ＋ｂとおくと、
ｐ（ｘ）＝(ｘ−１)(ｘ−２)ｑ（ｘ）＋ａｘ＋ｂ
と書ける。ｘ＝１，ｘ＝２を代入すると、
ｐ（１）＝ａ＋ｂ＝３・・・(1)
ｐ（２）＝２ａ＋ｂ＝１０・・・(2)
この連立方程式を解いて、
ａ＝７、ｂ＝−４
答え：７ｘ−４
円の接線の長さの公式
円 (ｘ−ａ)2＋(ｙ−ｂ)2＝ｒ2 に、円外の点Ｐ(ｍ、ｎ）から接線を引いたときの
接点をＱとするとき、接線の長さＰＱを考える。
円の中心は 点Ａ(ａ、ｂ）であり、△ＰＱＡは∠ＰＱＡ＝９０°の直角三角形である。
ＰＡ2＝(ｍ−ａ)2＋(ｎ−ｂ)2
ＱＡ2＝ｒ2
より、
ＰＱ2＝ＰＡ2−ＱＡ2＝(ｍ−ａ)2＋(ｎ−ｂ)2−ｒ2
ＰＱ＝√{(ｍ−ａ)2＋(ｎ−ｂ)2−ｒ2}
点と直線の距離の公式
点(ｘ0, ｙ0) から、直線 ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０ までの距離は
｜ａｘ0＋ｂｙ0＋ｃ｜／√(ａ＾２＋ｂ＾２)
特に、原点からの距離は、
｜ｃ｜／√(ａ＾２＋ｂ＾２)