TANEさんからの質問7

5問あります。


質問1:点Pから2円x2+y2=4、(x−4)2+(y−5)2=9に引いた
 接線の長さが等しい点Pの軌跡を求めよ。

解答1:
 円の接線の長さの公式より、
 点P(x、y)について、
  x2+y2−4=(x−4)2+(y−5)2−9
 が成り立つ。
 整理して、
  8x+10y=36
  y=−0.8x+3.6・・・(1)
 逆に、直線 (1) 上の任意の点を (m, -0.8m+3.6) とすると、
  x2+y2=4
 までの接線の長さは
   m^2+(−0.8m+3.6)^2−4
  =1.64m^2−5.76m+8.96
 一方、
  (x−4)2+(y−5)2=9
 までの接線の長さは
  (m−4)2+(−0.8m−1.4)2−9
  =1.64m^2−5.76m+8.96
 となり、両者は等しくなる。
 答え:直線 8x+10y=36

質問2:放物線y=x2+ax+bとx軸との共有点が存在しないとき、点(a,b)の存在する範囲を図示せよ。

解答2:
 判別式Dを計算して、
  D=a^2−4b<0
 点(a,b)は、
  y>x^2/4
 の範囲に存在する。
 
質問3:円x2+y2=1と直線ax+by+2=0が異なる2点で交わるとき、点(a,b)の存在する範囲を図示せよ。

解答3:
 点と直線の距離の公式より、
 原点から、直線ax+by+2=0 までの距離は、
  2/√(a^2+b^2)
 であり、これが円の半径1未満であれば、条件を満たす。
  2/√(a^2+b^2)<1
 aとbがともに0になることはないので、
  √(a^2+b^2)>0
 これを両辺に掛けて、
  2<√(a^2+b^2)
 両辺ともに正なので、2乗して、
  4<a^2+b^2
 よって、点(a,b)の存在する範囲は、以下のようになる。
  

質問4:
 2次方程式x2-2px+(p+2)=0の2つの解がともに1より大きくなるようなpの値の範囲を求めよ。

解答4:
  y=x2−2px+(p+2)=0
 のグラフが、図のような位置にあればよい。

 そのためには、
 ・軸がx=1よりも右にある。
 ・x=1のとき y>0
 ・判別式>0
 であればよい。
 これらを式にすると、
  p>1・・・(1)
  1−2p+(p+2)>0・・・(2)
  p^2−(p+2)>0・・・(3)
 となる。
 (2) より、
  p<3・・・(2)'
 (3) より、
  (p+1)(p−2)>0
  p<−1 または p>2・・・(3)'
 (1),(2)',(3)' より、
  2<p<3・・・答え

質問5:整式p(x)をx-1で割ると3余り、x-2で割ると10余る。p(x)を x2−3x+2
 で割ったときの余りを求めよ。

解答5:
 剰余定理より、
  p(1)=3
  p(2)=10
 また、p(x)を x2−3x+2=(x−1)(x−2) で割ったときの、商をq(x)、余りを
 ax+bとおくと、
  p(x)=(x−1)(x−2)q(x)+ax+b
 と書ける。x=1,x=2を代入すると、
  p(1)=a+b=3・・・(1)
  p(2)=2a+b=10・・・(2)
 この連立方程式を解いて、
  a=7、b=−4
 答え:7x−4

円の接線の長さの公式
 円 (x−a)2+(y−b)2=r2 に、円外の点P(m、n)から接線を引いたときの
接点をQとするとき、接線の長さPQを考える。
 円の中心は 点A(a、b)であり、△PQAは∠PQA=90°の直角三角形である。

  PA2=(m−a)2+(n−b)2
  QA2=r2
 より、
  PQ2=PA2−QA2=(m−a)2+(n−b)2−r2
  PQ=√{(m−a)2+(n−b)2−r2}

点と直線の距離の公式
 点(x0, y0) から、直線 ax+by+c=0 までの距離は
  |ax0+by0+c|/√(a^2+b^2)
 特に、原点からの距離は、
  |c|/√(a^2+b^2)

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