問題:
点Ａ（２，１）から円 ｘ2＋ｙ2＝１ に引いた接線の方程式と接点の座標を求めよ。
解答１：
点Ａ（２，１）を通る直線を
ｙ＝ａ（ｘ−２）＋１ ・・・・(1)
とおく。
※(1) の式では、ｙ軸に平行な直線（ｘ＝１ など）は表せないが、そういう接線はあり得ないことは図から明らかなので、(1) の式で十分である。
厳密には ａ（ｘ−２）＋ｂ（ｙ−１）＝０ とする。
ｘ2＋ｙ2＝１ ・・・・(2)
(1) を (2) に代入して、
ｘ2＋｛ａ（ｘ−２）＋１｝2＝１
ｘ2＋ａ2（ｘ2−４ｘ＋４）＋２ａ（ｘ−２）＋１＝１
（ａ2＋１）ｘ2＋２（ａ−２ａ2）ｘ＋（４ａ2−４ａ）＝０ ・・・(3)
これが重解を持つためには、判別式をとって、
Ｄ／４＝（ａ−２ａ2）2−（ａ2＋１）（４ａ2−４ａ）
＝４ａ4−４ａ3＋ａ2−（４ａ4−４ａ3＋４ａ2−４ａ）
＝−３ａ2＋４ａ
＝ａ（−３ａ＋４）＝０
これより、ａ＝０，４／３
１． ａ＝０ のとき
(1) より 接線の方程式は、
ｙ＝１
(3) より
ｘ2＝０
ｘ＝０（重解）
よって、接点の座標は（０，１）
２． ａ＝４／３ のとき
(1) より 接線の方程式は、
ｙ＝4/3（ｘ−２）＋１ ・・・・(4)
３ｙ＝４（ｘ−２）＋３
３ｙ＝４ｘ−５
４ｘ−３ｙ−５＝０
(3) より
25/9ｘ2−40/9＋16/9＝０
２５ｘ2−４０ｘ＋１６＝０
（５ｘ−４）2＝０
ｘ＝４／５（重解）
(4) に代入して
ｙ＝−３／５
よって、接点の座標は（４／５，−３／５）
答え：接線の方程式 ｙ＝１ のとき 接点の座標（０，１）
接線の方程式 ４ｘ−３ｙ−５＝０ のとき 接点の座標（４／５，−３／５）
解答２：
接点の座標を（ｘ0，ｙ0）とする。
この接点における接線の方程式は、
ｘ0ｘ＋ｙ0ｙ＝１
と書ける。
これが点Ａ（２，１）を通るから、
２ｘ0＋ｙ0＝１
ｙ0＝−２ｘ0＋１ ・・・・(1)
また、点（ｘ0，ｙ0）は円
ｘ2＋ｙ2＝１
上の点なので、
ｘ02＋ｙ02＝１ ・・・・(2)
(1) を (2) に代入して、
ｘ02＋(−２ｘ0＋１)2＝１
ｘ02＋４ｘ02−４ｘ0＋１＝１
ｘ0(５ｘ0−４)＝０
ｘ0＝０，４／５
１．ｘ0＝０ のとき
(1) より、
ｙ0＝１
点（０，１）が接点の座標であり、この点と点Ａ（２，１）を結ぶ直線の式は、
ｙ＝１
２． ｘ0＝４／５ のとき
(1) より
ｙ0＝−３／５
点（４／５，−３／５）が接点の座標であり、この点と点Ａ（２，１）を結ぶ直線の式は、傾きが
（１＋３／５）／（２−４／５）＝８／６＝４／３
であるので、接線の式は
３（ｙ−１）＝４（ｘ−２）
３ｙ−３＝４ｘ−８
４ｘ−３ｙ−５
答え：接線の方程式 ｙ＝１ のとき 接点の座標（０，１）
接線の方程式 ４ｘ−３ｙ−５＝０ のとき 接点の座標（４／５，−３／５）
解答３−１：
図より、接点の一つが点Ｂ（０，１）であることは明らか。
そこで、点Ａを中心にして半径２（＝ＡＢの距離）の円
(ｘ−２)2＋(ｙ−１)2＝４ ・・・・(1)
を描き、円
ｘ2＋ｙ2＝１ ・・・・(2)
との、もう一方の交点がもうひとつの接点となる。
(1) を変形して、
ｘ2＋ｙ2−４ｘ−２ｙ＋１＝０
(2) を代入して、
１−４ｘ−２ｙ＋１＝０
２ｘ＋ｙ−１＝０
これを、(2) に代入して （以下略）
解答３−２：
直線ＢＣは直線ＯＡと直交するので、その傾きは−２である。（ＯＡの傾きは-1/2 であるため）
直線ＢＣの式は、
ｙ＝−２ｘ＋１
これを、(2) に代入して （以下略）
解答４：
∠ＯＢＡ＝９０°、∠ＯＣＡ＝９０°
より、２つの接点Ｂ、Ｃは、ＯＡを直径とする円上にある。
ＯＡの中心は（１，１／２）、ＯＡ＝√５ なので、半径は√(5/4)
円の式は
(ｘ−１)2＋(ｙ−１／２)2＝５／４ ・・・・(1)
整理して、
ｘ2＋ｙ2−２ｘ−ｙ＝０
ｘ2＋ｙ2＝１ ・・・・(2)
を代入して、
１−２ｘ−ｙ＝０
ｙ＝−２ｘ＋１
これを、(2) に代入して （以下略）
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