ＴＡＮＥさんからの質問５

７問あります。

問題１:
　Ａ君、Ｂ君の2人を含む10人の生徒の中から5人を選ぶとする。
　Ａ君、Ｂ君のどちらか１人だけが選ばれるのは何通りあるか。

解答１−１：
　Ａ君、Ｂ君のどちらか一人を選ぶ選び方は、
　　₂Ｃ₁＝２　（通り）
　Ａ君、Ｂ君以外の８人から４人を選ぶ選び方は、
　　₈Ｃ₄＝７０　（通り）
　　２×７０＝１４０　　　　答え：１４０通り

解答１−２：
　すべての選び方は、
　　₁₀Ｃ₅＝２５２　（通り）
　Ａ君、Ｂ君のどちらも選ばない選び方は、８人から５人選ぶので、
　　8Ｃ5＝５６　（通り）
　Ａ君、Ｂ君の両方を選び選び方は、８人から残り３人を選ぶので、
　　8Ｃ3＝５６　（通り）
　　２５２−５６−５６＝１４０　　答え：１４０通り

問題２：
　１つの長方形の縦と横をそれぞれ４等分する直線を引くとき、長方形の辺
　または４等分した直線で囲まれる長方形は、全部で何個あるか。
　　　

解答２：
　縦線が５本、横線が５本あり、この中から、縦線２本、横線２本を選べば
　長方形ができる。その選び方は、
　　₅Ｃ₂×₅Ｃ₂＝１０×１０＝１００　　　答え：１００個

問題３：
　ｍｏｎｏｔｏｎｅの8文字を1列に並べるとき、ｍ、ｔ、ｅが左からこの順に並ぶ並べ方は何通りあるか。

解答３：
　[ｍｔｅ][ｏ][ｏ][ｏ][ｎ][ｎ]の６枚のカードを並べるやり方と同じである。
　並べ方は、全部で６！通り。
　このうち、[ｏ]が３枚、[ｎ]が２枚あるので、３！×２！通りは同じ並び方である。つまり
　　６！÷３！÷２！＝６０　　　答え：６０通り

訂正解答：答えは５６０通りらしい。ということは、ｍｏｎｏｔｏｎｅのように、ｍ、ｔ、ｅが、離れていても
　良いらしい。（誤解を生む可能性のある（現に誤解されている）悪文ではある）
　カードの並べ方は全部で８！通り。
　ｍ、ｔ、ｅ以外の５個の位置はそのままで、ｍ、ｔ、ｅを入れ換えたものは
　　ｍｏｎｏｔｏｎｅ
　　ｍｏｎｏｅｏｎｔ
　　ｔｏｎｏｍｏｎｅ
　　ｔｏｎｏｅｏｎｍ
　　ｅｏｎｏｍｏｎｔ
　　ｅｏｎｏｔｏｎｍ
　のように、６通り存在し、このうち１つだけが　ｍ、ｔ、ｅがこの順に並んでいる。
　さらに、[ｏ]が３枚、[ｎ]が２枚あるので、６×３！×２！通りは同じ並び方である。
　つまり、
　　８！÷（６×３！×２！）＝５６０　　　答え：５６０通り

問題４：
　３個のさいころを同時に投げるとき、１個だけ１が出る確率を求めよ。

解答４：
　さいころの目の出方は、
　　６×６×６＝２１６　（通り）
　１個目のさいころが１、他の２個のさいころが１以外が出る出方は、
　　１×５×５＝２５　（通り）
　２個目のさいころ、３個目のさいころについても同様の出方があるので、
　　２５×３＝７５　（通り）
　７５／２１６＝２５／７２　　　　答え：２５／７２

問題５：
　正六角形の各頂点に１から６までの番号がつけてある。３個のさいころを
　同時に投げて、出た目と同じ番号の３点を直線で結ぶとき、次の確率を求めよ。
　　（１）　正三角形ができる確率　　（２）　正三角形ができない確率
　　（３）　正六角形と辺を共有する三角形ができる確率
　　　　　　　　
解答５：
　数字の並びがどうであっても、確率は同じなので、上図のように数字が並んでいるとする。
　さいころの目の出方は　６×６×６＝２１６　（通り）　である。
　（１）　正三角形となる目の出方は、
　　　　　　１，３，５　と、その並び替えの　３！＝６　（通り）
　　　　　　２，４，６　と、その並び替えの　３！＝６　（通り）
　　　　　の、合わせて１２通り。
　　　　　　１２／２１６＝１／１８　　　　　答え：１／１８

　（２）　（１）の余事象なので、１−１／１８＝１７／１８　　　答え：１７／１８

　（３）　三角形ができる、つまり３つのさいころの目がすべて違う場合のうち、
　　　　　正三角形でなければ、条件を満たす。
　　　　　三角形となる目の出方は
　　　　　　₆Ｐ₃＝１２０　（通り）
　　　　　このうち、１２通りは、正三角形なので、残り１０８通り。
　　　　　　１０８／２１６＝１／２　　　　答え：１／２

問題訂正：（１）（２）の答えが５／９、４／９らしいが、これは問題の「正三角形」が誤りで、
　ただの「三角形」であると思われる。そのときの解答は、
解答５：
　（１）さいころの目の出方は　６×６×６＝２１６　（通り）
　　　　このうち、三角形になるのは、異なる３つの数が出る場合なので、
　　　　　₆Ｐ₃＝１２０　（通り）
　　　　　１２０／２１６＝５／９　　　答え：５／９
　（２）　（１）の余事象なので、１−５／９＝４／９　　　答え：４／９

問題６：
　座標平面上の原点Ｏに点Ｐがあり、下の規則に従ってＰを動かすことにする。

　硬貨を４回投げ終わったとき、移動後の点Ｐの座標が次のようになる確率を求めよ。
　　（１）　（１，３）　　（２）　（４，０）

解答６：
　表、裏の出方は、
　　２×２×２×２＝１６　（通り）
　（１）４回のうち、表１回、裏３回となる確率である。
　　　　１回が表になるのは
　　　　　₄Ｃ₁＝４　（通り）
　　　　　４／１６＝１／４　　　答え：１／４
　（２）４回とも表の出る確率である。
　　　　そのような出方は、₄Ｃ₄＝１通り　　　　答え：１／１６

問題７：
　２個のさいころを同時に投げるとき、次の期待値を求めよ。
　　（１）出る目の和の期待値　　　（２）出る目の差の期待値

解答７：
　期待値は、（ある値）×（その値となる事象が起こる確率）　の合計である。
　また、事象の場合の数が、数えられる場合、
　　｛（ある値）×（その値となる事象が起こる場合の数）の和｝÷（すべての場合の数）
　さいころの目の出方は　６×６＝３６　通り。
　（１）和と、その場合の数を求める

　（２）差と、その場合の数を求めると、

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