問題
シグ(高校一年)さんからの質問１
問題
解答
△ＡＸＣと△ＢＹＣは角Ｃが共通な直角三角形ですから、相似な三角形であり、
∠ＸＡＣ＝∠ＣＢＹ …(1)
また
∠ＢＺＣ＝∠ＢＹＣ＝90°
より、ＢＣを直径とする円を描くと、点Ｙ，Ｚはその円周上にあります。
円周角により、
∠ＣＢＹ＝∠ＣＺＹ …(2)
同様に、ＡＣを直径とする円周上に、点Ｘ，Ｚがあり、
∠ＸＡＣ＝∠ＸＺＣ …(3)
(1)(2)(3)より、
∠ＣＺＹ＝∠ＸＺＣ
同様に、
∠ＺＹＢ＝∠ＸＹＢ
∠ＺＸＡ＝∠ＹＸＡ
が言えます。（垂足三角形は垂線により角が二等分される)
一方、
∠ＡＹＺ＝∠ＣＹＸ＝90°−∠ＸＹＢ
∠ＡＹＺ＝∠ＷＹＣ （対頂角)
より、
∠ＣＹＸ＝∠ＷＹＣ
以上より、点Ｃは△ＸＹＺの傍心のひとつになります。
同様に、点Ａ，点Ｂも、△ＸＹＺの傍心です。
点Ｃを中心とし、ＣＷを半径とする円を描くと、この円は、ＸＹ上の点Ｕと、ＺＸの延長線上の点Ｔにおいて、
ＸＹ，ＺＸと接します。
ＹＵ＝ＹＷ
ＸＵ＝ＸＴ
より、
ＺＴ＋ＺＷ＝(ＺＸ＋ＸＵ)＋(ＺＹ＋ＹＵ)
＝ＺＸ＋ＺＹ＋ＸＹ
ＺＴ＝ＺＷ より、
ＺＷ＝(ＺＸ＋ＺＹ＋ＸＹ)/２
同様に、Ｂを中心とし、ＢＶを半径とする円を描くと、
ＶＹ＝(ＺＸ＋ＺＹ＋ＸＹ)/２
が言えます。以上より、
ＶＷ＝ＺＷ＋ＶＹ−ＹＺ＝(ＺＸ＋ＺＹ＋ＸＹ)−ＹＺ＝ＸＹ＋ＸＺ