問題
連立不等式
x+y-1≧0,2x-3y+13≧0,4x-y-4≦0
を満たす座標平面上の点全体からなる領域をDとするとき、
次の問いに答えよ。
(1)領域Dを図示せよ。
(2)領域Ｄ内の点(x,y)に関して、y-xの最大値と最小値を求めよ。
(3)領域Ｄ内の点(x,y)に関して、y-axの最小値をm(a)、
最大値をM(a)とおき、その差S(a)をS(a)=M(a)-m(a)で定める。
このとき、S(a)を求めよ。
また、S(a)を最小とするaの値と、そのときの最小値を求めよ。
ただし、aは-1<a<1の範囲の実数の定数とする。
解答
(1) (2)で使用するグラフの通り。
(2) y-x=k とおくと、y=x+k より、k は、点(x,y) を通り、傾き１の直線のｙ切片として現れる。
領域Ｄの点から、傾き１の直線を引いたとき、ｙ切片が最大になるのは、図の赤線で、x=-2, y=3 のときの、k=5
最小になるのは、図の青線で、x=1, y=0 のときの、k=-1
(3)
y-ax=k とおくと、
a≦-1 のとき
(5/2, 6) を通るとき、ｋが最大で、M(a)＝6-(5a/2)
(-2, 3) を通るとき、ｋが最小で、m(a)＝3+2a
よって、S(a)＝3-(9a/2)
-1＜a≦2/3 のとき
(5/2, 6) を通るとき、ｋが最大で、M(a)＝6-(5a/2)
(1, 0) を通るとき、ｋが最小で、m(a)＝-a
よって、S(a)＝6-(3a/2)
2/3＜a のとき
(-2, 3) を通るとき、ｋが最大で、m(a)＝3+2a
(1, 0) を通るとき、ｋが最小で、m(a)＝-a
よって、S(a)＝3+3a
以上より
-1＜ａ≦2/3 のとき S(a)＝6-(3a/2)
2/3＜ａ＜１ のとき S(a)＝3+3a
S(a) が最小になるのは、ａ＝2/3 のとき S(a)＝５
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