2003年01月 の投稿ログ


5632．質問です。  
名前：大学生    日付：1月31日(金) 10時36分
今中２の内容の教育方法について学んでいます。
そこで平行四辺形になる条件をいろいろ考えています。
四角形ABCDにおいて対角線の交点をOとするとき
∠A＝∠C、OB＝ODを条件としてAB〃CD、AD〃BCを導く証明の方法を
教えてください。
よろしくお願いします。


5635．Re: 質問です。
名前：repunit    日付：1月31日(金) 20時47分
平面幾何の公理的構成について書かれた本を読まれるとよいでしょう。
例えば、「幾何のおもしろさ」（小平邦彦著、岩波）

5630．ベクトル（続き）  
名前：受験生    日付：1月31日(金) 0時21分
下のスレッド 5582 の続きです。

はなみずきさん、ありがとうございました。

教わったとおりの方針であれやこれややってみたのですが、
うまくいきません。。

どこをｓとｔと置いていいのかもよくわからないのですが、
いろんなところを置いてみて出そうとしてみたのですが、
HFとGEも→ａと→ｂで表すこともできません。。

どのように解いたらいいのでしょうか。。？
情けない話で申し訳ありませんが、解説をお願いいたします。
明後日が入試なので、ちょっとあせってます。。


5633．Re: ベクトル（続き）
名前：はなみずき    日付：1月31日(金) 12時10分
直線　ＤＩ上の点Ｐ　は　→ＡＰ＝(1－ｓ）→ＡＤ＋ｓ→ＡＩ
直線　ＧＥ上の点Ｐ　は　→ＡＰ＝(1－ｔ）→ＡＧ＋ｔ→ＡＥ
直線　ＨＦ上の点Ｐ　は　→ＡＰ＝(1－ｑ）→ＡＨ＋ｑ→ＡＦ

ここで、→ＡＤ＝→ａ，→ＡＩ＝→ｂとおくと
→ＡＧ＝２→ａ，→ＡＦ＝３→ｂ
→ＡＥ＝→ＡＢ＋→ＢＥ＝３→ａ＋（４→ｂ－３→ａ）/５＝（１２→ａ＋４→ｂ）/５
→ＡＨ＝→ＡＣ＋→ＣＨ＝→ＡＣ－→ＢＥ＝４→ｂ－（４→ｂ－３→ａ）/５＝（３→ａ＋１６→ｂ）/５
これらを上の式に代入して　それぞれ　Ｍ→a＋Ｎ→b　という形に変形します。

これで、直線ＤＩと直線GEと直線HFの各々を、→aと→bと媒介変数ｓ、ｔ、ｑをつかってあらわすことができました。

後は計算してみてくださいね。

5618．空間ベクトルです  
名前：モンモン    日付：1月30日(木) 22時44分
初めまして★
さっそくなんですが

「４点O(0,0,0)A(1,0,0,)B(1,2,0)C(2,1,3)があり
vec{u}=(x,y,1)がvec{AB},vec{AC}に垂直なとき
x,yを求め、またvec{u}と同じ向きの単位ベクトルvec{v}を求めよ。
さらに、点Oから△ABCに引いた垂線OHの長さを求めよ。」

x,yはすんなりx=-3,y=0と出ました。
vec{v}は｛単位ベクトルなんだからvec{u}をvec{|u|}で割ればいんだよな。｝
で（-3/sqrt{10},0,1/sqrt{10}）と出ました。
問題はOHの長さなんですがここがよくわかりません。
よろしくお願いします。


5619．Re: 空間ベクトルです
名前：バイタルアミソ    日付：1月30日(木) 22時48分
Aは求めたい点と平面との距離、Bは点と平面上の点の距離、Nは平面の法線ベクトル、θはNとBの間の角度です。 Nとθは外積(法線ベクトル)と内積により求まります。また、Bも、ニ点間の距離なので求まります。 Aはこれらのすでに計算された情報を元に計算します。

　三平方の定理より、

　　A = Bcosθ ・・・(式1)
　
　これだけです。

　ちなみに、Bがベクトルとして、BとNとの内積 Wは、
　　W = |B||N|cosθ
　(式1)のBはベクトルの絶対値（距離）なので、代入して、
　　W = A|N|
　変形して、
　　A|N| = W
　　A = W / |N|
図1. 点と平面の距離
　Wは内積、 Nは法線ベクトルなので、点と平面の距離は内積と法線ベクトルで定まることがわかります。

5617．質問です。  
名前：わひゃ    日付：1月30日(木) 22時35分
中３です。
一辺の長さが２の正四面体ＡＢＣＤの中に
すべての面に内接する球Ｏがはいっている。
ＡＣの中点をＭ，ＡＤの中点をＮとする。
球Ｏの中心とＢ、Ｍ、Ｎを通る平面との距離を求めよ。
図を書いてやって見たのですがわけがわからなくなってしまいました。
どうやるのでしょうか。


5631．Re: 質問です。
名前：ヨッシー    日付：1月31日(金) 10時21分
Original Size: 151 x 275, 2KB

とりあえず、図はこんなのです。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/


5647．Re: 質問です。
名前：わひゃ    日付：2月2日(日) 9時3分
う～ん、やっぱりわからないですね。
ありがとうございました。

5655．Re: 質問です。
名前：C-D    日付：2月3日(月) 13時26分
とりあえず、ヨッシーさんの描いた図の上の方の図を参考に…

ＭＮの中点をＰとでもすると、求める長さは、上の図の
Ｏから線分ＢＰに向けて引いた垂線の長さです。

この垂線を図に引けば、あとは内接円の半径の長さなど、
必要な数値を求めていけば、三平方と相似で答えが求まります。

5606．ｎ角形の対角線の交点の個数  
名前：K.N.G.    日付：1月30日(木) 17時45分
--問------------------------------------------------
ｎ角形の対角線の交点の個数はを求めよ．
但し，どの３本の対角線も同一の点で交わらないとする．
----------------------------------------------------
上記の問はどのように解くのでしょうか？
よろしくお願いします．


5607．Re: ｎ角形の対角線の交点の個数
名前：ヨッシー    日付：1月30日(木) 18時13分
ｎ≧４ の場合において、
頂点を適当に４つ選べば、それらで形成される四角形の対角線の交点が１つ存在します。
その４つの点の選び方の総数が、交点の総数となります。
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5608．Re: ｎ角形の対角線の交点の個数
名前：K.N.G.    日付：1月30日(木) 19時28分
ということは…，nC4ですか…．
まさかこれ程鮮やかに答えがでるとは…．全く思いつきませんでした．
ありがとうございました．

5605．教えて下さい  
名前：RYO-3    日付：1月30日(木) 14時46分
inf{ (3/2)^n-[(3/2)^n] ; n＝1,2,3,…}＝0ですか？
http://www.st.rim.or.jp/~flui/RYO-3/


5609．Re: 教えて下さい
名前：光影    日付：1月30日(木) 20時46分
そうだと思います。

5611．Re: 教えて下さい
名前：RYO-3    日付：1月30日(木) 20時52分
ご返事ありがとうございます。
お手数ですが論拠をご教示下さい。
http://www.st.rim.or.jp/~flui/RYO-3/

5612．Re: 教えて下さい
名前：はみん    日付：1月30日(木) 21時24分
勘違いしていたらすいません。
inf{～}とは、下限のことですよね？
さらに、[　]はガウス記号ですよね？
ならば、
X-[X]はX(>0)の小数部分ですから、0を下回ることをはありません。


参考

n=1 ～ 40
{0.5, 0.25, 0.375, 0.0625, 0.59375, 0.390625, 0.0859375, 0.628906, 0.443359,
0.665039, 0.497559, 0.746338, 0.619507, 0.92926, 0.89389, 0.840836, 0.261253,
0.89188, 0.83782, 0.25673, 0.885095, 0.827643, 0.741464, 0.112196, 0.168294,
0.752441, 0.128662, 0.692992, 0.0394886, 0.0592329, 0.588849, 0.883274,
0.824911, 0.737366, 0.60605, 0.409075, 0.613612, 0.920418, 0.880627, 0.32094}

5613．Re: 教えて下さい
名前：RYO-3    日付：1月30日(木) 21時31分
ご返事ありがとうございます。
Rの有界部分集合Aのinfの定義は
(1) x∈A⇒a≦x かつ
(2) p＞0⇒(x＜a+pとなるx∈Aが存在)
なので、(2) が問題なのです。
http://www.st.rim.or.jp/~flui/RYO-3/

5614．Re: 教えて下さい
名前：はみん    日付：1月30日(木) 21時58分
すいません、Aが下に有界ならx∈A⇒x≦tなるt∈Rがあってこのtの最大数をinfAと定義するから、
一般にminAが存在するならminA=infAとしてよいのでは、と思ったんですが。

5615．Re: 教えて下さい
名前：RYO-3    日付：1月30日(木) 22時10分
＞ minAが存在するなら
よいのですが、．．．
http://www.st.rim.or.jp/~flui/RYO-3/

5616．Re: 教えて下さい
名前：はみん    日付：1月30日(木) 22時29分
存在がいえなくても(3/2)^n-[(3/2)^n] ; n＝1,2,3,…は開区間(0,1)の全ての実数をとり尽くす、という事実があったと思います。
＊maxL(A)=infA(L(A)={t∈R｜x∈A⇒t≦x})
ここで、正の数t（t∈L(A)）の存在を仮定して、L(A)に正の数が存在しないことを矛盾を導けばいいと思います。
ここからmaxL(A)=0(=infA)。

5620．Re: 教えて下さい
名前：RYO-3    日付：1月30日(木) 22時49分
ご返事ありがとうございます。お聞きしたいのは
＞ という事実
の証明です。
http://www.st.rim.or.jp/~flui/RYO-3/

5621．Re: 教えて下さい
名前：バイタルアミソ    日付：1月30日(木) 22時54分
それはやや難です。

5622．Re: 教えて下さい
名前：RYO-3    日付：1月30日(木) 22時58分
ご返事ありがとうございます。
如何なる知識を要するのでしょうか？
http://www.st.rim.or.jp/~flui/RYO-3/

5623．Re: 教えて下さい
名前：バイタルアミソ    日付：1月30日(木) 23時0分
証明にはフーリエ級数かなにかを使った気がします。

5624．Re: 教えて下さい
名前：バイタルアミソ    日付：1月30日(木) 23時4分
今度「無敵超人ザンボット３＆無敵鋼人ダイターン３」のCD貸して下さい・・・。

5627．Re: 教えて下さい
名前：RYO-3    日付：1月30日(木) 23時11分
＞ フーリエ級数かなにか
適当な関数のFourier級数を利用するのでしょうか？
或いは、一連の収束定理の系として得られるのでしょうか？
掲載文献をご案内頂けますでしょうか？

＞ CD貸して下さい・・・。
了解しました。
http://www.st.rim.or.jp/~flui/RYO-3/

5628．Re: 教えて下さい
名前：バイタルアミソ    日付：1月30日(木) 23時18分
「積分の世界（後編）」などいかがでしょう。出版社は忘れましたが…。

5629．Re: 教えて下さい
名前：RYO-3    日付：1月30日(木) 23時33分
早速あたってみます。ありがとうございました。
ＣＤは明日ポストに入れておきます！
と思ったら、発売前だった。
http://www.st.rim.or.jp/~flui/RYO-3/

5600．どうして？  
名前：けん    日付：1月30日(木) 1時5分
高校3年です。

複素数のテストの問題で、

A(α), B(β), C(γ)…(中略)…として、∠ACB の大きさを求めよ。

というのがあったのですが、偏角を計算してて

　arg{(α-γ)/(β-γ)}=3(cos300°+isin300°)

となったので、∠ACB=300°としたのですが、
答えは ∠ACB=60°ということで減点されました。

確かに60°でも答えだと思うのですが、どうして300°では
いけないのでしょうか？ちなみに、問題文には角度の範囲の
指定もありませんでした。

「角度の大きさを求めよ」と言われたらそれは
「0度以上180度以下で答えなければならない」
という"決まり"として覚えておけ、ということなのでしょうか？


5601．Re: どうして？
名前：はみん（浪人）    日付：1月30日(木) 1時12分
決まり、というか暗黙のルールみたいなもんですかね・・・。
おそらく入試本番で「もしかしたら」減点されるかもよ？！
という、「念のための注意」みたいなものでしょう。

5602．どうしても・・・
名前：はみん（浪人）    日付：1月30日(木) 1時19分
＞暗黙のルール
たとえば、x-y、と答えるのを、整理せずに2x-y+xと答えたり、
約分せずに3/6と答えたり、というのがその一例ですかね。
「答えはなるべく簡単な形で」というのは、やはり常識でしょう。

自分も、√{(…)^3+(～)^3}みたいな式の√の中身を整理すればル√が消えてかなり綺麗な式が出てくるところを、このまま書いたら原点されたことがあります。

300より60の方が一般的で、分かりやすい（誰もがすぐに分かる）というだけの理由ですかね。

5603．Re: どうして？
名前：ヨッシー    日付：1月30日(木) 9時54分
帰国しないと、教科書でチェックできないのですが、「なす角」ということで
約束がしてあると思います。
通常は０°以上９０°以下、ベクトルや記号で向きが規定されるときは
０°以上１８０°以下です。
教科書の表現によって、厳格さが変わりますが、300°という答えが出た時点で
図形的にどんな角度かを確認することは必要でしょう。（計算結果で安心せず）

ちなみに
(β-γ)/(α-γ) を計算すれば 60°になります。
さらに、
arg{(α-γ)/(β-γ)}=3(cos300°+isin300°)の書き方は誤りです。
arg{(α-γ)/(β-γ)}=300°　が正しいです。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5634．Re: どうして？
名前：けん    日付：1月31日(金) 12時17分
はみんさん、ヨッシーさん、ご意見どうもありがとうございました。

なるほど。実を言うと、実験的に「300°にしたらどうなるんだろ？」
というのはあったんです。でもそれは「直線の方程式を求めよ。」という
問題に対して、"2x+4y-6=0" などと答えるのと同じ、ということですね。

ということは、例えば、O を中心とする半径○○の円周上に異なる2点
A, B をとって扇形 OAB の面積を考えるでも、中心角180度以上のほうの
扇形の面積も考えられるわけだが、通常は劣弧(で合ってましたっけ？)を
持つほうの面積を求める、ということと同じでしょうか。

僕がひねくれてただけかもしれませんね(笑)

あと、

　arg{(α-γ)/(β-γ)}=3(cos300°+isin300°)
→arg{(α-γ)/(β-γ)}=arg{3(cos300°+isin300°)}

の書き間違えでした(^-^;)
ヨッシーさん、ご指摘ありがとうございました <(_ _)>

5589．偏微分法  
名前：馬鹿田大学　化学科　１年    日付：1月29日(水) 21時1分
Ｚ＝xＣｏｓｙ　の偏導関数を求めよって問題なんですが、答えは
Ｚｘ＝Ｃｏｓｙ　　Ｚｙ＝－ｘＳｉｎｙって分かってるんですが途中式というか、なんでそうなるのか分かりません。助けて下さい！　後、受験生の方頑張って下さい！！


5592．Re: 偏微分法
名前：はなみずき    日付：1月29日(水) 21時38分
Ｚｘは、ｘを変数、ｙを定数と考えるので　Ｚ＝(cosｙ)ｘだから
Ｚｘ＝cosｙ・(x)´となります。

Ｚｙは、ｘを定数、ｙを変数と考えるので　Ｚ＝ｘ・cosｙだから
Ｚｙ＝ｘ（cosｙ)´＝ｘ・（－sinｙ）＝－ｘ・sinｙです。

5593．Re: 偏微分法
名前：B大　化学科　１年    日付：1月29日(水) 22時2分
あ！そうか！微分する前からＺｘならばｙを、Ｚｙならばｘを定数だと考えて微分するんですね！？　Ｚ’＝ｘ’Ｃｏｓｙ－ｘＳｉｎｙ　にしてからＺｘ＝…，ってやるんだとずっと思ってました。(x_x;)
ありがとうございましたっ(^人^)

5585．(untitled)  
名前：ルーキー    日付：1月29日(水) 18時52分
倉庫に米俵が何俵かある。毎日五台のトラックで米俵を運び入れ,一方で毎日一定の量で米俵運び出すと,８日間でなくなる。もしトラック７台で運び入れると４０日でなくなる。トラック８台で１０日間運び入れるとトラック何台分になるか。

５・８＋a/８＝７・４０＋a/４０……①
①よりa＝２０　　　４０＋２０/８＝１５/２
８・１０＋２０＝１００……②
１５/２・１０＝７５……③
②、③より１００－７５＝２５
と解説には書いてあったのですが、おのおのの式が何を意味しているのかわかりません教えてください。


5586．Re: (untitled)
名前：はなみずき    日付：1月29日(水) 19時10分
a　は　倉庫にもともと入っていたお米の量です。
毎日米俵運び出す量を　２つの方法で表しそれを等式で結んだのが①です。

5587．Re: (untitled)
名前：はなみずき    日付：1月29日(水) 19時24分
①はこの表示の仕方だと５・８＋（a/８）＝７・４０＋（a/４０）と読み取れてしまいますが、
（５・８＋a）/８＝（７・４０＋a）/４０ですよね。

左辺の　５×８＋a　は　8日間に運び出した米の量なので　1日に運び出す量はこれを８で割ります。
右辺の　７×４０＋a　は40日間で運び出した米の量なので40で割ります。

４０＋２０/８＝１５/２　は正確には（４０＋２０）/８＝１５/２で
実際に1日に運び出す米の量です。

８・１０＋２０＝１００はトラック８台で１０日間運び入れた米の量と
もともとあったお米を足したものです。
１５/２・１０＝７５は10日間で運び出したお米の量です。

「トラック８台で１０日間運び入れるとトラック何台分になるか。」この問題の意味が良く分かりませんが・・・

今、時間がなくってちょっと深く考えられなくって中途半端でごめんなさい。

5588．Re: (untitled)
名前：はなみずき    日付：1月29日(水) 20時25分
「トラック８台で１０日間運び入れるとトラック何台分になるか。」は
「トラック８台で１０日間運び入れると、そのとき、トラック何台分残っているか。」という問ですね。
答え　25台分　です♪

5604．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：1月30日(木) 12時6分
何のテキストか参考書か知りませんが、この解説通りの解答を書けば、
間違いなく減点です。
「解答は日本語で始める」が基本です。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5610．Re: (untitled)
名前：FactorInteger[38919686321]    日付：1月30日(木) 20時48分
確かに、採点者（ここでは読者）がすぐに理解できない解答は大問題です。

5638．Re: (untitled)
名前：ルーキー    日付：2月1日(土) 12時15分
返事が遅くなってすいません。はなみずきさんの解説よくわかりました。
ありがとうございました。

5582．ベクトル  
名前：受験生    日付：1月29日(水) 17時50分
解けそうで解けない。。
どなたか教えてください。

（問）三角形ABCにおいて、ABを1:2に内分する点をD,2:1に内分する点をG,
ACを1:3に内分する点をI,3:1に内分する点をF,
BCを1:4に内分する点をE,4:1に内分する点をH,
GEとHFの各延長線の交点をA',HFとDIの各延長線の交点をB',
DIとGEの各延長線の交点をC'とする。
ただし、三角形ABCの面積は10とする。

このとき、

　ベクトルA'C'　=　アイ／ウ　ベクトルEG
　ベクトルA'B'　=　エオ／カ　ベクトルHF
　ベクトルB'C'　=　キク／ケ　ベクトルID

であり、

　（△A'B'C'の面積）　=　コサシ／スセ
である。



という問題で、上記のカタカナの部分を埋める問題です。
どなたかよろしくお願いします。。。


5595．Re: ベクトル
名前：はなみずき    日付：1月29日(水) 22時55分
＜方針＞
→AD＝→a，→AI＝→bと置く。
直線GEと直線HFの各々を、→aと→bと媒介変数ｓ、ｔをつかってあらわす。
それか出来たら、それぞれを　○→a＋△→bとあらわし、
○が等しい、△が等しい　というｓとｔの連立方程式がたち、具体的にｓとｔが求まる。
すると、→AA'を→aと→ｂを用いて、あらわせます。
同様に、→AB',→AC'も、→aと→b　であらわしてみましょう。
すると、→A'C'なども、→aと→b　であらわせるでしょう。

5564．微分  
名前：よしみ    日付：1月29日(水) 12時19分
ｃを実数、ｅを自然対数の底とし、対数は自然対数とする。
ｘに関する方程式ｃｘ－ｌｏｇ(１+ex)＝０
の実数解の個数をもとめよ。
この問題で、ｃｘ＝ｌｏｇ(１+ex)として
解いたのですが、この時２実数解は無いのは何故なのでしょうか？
グラフの概形も合っていました。


5567．Re: 微分
名前：はなみずき    日付：1月29日(水) 12時44分
Original Size: 496 x 451, 29KB

微分して考えることもできますが、イメージで掴むのなら
y＝ｌｏｇ(１+eｘ)のグラフはｘが大きくなるとこのようになります。
ほぼ直線と考えて良いと思います。


5574．Re: 微分
名前：よしみ    日付：1月29日(水) 16時8分
ほぼ直線なら２実数解を取るのでは？？
ｘ→∞のときｌｏｇ(１+ex)→０なので
０なわけではないですよね？

5579．Re: 微分
名前：高校生    日付：1月29日(水) 16時50分
直線y=xに漸近する曲線だからです。

5580．Re: 微分
名前：高校生    日付：1月29日(水) 16時52分
＞ｘ→∞のときｌｏｇ(１+e＾x)→０なので

ｘ→∞のときｌｏｇ(１+e＾x)→∞
ではないでしょうか？

5583．Re: 微分
名前：よしみ    日付：1月29日(水) 18時11分
あーごめんなさい。極限間違ってました・・
ｙ＝ｘに漸近するとなんで２実数解がないんでしょう？
＞高校生さん

5584．Re: 微分
名前：よしみ    日付：1月29日(水) 18時12分
漸近する、というだけで、直線ではないので
２実数解を取ると思うんですが・・なんだかはまってしまったみたいです。

5590．Re: 微分
名前：高校生    日付：1月29日(水) 21時17分
自明だと思ったんですが・・・一応。

放物線とは違います。
（放物線みたいに、傾きが増えていくわけじゃないです。）
ｃ≦１のときは当然解はありません。
ではたとえばｃ＝３０の時を考えてみましょう。
ほとんどｙ軸ですから、解は１つですね。
では、ｃ＝３はどうでしょう。やはり、１つですよね。
ｃ＝２は？１つですね。
では、今度はｃを１に近づけていってください。
いつ「２点で交わる瞬間」がきますか？きません。
分かって頂けましたでしょうか。

5591．Re: 微分
名前：高校生（浪人中…）    日付：1月29日(水) 21時24分
うーん、稚拙な説明ですね。
「いつか」といわれたら、おしまいですし。
ではこれで解決です。

この曲線の、交わる瞬間の傾きはｃより小さいですよね？（交点での接線の傾きです）

では、もう1回交わるために、この曲線の傾きはどうならなければならないか・・・？
それは、ｃより小さくなった後、どんどん小さくなり、あるところで現象が増加に変わり、こんどは、傾きがｃより大きくなる。

そうすれば、確かに交わります。
つまり、もう1回交わるとして、その交点での曲線の傾きを考えるとｃより大きいはずです。

しかし、この曲線の傾き　→　１(-0)　（１に近づく。１は超えない。）
です。
交わったときよりも曲線の傾きはどんどん大きくなっていきます。
が、「１を超えることはできません」→「ｃを超えるなど、なおさらです。」

これでどうでしょう？
これは自明、としても結構だと思います。

5594．Re: 微分
名前：よしみ    日付：1月29日(水) 22時50分
イメージがつかめました。
ありがとうございます。
＞この曲線の傾き　→　１(-0)　（１に近づく。１は超えない。）
ここが良く分からなかったです・・すみませんが
ご説明お願いします。

5596．Re: 微分
名前：はなみずき    日付：1月29日(水) 23時10分
この曲線の傾きは　ｙ＝ｌｏｇ(１+eｘ）を微分して求めます。

ｙ´＝eｘ）/（１+eｘ）　です。
ｘがどんなに大きくても　ｙ´＜１　です。
でも、ｙ´→　１(-0)　（１に近づく。１は超えない。）です。

というか、高校生さんや高校生（浪人中…）さんが言われるように
ｘ→∞のとき、ｙ＝ｘと少しも離れることなく、限りなく近づいて行っているのですから、
原点を通る直線とこのｙ＝ｌｏｇ(１+eｘ）とは交点を2つ持つことはありません。
２つ持つとことを示すには、そうなるＣの存在を言ったら良いのですが、
そういうＣの存在は示せないのです。

よしみさんはＣがいくつの時、そうなると言われるのでしょうか？
また２つの交点が存在するとして、それを通る直線を求めたら、それは原点を通らないのです。

5597．Re: 微分
名前：はみん（浪人）    日付：1月29日(水) 23時31分
あ、紛らわしかったですね、すいません。
同じ人間です。（高校生と、浪人）

x→∞での漸近線がy=xとなるのは、

y/x = log(1+e^x)/x (x≠0)

で、右辺をx→∞にすると、log(1+e^x)/xは1に近づく。
即ち、x→∞においてはy/x=1、ということです。

log(1+e^x)/x → 1は、
まぁ1+e^xの1なんて、e^(十分大きいx)に比べたらホコリみたいなものですから、
xが十分大きければlog(e^x)/x（＝１）とみなせる、というところからも明らかでしょう。

5598．Re: 微分
名前：はみん（浪人）    日付：1月29日(水) 23時33分
で、右辺をx→∞にすると、log(1+e^x)/xは1に近づく。

↓

で、右辺をxを十分に大きくしていくと、log(1+e^x)/xは1に近づく。

でした。（あまり問題ないんですが、一応。）

5599．Re: 微分
名前：はみん（浪人）    日付：1月29日(水) 23時38分
もちろんはなみずきさんが示されたようにしっかりと微分してやっても構いません。
（というより、そっちの方が分かりやすいか・・・）

因みに、二つ上の書き込みは両辺をxで割っています。

5626．Re: 微分
名前：よしみ    日付：1月30日(木) 23時9分
やっと分かりました！
ありがとうございました。

5562．微分  
名前：ｍｉｙｕｋｉ    日付：1月29日(水) 12時14分
ある問題で解答が｜ex-1｜/｜ex+1｜
となっていたのですが、分母の絶対値はいらなくないですか？


5563．Re: 微分
名前：はなみずき    日付：1月29日(水) 12時19分
わたしも要らないと思います。

5565．Re: 微分
名前：ｍｉｙｕｋｉ    日付：1月29日(水) 12時21分
今、更新したらレスが付いていたので
ビックリしました(＾＾；
そうですよね。ありがとうございました。

5556．重積分です  
名前：みかん    日付：1月28日(火) 23時3分
∬（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ　１≤ｙ≤ｘ≤２
という問題なのですが積分範囲がいまいちわかりません。


5566．Re: 重積分です
名前：はなみずき    日付：1月29日(水) 12時32分
Original Size: 567 x 493, 28KB

１≦ｙ≦２，１≦ｘ≦２，ｙ≦ｘ　の範囲です


5568．Re: 重積分です
名前：ヨッシー    日付：1月29日(水) 13時29分
計算手順としては
　∫1～2∫y～2（ｘ＋ｙ）dxdy
で良いでしょうか？
ちょっと手元に資料がないので、自信ありません。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5550．教えてください  
名前：わひゃ    日付：1月28日(火) 20時33分
中３です。
１辺の長さが４ｃｍの正四面体ＡＢＣＤにおいて、
辺ＢＣの中点をＥとし、線分ＡＥ，線分ＥＤ、辺ＤＡ上に
それぞれ点Ｐ、Ｑ、Ｒを、ＰＱ平行ＡＤで三角形ＰＱＲが
正三角形となるようにとる。このとき正三角形ＰＱＲの
１辺の長さを求めなさい。
２√３、２√３、４の三角形を抜き出すことはわかったんですが
あとがわかりません。教えてください。
よろしくお願いします。


5552．Re: 教えてください
名前：はなみずき    日付：1月28日(火) 21時15分
Original Size: 454 x 306, 13KB

△EPS∽△EARより　ES：ER＝PS：ARである。
三平方の定理から、ER＝２√２
PS＝xとおくと、SR＝（√3)ｘだから、
（２√２－（√3)ｘ）：２√２＝ｘ：２


5555．Re: 教えてください
名前：わひゃ    日付：1月28日(火) 22時40分
ありがとうございました。
答えはｘ＝２√６－４より、
（４√６－８）ｃｍですね。

5558．Re: 教えてください
名前：はなみずき    日付：1月28日(火) 23時28分
わひゃさん、正解です♪

今、娘に同じ問題を聞かれました。＼(*◎o◎*)／ びっくり！
今日の入試で、その問題だけが解けなかったそうです。＿(．・*)／ ドテッ！

5569．Re: 教えてください
名前：わひゃ    日付：1月29日(水) 14時9分
あ、そうなんですか？
奇遇ですね。
あの学校の問題難しかったです。
娘さん合格するといいですね。

5548．不定積分について  
名前：まめじ    日付：1月28日(火) 20時18分
（１）∫（√ｘ－１／√ｘ）ｄｘ

（２）∫ｘ－４／ｘ^2 ｄｘ

この２問について不定積分を求めたいのですが
教えてください。


5554．どっちなん？
名前：みゆき    日付：1月28日(火) 22時2分
√ｘ－１／√ｘ＝(√ｘ－１)/√ｘ
それとも
√ｘ－１／√ｘ＝√ｘ－(１/√ｘ)
ｘ－４／ｘ^2 =(x-4)/x2
それとも
ｘ－４／ｘ^2 =x-(4/x2)

5545．微分  
名前：ｍｉｙｕｋｉ    日付：1月28日(火) 14時16分
３次関数f(x)=x3+3x2－1において
点Bでf(x)のグラフに上方から接する半径ｒの円を
方程式で表すとｘ2－{y-(r-1)2}=r2
となるのは何故でしょう？{y-(r-1)2}ではなく
{y-(-1-r)2}では？
そもそもこの円はf(0)=-1の点からしか接しないのは何故でしょう？
（解答でそう言っていました）接するだけなら色々書けそうな気が
するのですが。


5546．Re: 微分
名前：ヨッシー    日付：1月28日(火) 15時30分
点Ｂというのは、どういう点ですか？
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5549．Re: 微分
名前：はなみずき    日付：1月28日(火) 20時24分
Original Size: 585 x 473, 42KB

きっと　{y-(-1-r)2}　ではなく、{y-(-1-r)}2と言いたいのでしょうね？

でも、点B（0，-1）ならば、x2＋{y-(r-1)}2＝r2　で良いと思います。

たとえば、ｒ＝3のとき、x2＋(y-2)2＝32のグラフはこのようになります。


5561．Re: 微分
名前：ｍｉｙｕｋｉ    日付：1月29日(水) 1時59分
すみません。書き忘れていました。ありがとうございました。

5539．漸化式に関する証明  
名前：高校生    日付：1月28日(火) 2時41分
あの、質問よろしいでしょうか。
漸化式に関する証明問題なんですけど、３時間ぐらい悩んだんですがどうしても解決の兆しが見えないので、どなたかわかる方がいらっしゃいましたら方針だけでもいいのでご教授お願いします。
（ちなみに、問題集に出てきたもんだい、というわけではなく、単に自分の予想を確かめたいだけなんですけど。。。）

a1=1, a2=3
an=2an-1 + an-2 (n≧3)
こんな漸化式です。リュカ数列に似ています。

この数列について色々考えていたんですが、次の予想をどうやったら示せますか？？

a(2k-1)i　が　aiの倍数　ならば（仮定）、
a(2k+1)i　も　aiの倍数　である。

宜しくお願いします。自分もまだまだ考えてみますので・・・。


5540．Re: 漸化式に関する証明
名前：高校生    日付：1月28日(火) 2時46分
問題には関係ないかもしれませんが、
この数列の一般項は
an = {(1-√2)n + (1+√2)n}/2
です。
最初の２０項は以下のようになります。
{1, 3, 7, 17, 41, 99, 239, 577, 1393, 3363, 8119, 19601, 47321, 114243, 275807, 665857, 1607521, 3880899, 9369319, 22619537}

5541．追伸
名前：高校生    日付：1月28日(火) 2時54分
上にかいた
「～ならば、～である。」
の意味がよくわかりにくいと思われますので、
わかりやすく書き直すと、こうです。

ai, a3i, a5i, a7i, ...
は、全てaiの倍数である。

ということと同値です。

aiがaiの倍数であることは自明ですが、
a(2k-1)i（k=1,2,3,...）が全てaiの倍数なのか・・・？
ということです。

5544．更に…
名前：高校生    日付：1月28日(火) 6時56分
一般項から見てもわかるとおり、
anは、(1+√2)n=an+bn√2
で表されます。
bnはanの漸化式のa1=1, a2=2のものです。
ここで、更にこれらの関係についてですが、
ai(mod aj)≡0 ⇔ bi+j(mod aj)≡0
という予想をしてみました。
コンピュータで計算できる範囲で試してみたところでは正しい予想です。
いかがでしょうか。
ちなみに、これを考えていたせい(?)で結局眠れませんでした。

5559．感想です。
名前：ヤマダ    日付：1月28日(火) 23時49分
　フィボナッチの数列のような性質ですね。前２つの項の後のほうを２倍した和というもの。一般項も似てますね。わたしも取り組みましたが、まず、仮定・・・倍数になっているならば・・・・のところが　今ひとつ示されません。
結論の方の　ｋ－１　から　ｋ＋１　・・・
というのは、数学的帰納法と、一般項の内部の変形から示せそうです。

5571．Re: 漸化式に関する証明
名前：高校生    日付：1月29日(水) 15時55分
内部の変形ではうまくできなかったので、
一般項を利用してみたところ、こんな風になりました。
an = {(1-√2)n + (1+√2)n}/2

a(2k+1)i = {(1-√2)(2k+1)i + (1+√2)(2k+1)i}/2
(k=0,1,2,...)
A=(1-√2)i , B=(1+√2)i
a(2k+1)i = {A2k+1 + B2k+1}/2
=(A+B)(A2k+A2k-1・B+...A・B2k-1+B2k)
=(A+B){AB(A2k+B2k)-(AB)2(A2k-2+B2k-4)+(AB)3(A2k-6+B2k-6).....}
=2ai(AB・a2k-(AB)2・a2k-2+(AB)3・a2k-6-.....)・・・☆
ここで、AB={(1-√2)(1+√2)}i=(-1)iなので、
☆の( ～ )は整数。これより、示された・・・。
となったんですが、
最後の結果を見るに一般項を利用しなくても漸化式をうまく変形して言ってもaiでくくれるのでは・・・？
とおもいました。が、うまくいきません。どうでしょうか？？？

5573．Re: 漸化式に関する証明
名前：高校生    日付：1月29日(水) 16時2分
遅ればせながらレス有難うございます。＞ヤマダさん

5577．Re: 漸化式に関する証明
名前：高校生    日付：1月29日(水) 16時44分
☆が、

a(2k+1)i=2ai(a2ki - a2(k-1)i + a2(k-2)i - a2(k-3)i +.....)*(-1)i

ということを示しているので、これをどうにか一般項を用いずに導けませんかねえ・・・

5578．Re: 漸化式に関する証明
名前：高校生    日付：1月29日(水) 16時47分
３つ上の書き込みの☆部分の、aの項番号に×iが抜けていました。失礼しました。

5538．おしえてください。  
名前：高2    日付：1月28日(火) 1時15分
1からnまでの数字の書かれたカードが1枚ずつ、合計n枚ある。このとき、次の各問いに答えよ。
(1)これらのカードから2枚を取り出す時、その番号の和がn＋1を越えないような取り出し方は何通りあるか。ただし、n≧2とする。
(2)これらのカードの中から3枚を取り出すとき、そのうちのどの番号の差も3以上となるような取り出し方は何通りあるか。ただし、n≧7とする。


5551．Re: おしえてください。
名前：はなみずき    日付：1月28日(火) 20時48分
(1)その2枚のカードを　a，b （ただし、a＜b）とする。
a＝1のとき、bは2～n　　　のn－1通り
a＝2のとき、bは3～n-1　　のn－3通り
a＝3のとき、bは4～n-2　　のn－5通り
・・・・・・
nが奇数の時と、偶数の時に分けて考えましょう。

(2)その3枚を　a，b，cとします。（ただし、a＋3＜b，b＋3＜c）
x＝a，y＝b－3，z＝c－6とおくと、x＜y＜zという条件にかわります。
すると、n－6から3枚選んだ時と同じです。

5557．Re: おしえてください。
名前：高2    日付：1月28日(火) 23時8分
(1)で、nが偶数の時と奇数の時に分けて考える、というやり方がよく分かりません。できればそこのところをもう少し詳しく教えてください。よろしくお願いします。
(2)ではどうしてnー6から3選んだ時と同じになるんですか。

5560．Re: おしえてください。
名前：はなみずき    日付：1月29日(水) 1時6分
(1)ｎ＝2m（偶数）のとき
a=1，2，3，・・・のとき、それぞれ
2m－1，2m－3，・・・・・，5，3，1　通りある。つまり
1＋3＋5＋・・・＋(2m－1）

ｎ＝2m＋1（奇数）のとき、同様に
2m，2m－2，・・・・・，6，4，2　通りある。つまり
2＋4＋6＋・・・＋2m　

それぞれを計算する。

(2）ｃ≦ｎより、z＋6≦ｎだから、ｚ≦n－6
つまり、a,b,cをこのようにx,y,zで置き変えると、ｚ≦n－6に変わるからです。

5530．これっていったい？  
名前：白雪姫    日付：1月27日(月) 22時9分
初めまして、中２の子を持つ母です。
学校の宿題のプリントに『チェバの定理』の証明がありました。
これっていったいどの学年で習うものなのでしょうか？
先週、家庭教師（某医大２年生）が解けなくて、先ほどＦＡＸで解答を送ってくれたのですが、私が見てもちんぷんかんぷんです。


5531．Re: これっていったい？
名前：占星術師    日付：1月27日(月) 22時31分
現行指導要領では高校の「数学Ａ」の教科書の「平面幾何」に載っています。
扱われる学年は、各高校のカリキュラムによって異なります。
なお、こちらのサイトにも証明が載っています。
面積を利用した理解しやすい証明です。

5532．チェバの定理について
名前：変態数学教師見習い    日付：1月27日(月) 22時32分
結論からお答えしますと，「チェバの定理」はどの学年でも習いません．
(新学習指導要領の場合．前指導要領では高校「数学Ａ」にある．)
ただし，この定理を知っていると非常にカンタンに解ける問題が多いため，
中学校の図形分野の発展事項として扱われる先生もいるようです．

5533．Re: これっていったい？
名前：taka    日付：1月27日(月) 22時57分
現在高一です。自分も高校受験の時に塾でコレやりました。
変態数学教師見習いさんも言っている通り、問題によっては格段に違いがでます。
まぁ、高校受験のための必要知識だと思えば、、、、

5534．Re: これっていったい？
名前：中川　幸一    日付：1月27日(月) 23時0分
チェバの定理やメネラウスの定理は数２Bのベクトルでもかなりの武器になりますしね。
今のうちに覚えておいて損はないと思います。
むしろ今のうちに覚えておけば得なことがあるかも…。
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5537．Re: これっていったい？
名前：白雪姫    日付：1月28日(火) 0時29分
占星術師さん、変態数学教師見習いさん，ｔａｋａさん、中川幸一さん。
レスありがとうございます。
こちらのサイトの証明も拝見したのですが、私の錆びた頭ではとうてい理解不可能で（苦笑）ＦＡＸされた解答は、頂点Ｃを通って辺ＡＢに平行な線を引き三角形の相似を使って解くものでした。（もちろんこれまた理解不能）

5527．(untitled)  
名前：大学    日付：1月27日(月) 19時48分
加法定理の証明ヲ教えてください。


5529．？
名前：占星術師    日付：1月27日(月) 21時24分
何についての加法定理なのでしょうか。

5542．Re: (untitled)
名前：高校生    日付：1月28日(火) 4時6分
三角関数の・・・なら、

http://hiw.oo.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/99/answer.cgi/t1/math-b?page=0

ですかね？いや、違いますか？

5525．シグマの計算  
名前：受験生    日付：1月27日(月) 16時29分
すいません。解答解説を読んでも、どうしてそうなるのかわかりません。。
どなたか解説をお願いします。

まず、問題はΣ[j=1,n]Σ[k=j,n] (j+k) をnについての整式とみなして展開せよ。

という問題なのですが、この解答の出だしの部分として、

Σ[k=j,n](j+k) = j(n-j+1) + Σ[k=j,n]k
　　　　　　　 = j(n-j+1) + (j+n)(n-j+1)/2
　　　　　　　 = ・
　　　　　　　 = ・
　　　　　　　 = ・

となっているのですが、この出だしの2行がどうしても理解
できません。これより後は、式変形でなんとか理解できそうです。

どうして、この2行のような形になるのか、教えてください。
よろしくお願いいたします。


5526．Re: シグマの計算
名前：変態数学教師見習い    日付：1月27日(月) 17時41分
n
Σ (ｊ＋ｋ)＝(ｊ＋ｊ)＋(ｊ＋(ｊ＋１))＋…＋(ｊ＋ｎ)
k=j
　　　　　＝２ｊ＋(２ｊ＋１)＋…＋(ｊ＋ｎ)　　　　　…☆

とすれば，☆が初項２ｊ，末項ｊ＋ｎ，項数ｎ－ｊ＋１の
等差数列の和であることが分かる．あとはカンタン．
本の解説は，カンタンなことをわざと難しく書いているように
も見えます．(結局はΣの性質の利用に過ぎないのだが)

(佐久間信子たんのファン)

5581．Re: シグマの計算
名前：受験生    日付：1月29日(水) 17時40分
なるほど。ありがとうございました。

5524．内積の角度の求め方。  
名前：ぷろグラマー    日付：1月27日(月) 16時23分
内積を使った角度の求め方がわかりません。
アークコサインはプログラム上使用できず、２つのベクトル成分から間の角度をRadとして求めたいのですが、やりかたはあるのでしょうか。
アークタンジェントならつかえるのですが、、。


5528．Re: 内積の角度の求め方。
名前：源秀哉    日付：1月27日(月) 19時56分
sin2θ+cos2=1と
sinθ/cosθ=tanθ
の２つの公式を使えば解けると思いますが...。

5536．Re: 内積の角度の求め方。
名前：中川　幸一    日付：1月27日(月) 23時5分
級数展開の近似はいかがでしょうか？
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5507．わかりません  
名前：ゆき    日付：1月26日(日) 20時49分
証明ってぜんぜんわかりません。
いいとき方ありますか？？


5509．Re: わかりません
名前：中川　幸一    日付：1月26日(日) 21時46分
証明と言っても色々な証明があります。
それは平面幾何の証明でしょうか？
(不)等式の証明でしょうか？

また学年は何ですか？
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5510．Re: わかりません
名前：ゆき    日付：1月26日(日) 21時49分
えっと、中２です。
証明はまだ習いはじめたばっかです。

5515．Re: わかりません
名前：中川　幸一    日付：1月26日(日) 22時5分
中２と言うことは
合同や相似とかの平面幾何一般の証明ですか？
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5518．Re: わかりません
名前：ゆき    日付：1月26日(日) 22時51分
合同？？
あ、三角形の合同のことです。
あと、二等辺三角形がどうのこうのと。

5519．Re: わかりません
名前：中川　幸一    日付：1月26日(日) 23時18分
まずはじめに3つの合同条件を完璧に覚えましょう。
あとは問題集等で何度も解いて慣れることです。

＞あと、二等辺三角形がどうのこうのと。
もっと具体的に教えてくれますか？
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5523．Re: わかりません
名前：ゆき    日付：1月27日(月) 13時39分
二等辺三角形の頂角の二等分線。
とかいうやつです。
あと、円周角の定理というやつを今日ならい
はじめたのですがさっぱりわかりません。？？
なんか、１つの弧に対する円周角の大きさは
その弧に対する中心角の大きさの半分であるとか
同じ弧に対する円周角の大きさは等しいとか。
これを使って角度を求めなさいとかあるんですけど。

5535．Re: わかりません
名前：中川　幸一    日付：1月27日(月) 23時3分
問題集を解いていてここが分からない！
みたいに具体的に分からないところの例を挙げてもらえますか？
出来れば自分で作成した解答も。

そうすればどこが弱いのかが分かりますし、今後のアドバイスも出しやすくなります。
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5547．Re: わかりません
名前：ゆき    日付：1月28日(火) 16時50分
頂角∠Ａの大きさが３６°の二等辺三角形ＡＢＣ
があります。低角∠Ｂの二等分線が辺ＡＣ
と交わる点をＤとすると
　　ＢＣ＝ＢＤ＝ＡＤ
であることを証明しなさい。

と、いうやつなんですが。
自分で作成した回答はないです、まったくわかりませんでした。

5553．　がんばってください。
名前：田中    日付：1月28日(火) 21時33分
中学生ということで、勉学がんばってください。

まず、中学の図形証明は、そうとうひねくれていない限り目安は、つけられるものが多いです。

たぶん　なされていると思いますが、紙に、大きく図を書きましょう、５，６センチ四方のスペース、まず、およその図を描きましょう。これが絶対です。問題に図が書いていたら、それでも良いです。

まず、「＊＊＊＊だと、いうことを証明しなさい」のこの最後のところを見つめます。そうすると、「ＢＣ＝ＢＤ＝ＡＤ　を・・」

「うわーー　いきなり　３つの長さが等しいってかー　」と驚くのですが、しかし、あわてない。こんなときは、よくあります。

　　このときは、ＢＣ＝ＢＤ　　そして　　ＢＤ＝ＡＤ　　　である

と　順に示しても、ＢＤを仲立ちにして、３つつながるのですから。というように、結論を導く簡単な心構え、方針を思い浮かべます。

次に、ＢＣ＝ＢＤ　・・・？？　　これって、２辺が等しいことを述べていることじゃないかな？　と気がついて欲しいです。２辺って、いろいろあるけど、三角形の２辺だとしたら・・とこの３角形は２等辺三角形のはず。でも、そうなるためには、条件がいるはず、確か、この三角形の、下の方２つの角（底角）は、等しくなっていないかな？・・と図を見つめます。さあ、図のいたるところに、Ａが３６゜で、　　Ｂ、Ｃ７２゜　とかの数字は、小さく入れているでしょうか。・・・おーっと　珍しいことに、７２の半分は・・・・（　　）度　だったりして。この角度の条件で、あといくつかの、２等辺三角形が見つかるはずです。

すると、目的の線の長さが等しいことを証明できます。

名探偵コンナくんは、「犯人は・・・きっとこうしたはずだ」と言いますよね。

ここが等しいためには、この３角形が　この形のはずだ！！！　と予想するのです。
　ならば、どこどこの角度は・・・どうなっているはずだ。　・

という　「はずだ戦法」を使います。

中学数学なら　ほとんどはこれで、解き明かせます。

がんばってください。

5505．わかりません。  
名前：じゅんこ    日付：1月26日(日) 17時48分
等比数列について、次の問いに答えよ。
（１）初項が-2、公比が3、末項が-1458のとき、項数を求めよ。
高１です。


5506．Re: わかりません。
名前：K.N.G.    日付：1月26日(日) 19時25分
--解答例--------------------------------------------------------
初項が-2，公比が3であるから，一般項をanとすると
an=-2*3n-1
と書けます．
an=-2*3n-1=-1458
⇔3*n-1=729
⇔3*n-1=36．
∴n-1=6 ⇔ n=7．
以上より，末項は7番目の項であることがわかり，
従って，項数は7であるとわかります．
----------------------------------------------------------------

5508．Re: わかりません。
名前：じゅんこ    日付：1月26日(日) 21時22分
もう１つ教えてください。
4と64の間に3つの数を入れて等比数列になるようにする。この3つの数を求めよ。

5511．Re: わかりません。
名前：中川　幸一    日付：1月26日(日) 21時50分
a1=4, a5=64
として, an=arn-1
に当てはめて a と r を求めてみましょう。
そうすれば自ずとa2, a3, a4 が求まります。
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5512．Re: わかりません。
名前：K.N.G.    日付：1月26日(日) 21時54分
--解答例--------------------------------------------------------
3つの数を順にそれぞれa2, a3, a4とすると，この等比数列は，
4, a2, a3, a4, 64
即ち，初項4，末項64，項数5の数列である．
公比をrとすると，
a2=4*r
a3=4*r2
a4=4*r3
a5=4*r4=64 …(*)
(*)⇔r4=64/4=16
∴r=2．
したがって，求める3数は，順に8, 16, 32である．
----------------------------------------------------------------

5516．Re: わかりません。
名前：中川　幸一    日付：1月26日(日) 22時6分
r=-2

も入りませんか？
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5517．Re: わかりません。
名前：じゅんこ    日付：1月26日(日) 22時34分
もう1つ教えてください。
初項から第3項までの和が28、第4項から第6項までの和が-756であるとき、初項と公比を求めよ。

5521．Re: わかりません。
名前：変態数学教師見習い    日付：1月27日(月) 0時10分
初項をａ，公比をｒとおく．
初項から第３項までの和が２８だから
　　　ａ＋ａｒ＋ａｒ2＝２８　　　　　　　 …①
第４項から第６項までの和が－７５６だから
　　　ａｒ3＋ａｒ4＋ａｒ5＝－７５６
　∴　ｒ3(ａ＋ａｒ＋ａｒ2)＝－７５６　　　…②
①を②に代入すれば，ｒ3の値が分かります．
あとはカンタンですね．和の公式を使うまでもありません．

5522．訂正ですm(_ _)m
名前：K.N.G.    日付：1月27日(月) 1時53分
> r=-2も入りませんか？
すみません，全く仰る通りです．

最後の２行を以下のように訂正します．
----------------------------------------------------------------
∴r=-2, 2．
したがって，求める3数は，順に8, 16, 32または-8, 16, -32である．
----------------------------------------------------------------

5504．逆三角関数について  
名前：Kawanishi    日付：1月26日(日) 14時48分
Size: 170 x 85, 1KB

２辺の長さが分かっているときの直角三角形の角度を
関数電卓でなく、普通の電卓で求める計算をご教授願いたいのですが・・・
宜しくお願い致します。


5520．Re: 逆三角関数について
名前：中川　幸一    日付：1月26日(日) 23時35分
arctanのMaclaurin級数展開すれば出来るんじゃないの？
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5502．定積分なのですが  
名前：swan    日付：1月26日(日) 14時1分
　π/2
∫　(sinx)^m・(cosx)^n dx
0
（n,m∈Ｎ）
です、このとき方って・・・？


5514．Re: 定積分なのですが
名前：中川　幸一    日付：1月26日(日) 22時3分
まずはじめに、以下の２つの等式を証明しましょう。
∫[0＜x＜π/2]_sin2mx dx = ∫[0＜x＜π/2]_cos2mx dx = π×Π[k=1 to m]_((2k-1)/2k)
∫[0＜x＜π/2]_sin2m+1x dx = ∫[0＜x＜π/2]_cos2m+1x dx = Π[k=1 to m]_(2k/(2k+1))

見づらくてごめんなさい。

PS式を間違えてなければ良いですが……。
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5499．5*5^n-1を展開すると  
名前：Ｏｐｔｉｍｉｓｔａ    日付：1月26日(日) 7時7分
こんにちは。
5*5^n-1を展開するとどうして
5*5^n-1=(5^n-1)+4*5^n
になるのでしょうか。
ご教授ねがいます


5500．Re: 5*5^n-1を展開すると
名前：源秀哉    日付：1月26日(日) 8時23分
5=1+4なので、
5*5n-1
=(1+4)5n-1
=(5n-1)+4*5n
となります。

5494．漸化式　　Help me  
名前：かもちゃん    日付：1月25日(土) 19時32分
ａ1 ＝ １　、　ａn+１ ＝　2ａｎ－３ で定義される数列ａｎについて
ａｎ＋2 －ａｎ+１ ＝ ２(ａｎ＋１－ａｎ)を導き、この階差数列が初項？
公比？　の階差数列であることから、ａｎを求めよ。

ａとｎの直後の数字は,小さい数字です。見にくくてすいませんが、分かりやすく教えてください。お願いします。


5495．Re: 漸化式　　Help me
名前：源秀哉    日付：1月25日(土) 19時49分
結局、どんな説明をすべきでしょうか？

5496．Re: 漸化式　　Help me
名前：変態数学教師見習い    日付：1月25日(土) 21時7分
　数列{ｂ(n)}を　ｂ(n)＝ａ(n+1)－ａ(n)　で定義します．
すなわち，{ｂ(n)}は{ａ(n)}の階差数列です．
ここで，ｎ≧２のとき
　　ａ(n)＝ａ(1)＋{ａ(2)－ａ(1)}＋{ａ(3)－ａ(2)}＋…＋{ａ(n)－ａ(n-1)}
　　　　 ＝ａ(1)＋ｂ(1)＋ｂ(2)＋…＋ｂ(n-1)　　　　　　　　　　　　　…☆
となります．ａ(1)は分かっているので，ｂ(1)＋ｂ(2)＋…＋ｂ(n-1)がｎの式で
表せれば，ｎ≧２のときのａ(n)をｎの式で表すことができますね．

　そこで，階差数列{ｂ(n)}の一般項を求めてみましょう．
条件から　　　ａ(n+1)＝２ａ(n)－３　　　　…①
また　　　　　ａ(n+2)＝２ａ(n+1)－３　　　…②
②－①より　　ａ(n+2)－ａ(n+1)＝２(ａ(n+1)－ａ(n))
すなわち　　　ｂ(n+1)＝２ｂ(n)
　これとｂ(1)＝ａ(2)－ａ(1)の値から，階差数列{ｂ(n)}の
一般項を求めることができます．

　すると☆から，ｎ≧２のときのａ(n)をｎの式で表すことができます．
　この式にｎ＝１を代入したときの値がａ(1)に一致していれば，
その式が{ａ(n)}の一般項です．
　一致していない場合は，ｎ＝１のときとｎ≧２のときで場合を分けて
答えることになります．

(佐久間信子たんのファン)

5498．Re: 漸化式　　Help me
名前：かもちゃん    日付：1月26日(日) 0時5分
驚!!　本当に分かりやすい説明を有り難う。　
今後とも!?宜しくお願いします。

5487．(untitled)  
名前：よしみ    日付：1月25日(土) 15時55分
x3+y3=1
のグラフが、解説を読んでもいまいち概形
がつかめません。漸近線がy=－xとなっているのですが
それすらも・・。どなたかお願いします！！


5490．Re: (untitled)
名前：中年N    日付：1月25日(土) 16時27分
とりあえず　わたしの　考え方。

移項して
　ｙ＾3　＝　-ｘ＾3　+　1　
とする。

　右の項のグラフを描く。

　右下がりの減少関数のグラフとなる。

　これに　３√をかぶせると　どうなるか、と考える。
　正負は　奇数の根号であるから
　同じである。

　ｙは減少関数である。

　あとは　代表的な点、1やゼロをｘ、ｙに
　代入して　調べてみる。

5493．ちなみに、こんな感じのグラフになります。
名前：おおさわ    日付：1月25日(土) 19時14分
陽関数でも十分表現できそうですね。
http://simfan.cn1.jp/mathmarks/

5501．Re: (untitled)
名前：よしみ    日付：1月26日(日) 11時54分
中年Nさん、おおさわさん、お二人ともありがとうございます。
私も中年Nさんのように考えたのですが、
入試の過去問で出題されたものなので、入試の時は
やはり記述問題なので、漸近線などをきちんと調べた方が
いいかな？と思いまして。申し訳無いのですが、どなたか
そう言った書き方を教えてもらえないでしょうか。

5503．Re: (untitled)
名前：花パジャ    日付：1月26日(日) 14時27分
漸近線は両辺をx3で割って
1+(y/x)3=1/x3　→　0　(x　→　±∞)
から得るのでは

5485．関数  
名前：ｍｉｙｕｋｉ    日付：1月25日(土) 12時27分
高３です。
４(ｘ－１)＝（ｘ＋ｙ－１）^２
をｙについて解きたいんですが良く分かりません。
詳しい計算過程をお願いします（＞＜


5486．Re: 関数
名前：K.N.G.    日付：1月25日(土) 14時13分
--解答例--------------------------------------------------------
4(x-1)=(x+y-1)^2…(*)
公式 (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2caより
((*)式右辺)=x^2+y^2+1+2xy-2y-2x．
∴4(x-1)=x^2+y^2+1+2xy-2y-2x．
⇔x^2+y^2+1+2xy-2y-2x-4(x-1)=0
⇔x^2+y^2+2xy-2y-6x+5=0
これを，yについて整理すると，
y^2+2(x-1)y+x^2-6x+5=0…(**)
yについて解くので，xを定数と見なすと，
(**)は(yに関する)２次方程式です．
従って，解の公式より
y=-(x-1)±√{(x-1)^2-(x^2-6x+5)}
ここで，
(根号内)=(x-1)^2-(x^2-6x+5)=4x+4=4(x+1)より
y=-(x-1)±√{4(x+1)}=-(x+1)±2√(x+1)．
--------------------------------------------------------------
わからないところがあればまた質問して下さい．
計算ミスがあったらごめんなさい．

5488．Re: 関数
名前：よしみ    日付：1月25日(土) 16時4分
ありがとうございます！
とても丁寧な解説ですんなり理解できました。
又何かあればよろしくお願いします。

5489．Re: 関数
名前：fan    日付：1月25日(土) 16時12分
(x+y-1)2=4(x-1)
x+y-1=±2√(x-1)
y=-x+1±2√(x-1)
すでに平方完成されているのですからわざわざ展開しなくても良いですね。

5497．あっ！
名前：K.N.G.    日付：1月25日(土) 21時27分
全く気付かなかった…．
まだまだですね…．

5479．ヘロンの公式  
名前：数学苦手さん    日付：1月25日(土) 9時35分
三角形の３辺の長さＡ＝2.72ｍＢ＝2.76ｍＣ＝10.00ｍで面積を求めたいのですが、ヘロンの公式に基づいて計算すると面積が出ません。
2Ｓ＝Ａ+Ｂ+Ｃ　Ｓ〔面積〕＝√Ｓ(Ｓ-Ａ)(Ｓ-Ｂ)(Ｓ-Ｃ)で計算をしたのですが、Ｓ-Ｃの値がマイナス値になるのでエクセルに関数を設定するとエラーが出てしまいます。３辺の長さの和／2が三角形の１辺の長さより短かい時は、ヘロンの公式では、三角形の面積を求めることは、できないのでしょうか？？？？


5480．Re: ヘロンの公式
名前：fan    日付：1月25日(土) 9時39分
辺の長さが2.72m,2.76m,10.00mですか？
そんな三角形存在しますか？

5483．Re: ヘロンの公式
名前：C-D    日付：1月25日(土) 11時42分
Original Size: 405 x 278, 4KB

一番長い辺の長さが、残り２辺の長さの和より短くないと
三角形は作れません。

# 三角形を平面上以外で描こうとしているのであれば
話は別でしょうけど。

記事No.5439の話題も参考にしてください。


5478．出張です  
名前：ヨッシー    日付：1月25日(土) 8時39分
２月８日まで、海外出張します。
頻繁にレス出来ないかも知れませんが、ご了承下さい。
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5471．(untitled)  
名前：ｍｉｙｕｋｉ    日付：1月24日(金) 16時4分
度々ごめんなさい。答えは求まったのですが、
違う求め方もあるかと思いまして・・。
「斜辺の長さが1である正ｎ角錘を考える。
つまり、底面を正ｎ角形A1A2･･･An、頂点を
Ｏと表せば、OA1＝OA2＝…＝OAn＝１である。
そのような正n角錐のなかで、最大の体積をもつものをCnとする。
Cnの体積Vnを求めよ。

この問題で、V＝(1/3)Sｈ(Sは底面の面積、ｈは高さ)
として考えたのですが、単純にV＝（1/3）πｒ^2ｈと
して考えても求められますか？

この問題で、V＝Sｈ


5473．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：1月24日(金) 17時11分
V＝（1/3）πｒ^2ｈ の最大を考える方法でｒやｈを求めても同じ値が得られるか？
ということなら、答えは「○」です。
ただし、最終的な答えは、ちゃんとｎ角錐の体積とするように、注意しましょう。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5481．Re: (untitled)
名前：ｍｉｙｕｋｉ    日付：1月25日(土) 10時54分
なるほど・・。
そうですよね。私の式だとnが含まれないので
面倒ですね（＾＾；ありがとうございました。

5469．(untitled)  
名前：ｍｉｙｕｋｉ    日付：1月24日(金) 15時54分
f(t)=9t2/1+36t4
という関数を微分する時、繁雑さを防ぐため何かを
文字で置き換えますよね。例えば、この場合、ｕ＝3t2
と置いたのですが、いつも計算して行くうちにたまたま見つける、
といった感じなんです。計算で出す方法を教えてください。
分かり辛い質問ですみません。


5475．Re: (untitled)
名前：おおさわ    日付：1月24日(金) 21時0分
f(t)=9t2/(1+36t4)
と解釈してよろしいのでしょうか？

文字で置くと言う考え方は、
飽くまで計算を簡単にする方法の一つです。
よって、計算で求めるのは不可能だと思います。
別にf(t)のままでも微分できますから。
http://simfan.cn1.jp/mathmarks/

5482．Re: (untitled)
名前：ｍｉｙｕｋｉ    日付：1月25日(土) 10時55分
そうなんですか！ありがとうございました。

5468．私の持分  
名前：keiko    日付：1月24日(金) 15時51分
はじめまして。やさしくお願いします。

2000万円÷4800万円＝5/12

導き方が判りません。


5472．Re: 私の持分
名前：知也    日付：1月24日(金) 17時11分
2000万円と4800万円をそれぞれ100万円でわってみるとそれぞれ２０と４８　２０/４８=5/12

5474．Re: 私の持分
名前：keiko    日付：1月24日(金) 19時1分
回答ありがとうございました。何か忘れていたものが、よみがえったような感じでした。ちょっと大げさかな？助かりました。

5461．(untitled)  
名前：ｍｉｙｕｋｉ    日付：1月24日(金) 9時5分
∞
∑( 3^n+4^n)/5^n
n=1
がわかりそうでわかりません・・。解説も無く困っています。どなたかよろしくお願いします!!
Σ(3/5)^{n}+Σ(4/5)^{n}とわけて考えたのですが。


5464．Re: (untitled)
名前：花パジャ    日付：1月24日(金) 11時43分
α<1のとき
　∞
　∑α^n = α/(1-α)
　n=1
がわからない、という意味かしらん...

5465．Re: (untitled)
名前：ｍｉｙｕｋｉ    日付：1月24日(金) 12時18分
それなんですよね・・。初項は１で１/(1-α)ではないかと思うんですが。
この辺りを踏まえて答えをお願いします(；；)

5467．Re: (untitled)
名前：花パジャ    日付：1月24日(金) 15時29分
>初項は１で１/(1-α)ではないかと思うんですが。
　∞
　∑α^(n-1) = 1/(1-α)
　n=1
ですね
　 N
　∑α^n = S
　n=1
とすると
　 N
　∑α^(n+1) = αS
　n=1
　N+1
= ∑α^n
　n=2
　 N
= ∑α^n + α^(N+1) - α
　n=1
=S + α^(N+1) - α
より
　S=α/(1-α)*(1-α^n)
で、α<1のとき、N→∞で、S→α/(1-α)

5470．Re: (untitled)
名前：ｍｉｙｕｋｉ    日付：1月24日(金) 15時56分
分かりました。ありがとうございます！

5476．Re: (untitled)
名前：中川　幸一    日付：1月24日(金) 23時39分
計算すると
11/2
になりました。
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5459．(untitled)  
名前：よしみ    日付：1月24日(金) 9時1分
Ｃ：ｙ＝ｘ３上を動く点Ｐ(ｔ，ｔ３)
（ただしＰ≠０）がある。ＰにおけるＣの接線とＣとのもう１つの
交点をＱとし、ＱにおけるＣの接線とＣとのもう１つの交点をＲ
とする。このときｃｏｓ∠ＰＱＲの取りうる値の範囲を求めよ。

ここでＣは原点に関して対象であるからｔ＞０なのは何故でしょう？
ｔ＜０も考えられると思ったのですが。
またＰＱの方程式をｙ＝ｍｘ＋ｎ、Ｑのｘ座標をｓとすると
ｘ３－ｍｘ－ｎ＝０の３つの解がｔ、ｔ、ｓとなる・・
というところも良く分からないのです。よろしくお願いします。


5462．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：1月24日(金) 9時50分
「Ｃは原点に関して対称であるからｔ＞０」なのではなく
「Ｃは原点に関して対称であるからｔ＞０について考えれば十分である」という意味です。
Ｐ’(-t, -t3) から始めて、Ｑ’、Ｒ’を決めたとしても、
これらはそれぞれ、Ｑ、Ｒと原点について対称なので、
∠ＰＱＲ と ∠Ｐ’Ｑ’Ｒ’ は等しいので、範囲を調べる上では、ｔ＞０
だけを調べればいいのです。

ｙ＝ｘ3
ｙ＝ｍｘ＋ｎ
の連立方程式を解く過程で　ｘ3－ｍｘ－ｎ＝０ が出てきます。
Ｐは接点なので、この点で重解、Ｑでもう一つの解となるので、
ｔ(重解)、ｓ がｘの解になります。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5466．Re: (untitled)
名前：よしみ    日付：1月24日(金) 12時21分
ありがとうございました！
すっごく分かり易い説明で、今感動してるところです。（笑
本当にありがとうございました。

5457．これは成り立っているんでしょうか？　Part.2  
名前：うっしー（数ⅡＢ）    日付：1月24日(金) 1時30分
えー、私の友人がこんなことを発見していました。

三角形ＡＢＣの内接円について、三角形ＡＢＣの各辺との接点を、それぞれ、
ＢＣとの接点をＰ、ＣＡとの接点をＱ、ＡＢとの接点をＲとする。
ここで、ＢＰ＝p、ＣＱ＝q、ＡＲ＝rとする。
すると、三角形ＡＢＣの面積ＳはＳ＝√(p＋q＋r)pqr　となる。
さらに、円に外接する四角形へと拡張して同様の操作を行うと、
Ｓ＝√(p＋q＋r＋s)(pqr＋qrs＋rsp＋spq)　となる（そうです）。
一般の円に外接するｎ角形の面積についても、同様に
このような和と積の形で表現できるのだろうか？

というものです。私自身の意見としては五角形以降は不成立…？と思うんですが、その証明もできないので、悩んでいます。
これは一体どうなっているんでしょうか？　すみませんが教えていただきたいです。


5491．長いです、まずは準備
名前：花パジャ    日付：1月25日(土) 16時43分
四角形に関しては成立ですが、
少なくとも五角形は不成立です(多分、以降不成立)
(長くなります)

内接円の半径をr、
多角形の頂点と内接円の中心と件の頂点に隣接する接点とで作る角の角度をθiとし、
(どちらの隣接する接点に対しても角度は同じ)
接点-頂点間の距離をＰiとすると
　Ｐi=r*tanθi
今、
　Θ(n)=Σni=1θn
とすると、N角形においては
　Θ(N)=π
なので、
　tanθN=tan(π-Θ(N-1))=-tan(Θ(N-1))
である。今、N角形の面積をSとすると
　S=ΣNi=1r*Ｐi
より
　S2=(ΣNi=1Ｐi)*(r2ΣNi=1Ｐi)
である。
ここで
　Ｖ(N)=r2ΣNi=1Ｐi
とおき、これがNによってどうなるかを見る

さて
　Ｍ(n)=Σni=1tanθi
　Ｄ(n)=Σni=1Σnj=i+1tanθi*tanθj
　Ｔ(n)=Σni=1Σnj=i+1Σnk=j+1tanθi*tanθj*tanθk
　ＭＰ(n)=Σni=1Ｐi=r*Ｍ(n)
　ＤＰ(n)=Σni=1Σnj=i+1Ｐi*Ｐj=r2*Ｄ(n)
　ＴＰ(n)=Σni=1Σnj=i+1Σnk=j+1Ｐi*Ｐj*Ｐk=r3*Ｔ(n)
と置くと
　Ｖ(n)=r2ＭＰ(n)
である。これを
　Ｐi=r*tanθi
　tanθN=-tan(Θ(N-1))
を使って求める訳である
参考までに、これから使う式を並べると
　tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanA*tanB)
　Ｍ(n+1)=Ｍ(n) + tanθn+1
　Ｄ(n+1)=Ｄ(n) + Ｍ(n)*tanθn+1
　Ｔ(n+1)=Ｔ(n) + Ｄ(n)*tanθn+1
　ＭＰ(n+1)=ＭＰ(n) + Ｐn+1
　ＤＰ(n+1)=ＤＰ(n) + ＭＰ(n)*Ｐn+1
　ＴＰ(n+1)=ＴＰ(n) + ＤＰ(n)*Ｐn+1

5492．ここからが本番
名前：花パジャ    日付：1月25日(土) 16時44分
N=3のとき
　tan(Θ(2))=tan(θ1+θ2)=(tanθ1+tanθ2)/(1-tanθ1*tanθ2)
　　=Ｍ(2)/(1-Ｄ(2))
　tanθ3=-tan(Θ(2))=Ｍ(2)/(Ｄ(2)-1)
両辺にr=r3/r2をかけて
　Ｐ3=r2*ＭＰ(2)/(ＤＰ(2)-r2)
　ＤＰ(2)*Ｐ3=r2*(ＭＰ(2)+Ｐ3)
　Ｖ(3)=r2*ＭＰ(3)=ＴＰ(3)　(ＴＰ(2)=0)

N=4のとき
　tan(Θ(3))=tan(Θ(2)+θ3)=(tan(Θ(2))+tanθ3)/(1-tan(Θ(2)*tanθ3)
　　=(Ｍ(2)/(1-Ｄ(2))+tanθ3)/(1-Ｍ(2)/(1-Ｄ(2))*tanθ3)
　　=(Ｍ(2)+tanθ3-Ｄ(2)*tanθ3)/(1-(Ｄ(2)+Ｍ(2)*tanθ3))
　　=(Ｍ(3)-Ｔ(3))/(1-Ｄ(3))　(Ｔ(2)=0)
　tanθ4=-tan(Θ(3))=(Ｍ(3)-Ｔ(3))/(Ｄ(3)-1)
両辺にr=r3/r2をかけて
　Ｐ4=(r2*ＭＰ(3)-ＴＰ(3))/(ＤＰ(3)-r2)
　ＴＰ(3)+ＤＰ(3)*Ｐ4=r2*(ＭＰ(3)+Ｐ4)
　Ｖ(4)=r2*ＭＰ(4)=ＴＰ(4)　

N=5のとき
　tan(Θ(4))=tan(Θ(3)+θ4)=(tan(Θ(3))+tanθ4)/(1-tan(Θ(3)*tanθ4)
　　=((Ｍ(3)-Ｔ(3))/(1-Ｄ(3))+tanθ4)/(1-(Ｍ(3)-Ｔ(3))/(1-Ｄ(3))*tanθ4)
　　=(Ｍ(3)+tanθ4-(Ｔ(3)+Ｄ(3)*tanθ4))/(1-(Ｄ(3)+Ｍ(3)*tanθ4)+Ｔ(3)*tanθ4)
　　=(Ｍ(4)-Ｔ(4))/(1-Ｄ(4)+Ｔ(3)*tanθ4)
　tanθ5=-tan(Θ(4))=(Ｍ(4)-Ｔ(4))/(Ｄ(3)-1-Ｔ(3)*tanθ4)
両辺にr=r3/r2をかけて
　Ｐ5=(r2*ＭＰ(4)-ＴＰ(4))/(ＤＰ(4)-r2-ＴＰ(3)*Ｐ4/r2)
　ＴＰ(4)+ＤＰ(4)*Ｐ5=r2*(ＭＰ(4)+Ｐ5)+ＴＰ(3)*Ｐ4*Ｐ5/r2
　ＴＰ(5)=r2*ＭＰ(5)+ＴＰ(3)*Ｐ4*Ｐ5/r2
ここで、ここまでのように
　Ｖ(5)=r2*ＭＰ(5)=ＴＰ(5)
となれば、五角形でも成立なのだが、実際には
　ＴＰ(5)-Ｖ(5)=ＴＰ(3)*Ｐ4*Ｐ5/r2=Ｐ1*Ｐ2*Ｐ3*Ｐ4*Ｐ5/r2≠0
となり成立しない
(Ｖ(5)がどうなるかはr2を変数とする二次方程式を解けばいいが、ここでは省略)

5456．正１２面体群  
名前：まりん    日付：1月24日(金) 1時5分
はじめまして。大学２年生のまりんです。正１２面体群の位数と正規部分群の求め方がわかりません。教えて下さい。

5454．はじめまして  
名前：ark    日付：1月23日(木) 23時38分
初めまして、ark（高２）と申します。

いきなり質問なのですが、


{f(x)^3}-2=g(x)h(x)を満たすf(x)の内、次数が最小のものを１つ求めよ。
ただし、f(x),g(x),h(x)は各々整数係数多項式であり、f(x)の最高次係数は、１、とする。


という問題です。出典は今年の数学オリンピックなのですが、この問題だけ全く手が出ませんでした。
解法へのアプローチ等でも良いので、教えて下されば幸いです。


5455．Re: はじめまして
名前：みゆき    日付：1月23日(木) 23時45分
ちょっとだけ条件が不足しているので問題を書き直しておきます。
f(x)は整数係数多項式であり、最高次の係数は1である。また、1次以上の整数係数多項式g(x), h(x)で、
{f(x)}3-2=g(x)h(x)
となるものが存在するという。
このようなf(x)のうち、次数が最小であるものを１つ求めよ。

5458．Re: はじめまして
名前：ark    日付：1月24日(金) 2時45分
補足有り難うございます（＾＾；）
手元に問題がなかったので・・・

只の予想なのですが、f(x)は２次式かな？と思っています。
{f(x)}^3-2の「－２」をどう処理するのか、そして整数係数というところがこの問題のネック・・・というよりこの条件のお陰で行き詰まってしまいます。

5445．三角関数の周期  
名前：よしみ    日付：1月23日(木) 16時47分
θは０≦θ＜πを動くものとし、ｆ(θ)＝ｓｉｎ＾２θｓｉｎ２θ
とするときｆ(θ)のＭＡＸ、ＭＩＮおよびそのときのθを求めよ。

この問題で、ＭＡＸ，ＭＩＮはあっていたのですが、θの値
が答えより少なかったのですが・・。
４π/３と５π／３が私の計算だと入っていませんでした。
どうしてなのでしょうか。↓計算過程を記しておきましたので
添削お願いします。

「ｆ'(θ)＝２ｓｉｎ３θｓｉｎθ＝０のとき
　ｓｉｎ３θ＝０　または　ｓｉｎθ＝０
⇔３θ＝０，π，２π　または　θ＝０，π
⇔θ＝　０，　π／３，　２π／３　，　π」

と、このようにしました。お願い致します・・。

※あと、この後、続きの問題で、解答では
ｆ（θ）のＭＡＸ＝ｆ（２θ）のＭＡＸと考えているのですが、
それはいいのでしょうか？？


5448．Re: 三角関数の周期
名前：みゆき    日付：1月23日(木) 17時54分
問題文の
θは０≦θ＜πを動くものとし
はあっているのかなぁ？

問題文が正しければ
よしみさんの解答で正解です。

5449．Re: 三角関数の周期
名前：ヨッシー    日付：1月23日(木) 18時19分
「４π/３と５π／３」が入っているということは、
問題文が、０≦θ＜２π であると考えられますが、どうでしょう？
そうでなければ、「４π/３と５π／３」が入っている方が誤りです。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5450．Re: 三角関数の周期
名前：よしみ    日付：1月23日(木) 19時45分
あ！ごめんなさい！２πです・・・。

5451．Re: 三角関数の周期
名前：よしみ    日付：1月23日(木) 20時44分
すみませんが、２πだったと言う事で、どなたか改めて
お願いします（＾▽＾；

5452．Re: 三角関数の周期
名前：みゆき    日付：1月23日(木) 20時51分
０≦θ＜２πならば
０≦３θ＜６πなので
「３θ＝０，π，２π　または　θ＝０，π」の部分を
直せばOKです。

5453．Re: 三角関数の周期
名前：よしみ    日付：1月23日(木) 21時21分
具体的にどの様に？

5460．Re: 三角関数の周期
名前：よしみ    日付：1月24日(金) 9時2分
みゆきさんすみません。分かりました。

5439．ヘロンの公式について!  
名前：すわん    日付：1月23日(木) 0時19分
初めて、投稿して、書き込みを色々と間違いました。すみません。
ルートの中が０やマイナスになるのはどうしてですか？
誰か教えて下さい。
高ー２です。


5440．Re: ヘロンの公式について!
名前：K.N.G.    日付：1月23日(木) 1時16分
ヘロンの公式：
三角形(３辺の長さをそれぞれa, b, cとする)の面積をSとすると，
S=√{s(s-a)(s-b)(s-c)}, s=(a+b+c)/2
のことですよね？
------------------------------------------------------------
ルートの中が0になるのは，面積が0のときですが，
ルートの中が負になることは，あるのでしょうか…．

5441．Re: ヘロンの公式について!
名前：ヨッシー    日付：1月23日(木) 6時27分
a,b,c で三角形の３辺を構成できるなら、ルート内が０やマイナスになることはありません。
３辺を構成できるとは、３つとも正の数で、２つの数の和は残りの数よりも大きい
という条件を満たしていることです。

つまり、ｓ＝(ａ＋ｂ＋ｃ)／２ はもちろん正ですが、
ｓ－ａ＝(ｂ＋ｃ－ａ)／２ なども、すべて正なので、
ルート内は必ず正になります。
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5430．微分です  
名前：みゆき    日付：1月22日(水) 19時26分
解いていた問題で、ｆ(ｔ)＝２ｔ＋（１/２ｔ2）について
ｔ＝1/3√2のときの
ｆ(ｔ)の値を求めたいのですが・・。指数の計算がどこか
違っているらしく、いつも合いません。
詳しい計算過程をお願いします。
因みに答えは３3√4/２です。


5432．Re: 微分です
名前：変態数学教師見習い    日付：1月22日(水) 21時17分
ｔ＝２-1/3 なので
　　　２ｔ＝２・２-1/3＝２2/3
　　　１／２ｔ2＝(１／２)・ｔ-2＝(１／２)・２2/3

5433．微分？
名前：K.N.G.    日付：1月22日(水) 21時23分
f(1/3√2)
=2*(1/3√2)+1/[2*{1/(3√2)2}] …tに1/3√2を代入
=2*(3√2)2/{(3√2)*(3√2)2}+(3√2)2/2 …第1項を有理化
=2*(3√2)2/2+(3√2)2/2 …第1項の分母を計算
=(3*3√4)/2 …(3√2)2=3√4より

5435．私ならこうします。
名前：中川　幸一    日付：1月22日(水) 23時17分
f(t)=2t+1/(2t2)=(4t3+1)/(2t2)

よって, t=1/(3√2)=2-1/3 を代入して

f(t)=(4(2-1/3)3+1)/(2(2-1/3)2)
=(2+1)/(2(2-2/3))
=(3(22/3))/2
=(33√4)/2
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5442．Re: 微分です
名前：みゆき    日付：1月23日(木) 12時6分
ありがとうございました。

5429．リーマン積分です・  
名前：白鳥    日付：1月22日(水) 19時23分
定義ってなんですか？
教科書にのってる文章の意味がうまくよみとれないのですが。


5434．Re: リーマン積分です・
名前：源秀哉    日付：1月22日(水) 21時39分
教科書には何て書いてありますか？

5421．ベクトルについて  
名前：まめじ    日付：1月22日(水) 17時13分
Original Size: 555 x 375, 23KB

続けて質問ですいません。
ベクトルについて分からない問題があるので
教えてください。

添付ファイルのところにデータを貼り付けましたので
よろしくお願いします。


5424．Re: ベクトルについて
名前：おおさわ    日付：1月22日(水) 17時59分
名前：おおさわ 日付：1月22日(水) 17時58分
問題１（と勝手に名づけた）
(1)
ベクトルの差は、（同じ点からベクトルが出ているとき）、引く側のベクトルの端点から、
引かれるほうのベクトルの端点へひいたベクトルを求めればいい。
ここで、それぞれの端点は、B , C であるから、
求めるベクトルは、BC↑
(2)
同様に、AC↑
(3)
-BC↑=CB↑である。（向きが逆だから）
ここで、CB↑はAC↑の端点から伸びているから、
求めるベクトル(AC↑+CB↑)はそれぞれの始点と終点を取って、
AB↑

問題２
(1)大きさ３倍、向き同じ
(2)大きさ２倍、向き反対
【解説】
(1)
a↑+a↑+a↑=3a↑ であることより、
このベクトルは、同じ向きのベクトルの長さを３倍したものと考えられる。
(2)
(-a↑)+(-a↑)=2(-a↑) であることより、
このベクトルは、反対向きのベクトルの長さを２倍したものと考えられる。
http://simfan.cn1.jp/mathmarks/

5425．こんな感じでしょうか…
名前：K.N.G.    日付：1月22日(水) 18時5分
(1) AC-AB=BC．
(2) BC-BA=AC．
(3) AC-BC(=CB-CA)=AB．
以上は，図から考えることができます．
また，PQ=□Q-□P(□には同じ文字が入ります)
という公式を知っていれば，計算により解くこともできます．
------------------------------------------------------------
ベクトルaを
→
とすると，
a+a+a=3a
から，これを図示すると，次のようになります．
→→→
つまり，ベクトルaを矢印の方向と同じ方向に3倍伸ばせばいいわけです．
また，
(-a)+(-a)=-2a
から，これを図示すると，次のようになります．
←←
つまり，ベクトルaを←の方向と逆の方向に2倍伸ばせばいいわけです．

※AB, AC, BA, BC, CA, CB, PQ, aはいずれもベクトルを表しているものとします．

5436．訂正
名前：K.N.G.    日付：1月22日(水) 23時52分
空行を数えずに下から2行目
> つまり，ベクトルaを←の方向と逆の方向に2倍伸ばせばいいわけです．
を
つまり，ベクトルaを矢印の方向と逆の方向に2倍伸ばせばいいわけです．
と訂正します．失礼しましたm(_ _)m

5447．Re: ベクトルについて
名前：まめじ    日付：1月23日(木) 17時22分
おおさわさん、K.N.G.さん、
理解することができました。

返信どうもありがとうございます。

5416．教えてください  
名前：まめじ    日付：1月21日(火) 23時56分
合成関数の微分法を用いて微分する問題について教えてください

（ｘ＋１）^3／（２ｘ－５）^2

この問題の解き方を教えてください。

あと、三角関数の加法定理
ｓｉｎ（α＋β）＝ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ
ｓｉｎ（α－β）＝ｓｉｎαｃｏｓβ－ｃｏｓαｓｉｎβ
より
ｓｉｎ（α＋β）＋ｓｉｎ（α－β）＝２ｓｉｎαｃｏｓβ
を導けという問題を教えてください。

よろしくお願いします。


5417．Re: 教えてください
名前：中川　幸一    日付：1月22日(水) 0時3分
合成関数の微分とは

y=f(u), u=g(x) のとき dy/dx = dy/du・du/dx = f '(u)g '(x)

です。一度上の式を参考に計算をしてみてください。


三角関数の加法定理の方ですが、上の式と、下の式を足し合わせれば良いだけでは？
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5419．Re: 教えてください
名前：ヨッシー    日付：1月22日(水) 10時39分
＞三角関数の加法定理の方ですが、上の式と、下の式を足し合わせれば良いだけでは？

その通りです。簡単な式変形ですが、一度自分で計算されることを
強くお勧めします。あと、
　ｓｉｎ（α＋β）－ｓｉｎ（α－β）＝２ｃｏｓαｓｉｎβ
や ｃｏｓ版も。
これらは、和積の公式(和を積に変える、またはその逆)といわれる公式で
積分などでよく出てきます。その割に、まるごと覚えるのが結構大変です。
加法定理から導ける方法を知っていれば、丸暗記することも、覚え損なって
間違うこともありません。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5420．Re: 教えてください
名前：まめじ    日付：1月22日(水) 17時9分
中川　幸一さん、ヨッシーさん
レスどうもありがとうございます。

引き続き頑張ってやろうと思います。
ありがとうございました。

5412．教えてください。  
名前：関野　純未    日付：1月21日(火) 20時44分
関数f(x)＝x〔x〕のx＝1における連続性を調べよ。
高２　数Ⅲです。


5413．こんなんでどうでしょうか．
名前：K.N.G.    日付：1月21日(火) 21時35分
lim(x[x])=1*0=0
x→1-0
lim(x[x])=1*1=1
x→1+0
故に，関数f(x)はx=1において不連続である．

5422．Re: 教えてください。
名前：関野　純未    日付：1月22日(水) 17時54分
答えていただき、ありがとうございました。
本当に助かりました！

5408．(untitled)  
名前：りえ    日付：1月21日(火) 18時10分
マイナスとマイナスをかけるとなぜプラスになるんですか？


5415．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：1月21日(火) 23時49分
とりあえずこちらをご覧下さい。
掛け算の基本法則(単位元１の存在、分配法則等を用いた証明が厳密ですが、
理屈で理解するなら、この程度で)
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5404．(untitled)  
名前：や～    日付：1月21日(火) 14時52分
今、n人でじゃんけんをする。
そのときあいこになる確率を求めよ


5405．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：1月21日(火) 15時48分
とりあえずこちらをご覧下さい。
これは、暫定的なページですので、そのうち消えます。
その時は、私のページの「ミニ講座」からたどって下さい。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5411．Re: (untitled)
名前：高橋　道広    日付：1月21日(火) 19時59分
2種類のものが出るのを考えます
○と×を並べる並べ方は　(2＾nー2)通り
2種類のものは(グーとチョキ)　(グーとパー)　（チョキとパー)の
３通りなので
2種類のものが出る場合の数は　
3×(2＾nー2)/3＾n＝(2＾nー2)/3＾(n－１)
それ以外があいこなので
１－(2＾nー2)/3＾(n－１)
＝(3^(n-1)ー2＾n+2)/3＾(n－１)
なんてのは　どうでしょう

謹慎中につき　これで失礼します。（5393を見ると理由がわかるかも）
（ちっとも謹慎してませんね）(~o~)

5393．空間図形に関する問題です。  
名前：公務員受験生（大学生）    日付：1月21日(火) 0時34分
はじめまして。
私にはわからないところがあったので、
教えてください。

大きさも形もまったく同じ直方体が２つある。これを張り合わせて大きな直方体を１つ作るとき、その表面積が236、248、256となるとすると、張り合わせる前の直方体の１つの表面積はいくらか。

この問題で私は図のイメージが全くつかめませんでした。
よろしくお願いします。


5394．Re: 空間図形に関する問題です。
名前：みゆき    日付：1月21日(火) 0時49分
直方体の3つの面（長方形）は大きさがそれぞれ違い、
一番大きな面どうしをくっつけると、表面積が236
一番小さな面どうしをくっつけると、表面積が256
中くらいの面どうしをくっつけると、表面積が248
となるところから解いていきます。

5395．Re: 空間図形に関する問題です。
名前：みゆき    日付：1月21日(火) 0時55分
直方体の各面の面積をx,y,z(x＞y＞z)とすれば
求める直方体の表面積は2(x+y+z)
一番大きな面どうしをくっつけると、表面積は4(x+y+z)-2x=236
同様にして
一番小さな面どうしをくっつけると、表面積は???????????=256
中くらいの面どうしをくっつけると、表面積は???????????=248
三つの式を合計すれば・・・

5392．分からない問題があるので教えてください。  
名前：高2    日付：1月20日(月) 23時45分
3次方程式2x³－4x＋1=0の実数解のうち、最大のものをα、5次方程式x⁵－x³－2xーk=0の実数解のうち最大のものをβとするとき、次の各問いに答えよ。ただし、kは整数とする。
(1)1＜α＜√2であることを証明せよ。
(2)β＜αとなるようなkの最大値を求めよ。


5398．Re: 分からない問題があるので教えてください。
名前：高橋　道広    日付：1月21日(火) 11時40分
(1)
f(x)=2x＾3-4x+1とおきます。Y=F(X)のグラフを考えます。
f'(x)=6x＾2-4ですから　x>√6/3で増加です。
f(1)=-1　f(√2)=1ですから　1<x<√2でx軸と交わります。
ところが　x>√6/3で増加ですから　√2以上で交わりません。
よって　1＜α＜√2となります
(2)
g(x)=x＾5-x＾3-2X-K　とおきます。　Y=g(x)のグラフを考えます。
このグラフでK=0のときは　g(x)=x(x＾2ー2)(x＾2+1)ですから
Y=g(x)は３次関数とおなじような形でβ=√2であることを考えておくといいでしょう。
Kが変わるとこのグラフが上下に平行移動されるわけです。
（図を描くといいでしょう　αも書いておいて　グラフが変わると
βが
移動していくことを確認してください）

そうすると、g(α)>0となるKの最大値を求めるとよいことがわかります。
g(α)=(2α＾3-4α+1)(1/2α＾2+1/2)+(-1/2α＾2-K)
=-1/2α＾2-K>0であることから　K<-1/2α＾2であることか
Kの最大値は-1となります。

5399．答えはおそらくk=-2
名前：占星術師    日付：1月21日(火) 12時20分
横から失礼しますが、
k=-1のときはα＜βになると思うのですが…
＞g(α)=(2α＾3-4α+1)((1/2)α^2+1/2)+((-1/2)α^2-K)
この部分の計算合ってます？

5403．Re: 分からない問題があるので教えてください。
名前：高橋　道広    日付：1月21日(火) 14時7分
間違えました。
g(α)=(2α＾3-4α+1)((1/2)α^2+1/2)+((-1/2)α^2-K-1/2)ですね(~_~;)
すると　(-1/2)α^2-K-1/2>0から
K<(-1/2)α^2-1/2　　-3/2<(-1/2)α^2-1/2<-1 なので
K=-2ですね

ここに書きながら解いているので　計算ミスをしてしまいました。
しばらく謹慎いたしますm(__)m

5391．三角比と超越数  
名前：ババロア    日付：1月20日(月) 14時40分
高校１年です。質問なんですけど、

三角比は１５度刻み、１８度刻みでなら平方根によって表記することができる、と参考書で読んだんですが、それはつまり代数的数だということですよね。それでは、他の三角比についてはどうなんでしょう。やっぱり代数的数なのでしょうか、それともπやeと同じように超越数なのでしょうか。

１８度刻みの三角比が、底角が１８度の二等辺三角形や二倍角の公式などから求められる、ということで感動したんで、それでは他の角では、と思ったんですがさっぱりわかりません。


5397．Re: 三角比と超越数
名前：占星術師    日付：1月21日(火) 11時36分
代数的数の意味をご存知ということは、
高校数学全般の基礎知識をお持ちなのだろう、と推測して書きます。
一般に、任意の整数nに対しcos(nθ)はx=cosθについてのn次多項式
（数学的帰納法や複素数を用いて高校の知識で証明可能）ですから、
有理数°の三角比すなわちcos(m/n)°は代数的数です。
ただし、５次以上の代数多項式の根は四則演算や累乗根の組み合わせでは
求められない（アーベルの定理）ので、代数的数であっても
値を具体的に求められるとは限りません。

一方、代数的数αに対する弧度法での三角比すなわちsinαやcosαは超越数です。
証明は高校数学を凌駕します。（参考文献：塩川宇賢『無理数と超越数』森北出版）

5401．Re: 三角比と超越数
名前：ババロア    日付：1月21日(火) 13時27分
　cosθについて、

　θが有理数(度)であればその値は代数的数になる・・・つまり、簡単な三角表などに載っているcos24°やtan62°などは全て代数方程式の根になり、

　一方、θが無理数の代数的数（但し弧度法において）であれば証明は困難ではあるけれど、超越数になる・・・つまり、sin√32やcos2iなどは代数方程式の根とならない、

　というわけですね。それじゃあ、cos(m/n)°の値を求める公式のようなものはあるのでしょうか。それとも、特別な三角形を作ったり、従来の公式を巧みに変形させてでないと求めることはできないのでしょうか。

5406．統一的な公式はたぶん無理
名前：占星術師    日付：1月21日(火) 16時58分
一般的なcos(m/n)°の値を求める公式を作るのは無理かと。
理由その1：上に書いたとおり、５次以上の代数方程式の解の公式は作れない
理由その２：仮に４次以下の代数方程式の解となるような三角比に限定しても、
２次と３次では全然解法が違ってくる。

5409．Re: 三角比と超越数
名前：ババロア    日付：1月21日(火) 18時36分
　ということは、１５度単位や１８度単位の三角比は、偶然二次方程式の解となったから簡単に求められた、というわけなんですね。
　よくわかりました、ありがとうございます（^^）

5381．ギモン  
名前：けん    日付：1月19日(日) 20時44分
高校3年です。

素朴な疑問なんですが、本によって数学用語(？)を数字を使って
いるものと漢数字を使っているものがありますよね？
(三角比/３角比，正三角形/正３角形，二等分線/２等分線など・・・)

これってどっちが正しいんでしょうか？僕個人としては、数学だし
横書きなんだから数字で書くのが正しいと思うのですが。
(小学校低学年くらいのときに、「横書きのときは数字を使いなさい」
と言われた覚えもあります)とは言っても、「三平方の定理」を
「３平方の定理」と書いた本を見たことはないのですが・・・

細かいことかもしれませんが、なにぶん几帳面な性格なもので(^-^;)
みなさんはどう思いますか？

あと、ここの掲示板にある図はどれも非常に丁寧で見ていてすごく
感心します。手軽に描ける何か良いソフトがあれば教えて頂けると
嬉しいのですが・・・よろしくお願いします。


5388．Re: ギモン
名前：ヨッシー    日付：1月20日(月) 1時2分
私の手元になぜか「日本語の文字表記」というテキストがあります。
国語表記と数学の場合とでは多少違うと思われますが、
横書きの場合、「アラビア数字を用いて書く」が基本のようです。
ただし、漢数字を用いる場合として、
和語の数字…漢数字を横書きの中でそのまま用いる
　一つ　六つ　一月（ひとつき）
固有名詞など…他の漢字とともに用いる
　二重橋　四国　第一次世界大戦
概数の書き方…縦書きの書き方を準用する
　二、三人　四千七、八百万円　何万　幾千
慣用的な語…熟語の一部となる場合
　五重の塔　一般に　一休み　七五三　七転び八起き　再三再四
となっています。この慣用的な語とするかどうかで、三角形か３角形か
が判断されると思われます。より、一般化された語だと書き手が感じれば
漢数字になるでしょうし、数がかなり意識される場合は算用数字で書かれる
でしょう。
どちらが正しいと言うことはないと思います。

図は、私は花子で書いていますが、個人で買うには少し高いかも知れません。
下の方の、占星術師さんのは何でしょう？PhotoShop か何か？
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5407．更に高額
名前：占星術師    日付：1月21日(火) 16時59分
Photoshopなどを使ってます

5427．Re: ギモン
名前：おおさわ    日付：1月22日(水) 18時18分
Function View をよく使用します。
最近３次元表現が大幅に向上したとか。

http://hp.vector.co.jp/authors/VA017172/
http://simfan.cn1.jp/mathmarks/

5477．ふむふむ・・・
名前：けん    日付：1月24日(金) 23時56分
遅くなってしまいましたが、皆様方、参考意見をどうも
ありがとうございました。

表記法は特にこれといった定義(？)はなさそうですね。
書いてみて自分でしっくりとくるほうを使おうと思います(笑)

さて、次の書き込みまでに少しでもグラフ描画の方法を
覚えてくるとしますか！

5377．教えてくださ～い  
名前：あい    日付：1月19日(日) 18時49分
（1,1）　　（1,2）　　（3,1）のそれぞれを同値関係ってあることを確かめそれぞれの同値類を示せって問題なんですけど分かる方いらっしゃったら詳しく教えてください☆


5379．Re: 教えてくださ～い
名前：ＫＩＮ    日付：1月19日(日) 19時14分
詳しく問題を言ってくれないと、こちらも答えにくいです。
(1,1)とかは何を表しているのでしょうか？

同値関係であると言うことは何を調べればよろしいのでしょうか？
http://kin.kissweb.jp/

5383．Re: 教えてくださ～い
名前：あい    日付：1月19日(日) 21時46分
はじめの方の文章をとばしていました。
はじめから書きます。

自然数の直積集合N'×Nを考える
N×N＝｛（1,1）,（1,2）,・・・・（2,1）,（2,2）,・・・・・・・・（ｍ,ｎ）・・・・・・・｝
二つの要素　ｘ＝(a,b),y＝(c,d)（∈N×N）に対してxとyの関係「x～y」を次の様に定める。
x～y←→a+b＝b+c

と、このあとにさっき書いたやつが続きます。これで分かってもらえるかなぁ。。。お願いします。

5386．Re: 教えてくださ～い
名前：ＫＩＮ    日付：1月19日(日) 23時7分
x～y←→a+b＝b+c
が同値関係であることは示すことができたのでしょうか？

まずはこれを解決しましょう。
同値関係であることを示すためには何をすればよろしかったでしょうか？
http://kin.kissweb.jp/

5387．Re: 教えてくださ～い
名前：あい    日付：1月19日(日) 23時51分
x～y←→a+b＝b+cは同値関係と授業中に求めたので定義として使えるみたいです。

反射律、対象律、推移律をみたすことを確かめて同値関係を示すみたいです。
よろしくお願いします。

5390．Re: 教えてくださ～い
名前：ＫＩＮ    日付：1月20日(月) 2時28分
で、その後は何をすればいいの？正直あなたが書いた問題文からは
よくわからないんだよね・・・。(^^;

（1,1）（1,2）（3,1）のこの３つがその関係において互いに
同値であるかどうかを調べればいいのかな？
（とは言ってもそれは代入すれば一瞬で確かめられる）

（1,1）の同値類
（1,2）の同値類
（3,1）の同値類
をそれぞれ求めればいいの？
http://kin.kissweb.jp/

5400．Re: 教えてくださ～い
名前：あい    日付：1月21日(火) 13時12分
はい。それぞれの同値数を求めればいいみたいです。
代入ってどのように代入したらよろしいのでしょうか？
同値関係の授業の時に入院していて全然わからなくて問題の意味すらわからないんですいませんでした。よろしくお願いします。

5410．Re: 教えてくださ～い
名前：ＫＩＮ    日付：1月21日(火) 18時45分
学年はいくつでしょうか？大学1年ぐらい？

＞代入ってどのように代入したらよろしいのでしょうか？
問題に書いてある通りにです.

＞x～y←→a+b＝b+cは同値関係と授業中に求めたので定義として使えるみたいです。
定義にせずに自分で示してください.

で, あなたは自分で調べたりはしているのでしょうか？

あと、名前変えて複数質問するのはやめましょう.
「あゆむ」と「ポポン」が同IPだったのでそう思ったのですが.
もし間違いでしたら申し訳ありません.
http://kin.kissweb.jp/

5374．無限集合！！  
名前：あゆむ    日付：1月19日(日) 17時18分
問題は次に該当する集合と写像の例を挙げよ。
無限集合U
Uに含まれる無限集合V（V⊂U)
VからUへの全単射写像ｆ：V→U
という問題です。
僕的には星の集合などそうなのかなぁって思ったんですが不明確なものなのでダメかなぁと思ったのですがあと他にはどんな例があるでしょうか？２、３個例を挙げてもらえるとうれしいのですが。。。


5376．Re: 無限集合！！
名前：源秀哉    日付：1月19日(日) 18時18分
たとえば、Uは実数全体、Vは整数全体として、fをVの元の3乗根を表すもの、すれば良いですし、後は、fを指数関数としても、条件には合いますね^^

5384．Re: 無限集合！！
名前：ＫＩＮ    日付：1月19日(日) 22時13分
それじゃ全射がいえないでような・・・。

例１）U：任意の無限集合　V：U自身　（恒等写像で・・・ズルい？）
例２）U：整数全体（あるいは有理数全体）　V:自然数全体
　　　濃度はアレフゼロで同じ（適当な集合の本を参照）
例３）U：実数全体　V：正の実数全体　（f(x)＝log(x) x∈Vでokよ）

星の数は、実は微妙にイイ着眼点かも・・・。
ただ、問題は星が無限存在するかはわからないね・・・。
http://kin.kissweb.jp/

5428．Re: 無限集合！！
名前：おおさわ    日付：1月22日(水) 18時28分
Uを実数全体の集合とし、
Vを整数全体の集合とする。
このとき、明らかにV⊆U であり、
|U| = À1
|V| = À0
であるから、V⊂U である。
f(x)=[x] とすると、
写像 f は、V から U への全単射写像となる。

＞KINさん、
VはUの真部分集合とされていますから、それは反則でしょう。
http://simfan.cn1.jp/mathmarks/

5369．今、テスト勉強をしているのですが。。。  
名前：ポポン    日付：1月19日(日) 15時3分
ちょうど学校を背理法をやっているときに休んじゃってやり方がわからないのでやり方を教えてください。

（1）aの２乗が奇数であらば、aは奇数である。
（2）ルート３は有理数ではない。
（3）角度60度の直線は格子点をとおることはない。
の三つが例題として出ているのですが教えていただけると幸いです。


5370．Re: 今、テスト勉強をしているのですが。。。
名前：ポポン    日付：1月19日(日) 15時7分
分かっているとお思いですが証明の問題です。

5373．Re: 今、テスト勉強をしているのですが。。。
名前：ヨッシー    日付：1月19日(日) 16時10分
導入部だけ書いてみます。
(1) ａの２乗が奇数であるとき、ａが偶数であると仮定し、
　ａ＝２ｎ（ｎは整数）とおく。
　このとき　ａ2＝(２ｎ)2＝・・・
　（中略）
　これは、ａの２乗が奇数であることに反する。
　よって、ａは奇数である。
(2) √３が有理数であると仮定し　√３＝ａ／ｂ(ａとｂは互いに素な整数)とおく。
　両辺を２乗して　３＝ａ2／ｂ2
　より、ａ2＝３ｂ2
　ここで、ａは３の倍数なので、ａ＝３ｎ とおく。
　（中略）
　よって、ａもｂも３の倍数となり、互いに素であることに反する。
　よって、√３は無理数である。

(3) は何に対して６０度なのかはっきりしません。
おそらくは「原点からｘ軸に対して６０度の角度にのばした直線は原点以外の
格子点を通らない」といったところでしょうか？
もし、格子点（ａ，ｂ）（ａ，ｂは整数）を通ると仮定すると、
　ａ：ｂ＝１：√３
　よって、√３＝ｂ／ａ　以下(2)と同じです。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5360．球について  
名前：あすか    日付：1月18日(土) 21時31分
どうしてもわからないんで教えてください。

半径ａ,ｂ（ａ＞０,ｂ＞０）の球がそれぞれ２個あり、どの球も他の３球に外接している。６個の接点から任意に２点を選び２点間の距離を考える。このうち最大のものをａ,ｂを用いて表せ。

よろしくお願いします。（高校２年生）


5371．Re: 球について
名前：ＫＩＮ    日付：1月19日(日) 15時32分
えっと、どこまで解決しましたか？
＊4つの球の位置関係を描く
＊6つの接点が作り出す図形がどのような形かを考える
＊その図形のそれぞれの辺の長さを求める
＊それらの辺の大小をもとめる
ってな感じが解法の順序だと思うんですがいかがでしょうか？

もう少しいい解法があるかもしれないけど、見てすぐに思いついたのは
こんな感じかな。
http://kin.kissweb.jp/

5375．Re: 球について
名前：花パジャ    日付：1月19日(日) 17時43分
(絵があればわかりやすいかと思うのですが...)
4球の中心を考えると四面体を構成しており、その四面体の辺上に、各接点は存在する
今、半径aの2球と半径bの1球とで作る三角形を考える(同じタイプのが2つある)
　(a+b)が2辺、底辺が2aの二等辺三角形になる
　で、接点間の距離を求める
　　底辺に平行な線分は相似から　2ab/(a+b)　(=xと置く)
　　他の2線分は余弦定理などから　a√(2b/(a+b))　(=yと置く)
　つまり、半径aの2球間の接点からは、4本の長さyの線分が出ている
　また、対称性から長さxの2線分は平行である
同様に半径bの2球と半径aの1球とで作る三角形を考えると
　　底辺に平行な線分は相似から　2ab/(a+b)　(=xと同じ値)
　　他の2線分は余弦定理などから　b√(2a/(a+b))　(=yと置く)
　つまり、半径bの2球間の接点からは、4本の長さzの線分が出ている
　また、対称性から長さxの2線分は平行である
で、接点6点で出来る八面体の残った4線分の長さはxとなる
つまり、この4線分の作る四角形は正方形である

さて、接点6点間の6Ｃ2=15の距離のうち12の距離はわかった
残った3つのうち2つは正方形の対角線、p=√2x=2√2ab/(a+b)　(>x)
で、最後の1つは、半径aの2球間の接点と半径bの2球間の接点との間の距離(=qと置く)
　これは、yが2辺、底辺がpの二等辺三角形の高さa√(2ab)/(a+b)と
　zが2辺、底辺がpの二等辺三角形の高さb√(2ab)/(a+b)との和なので
　q=√(2ab)

最後に最大の距離を求める
qとyとでは
　q/y=√((a+b)/a)>1
なので、q>y、同様にq>z
qとpとでは
　q/p=(a+b)/(2√(ab))=((a+b)/2)/(√(ab))≧1　(相加相乗平均)
で、結局、q=√(2ab)が解

5358．(untitled)  
名前：呆け人    日付：1月18日(土) 19時57分
f(x)+∫ax(x-t)f(t)dtを、積の微分公式を使って
解け、という問題です。
２項目、答え
∫axf(t)dt+xf(x)-xf(x)となってますが
どう変形したのでしょうか。
一応積の微分公式と、d/dx・∫axfg(t)=g(x)は
知っていますが、うろ覚えです。


5364．Re: (untitled)
名前：nabeX    日付：1月18日(土) 23時26分
解け、というのが何を意味するのかよく分かりませんが、この手の問題のポイントは
∫ax(x-t)f(t)dt
=x∫axf(t)dt-∫axtf(t)dt
とする事です。積分のなかの括弧を展開しただけですが。
すると一項目は積の微分、二項目は微積分の基本定理でOKとなります。

5367．Re:
名前：呆け人    日付：1月19日(日) 13時5分
あ、展開しただけだったか。
このあとは問題続いてきます。
ここだけぱっと見わかりませんでした。
ありがとうございました。

5357．三角形の決定条件について  
名前：マヤ    日付：1月18日(土) 18時44分
考えてもさっぱり思いつかないので教えて下さい！！
なぜ、三角形にだけ決定条件と称されるものがあるのですか。
　　　　　高校３年


5359．Re: 三角形の決定条件について
名前：花パジャ    日付：1月18日(土) 20時34分
三角形にだけではないようですが?
(決定条件で検索)

5362．Re: 三角形の決定条件について
名前：マヤ    日付：1月18日(土) 22時1分
四角形にも決定条件があるんですか？
決定条件は三角形にのみだと思いますが……。

5366．Re: 三角形の決定条件について
名前：花パジャ    日付：1月19日(日) 10時23分
例えば
　円の決定条件
　　円は半径の長さで決定される
　台形の決定条件
とかいくらでも考えられるでしょう。

>(決定条件で検索)
と書いておきましたが、検索してみました?

5368．Re: 三角形の決定条件について
名前：マヤ    日付：1月19日(日) 14時1分
台形とか平行四辺形とかならいくらでもあると思いますが、三角形や四角形や五角形といった、多角形の決定条件についてなんですけど……。なんか、私が知りたいことと違うんですよね。

5372．Re: 三角形の決定条件について
名前：花パジャ    日付：1月19日(日) 15時52分
それなら、自分で考えてみると面白いですよ。

例えば、四角形で、4辺が決っても決定しないが、更に対角線が決ると、とか...
で、三角形の決定条件と比べてみると(n角形はn-2個の三角形に分割できます)三角形の決定条件が更に楽しめるかと

5385．Re: 三角形の決定条件について
名前：マヤ    日付：1月19日(日) 23時3分
やっぱり自分で考えても考えても思いつかないです。
ほんとにどうして三角形にのみ決定条件があるんでしょう？

5389．Re: 三角形の決定条件について
名前：ヨッシー    日付：1月20日(月) 1時36分
それは、「なぜ、１桁の自然数だけ九九があるんだろう？」という疑問に
ある種似ています。（一応、「日本で」とことわっておきましょうか。
よそには２０×２０まであるところもあるらしいです）
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5356．方べきの定理について  
名前：みっきー    日付：1月18日(土) 15時23分
最近学校で、方べきの定理を習いました。
なぜ｢方べき」というのですか？
　　　　　　　　　　　　　　　　中学3年


5361．Re: 方べきの定理について
名前：はなみずき    日付：1月18日(土) 21時45分
この場合「方」は四角という意味で（「正方形」と言いますよね）
「べき」は「巾」とか「累乗」の意味のようです。
http://hosoi05.is.noda.sut.ac.jp/~hosoi/kanzi/html/23.htm#houbeki
http://hosoi05.is.noda.sut.ac.jp/~hosoi/kanzi/html/10.htm

他に「三平方の定理」とか「ピタゴラスの定理」とか言います。

5353．剰余類  
名前：たかし    日付：1月18日(土) 2時33分
問題をやっていて分からないので、どなたかおしえてください！

　すべての正の整数は、７で割ったときの余りによって７つのグループに分けることができる。このとき、それぞれのグループをA、B、C、D、E、F、Gとする。この７つのグループについて、次のことが分かっている。
　ア）Fに属する数を２乗した結果の数はCのグループに属する。
　イ）Eに属する数を２乗した結果の数とAに属する数を２乗した結果の数は　　　ともに同じグループに属し、それらを２乗した数に３を加えた数はとも　　　にGのグループに属する。
　ウ）Cに属する数を２乗した結果のすうとDに属する数を２乗した結果の数　　　はそれぞれもとのグループに属する。
　以上より判断して、８０～１００の正の整数でBに属し、しかも４で割ると余りが１であるような数は何か？

よろしくお願いします。


5355．Re: 剰余類
名前：花パジャ    日付：1月18日(土) 13時7分
まず、7で割った余りが0～6の数を2乗したら、7で割った余りがいくつかを調べ、書き並べる
　( (7n+m)^2=7(7n^2+2nm)+m^2 なので、m^2の余りを調べる)
ウ)より、C,Dに対応する物を選ぶ
ア)より、Cがわかり、結果、C,D,Fがわかる
残りの4組は、余りで2つに分れる
イ)より、A,Eに属す側と、Gとがわかる
残ったのがB
で、答は93

5351．お願い致します。  
名前：はてな    日付：1月17日(金) 22時25分
はじめまして。「実数ｘ，ｙが不等式ｘ－ｙ≧０およびｘ*ｘ－２ｘ－ｙ≦０をみたす時、ｙ－ａｘの最大値および最小値を求めよ。（ａは定数）」という問題が解けなくて困っています。ａの値で場合分けをしてみたのですが、途中でつまってしまいます。お忙しい所、お手数をおかけ致しますが、ご回答頂きますよう、どうぞよろしくお願い致します。（高２です。）


5352．Re: お願い致します。
名前：ヨッシー    日付：1月18日(土) 1時33分
私のページの「御質問に答えるコーナー」に解答を載せました。
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5348．積分について  
名前：ゆーき    日付：1月17日(金) 15時16分
広義積分∫logX/(1+X)^2dx　積分範囲(0から∞)が
どの値に収束するのかわからないのでおしえてください


5349．Re: 積分について
名前：源秀哉    日付：1月17日(金) 17時33分
被積分関数は分子がlogxで分母が(1+x)2で良いのでしょうか?

このように仮定して、話を進めます。まず、t=1+xと置換すると、∫[1,∞)log(t-1)/t2dt
と書き直せます。ところで、log(t-1)=∫(1/t)/{1-(1/t)}dt=Σ(n=0..∞)
∫1/tn+1dtなので、結局は、logt/t2-Σ(n=1..∞)(1/n)/tn+2
という関数を積分して、計算すると、
Σ(n=1..∞)1/{n(n+2)}=1+1/2=3/2
が求めたい値に等しいので、答えは3/2。

留数を使う方法や多変数の積分を利用する方法も有りますが、学年が解らなかったのでなるべく初等的な話でまとめてみました。

5346．はじめまして  
名前：数学大好き（大学生）    日付：1月17日(金) 13時34分
はじめまして。
考えても考えても分からないので。
お願いします。
お力をお貸しください。

扇形の重心の問題です。

扇形ＯＡＢがあります。
半径ｒ、中心角∠ＡＯＢ＝θ、弧ＡＢ＝ａ、弦ＡＢ＝ｂとすると
扇形の重心Ｇは（２ｒｂ）／（３ａ）であらわされます。

詳しい証明をしていただきたいです。
お願いします。


自分で色々考えていたんですが、
とうとうギブアップですＴ－Ｔ


5350．重心の数学的な定義はご存知ですよね
名前：占星術師    日付：1月17日(金) 18時7分

最初問題を見たとき、平面図形の重心が１次元の数になるのはどういうこと？
と思いました。よく考えると、おそらく図のように座標を設定したときの
重心のx座標が2rb/(3a)ということなのでしょう。以下、そのつもりで...
図の扇形領域をD、Dの面積をSとおくと、Dの重心のx座標は
　　(∬_[D]xdxdy)/S　(★)
で定まります。S=(1/2)r2θで、分子の２重積分は簡単な計算で
(2/3)r3sin(θ/2)と判るから、★=4rsin(θ/2)/(3θ)です。
これと、a=rθおよびsin(θ/2)=b/(2r)より、示すべき結論が得られます。

5363．基本的なことが・・・
名前：数学大好き    日付：1月18日(土) 22時22分
お答えいただいてありがとうございます。
題意はそのとおりです。


僕のほうが基本的なことが分かってないようです。

重心の求め方が、僕が定義、よく分かってません。
申し訳ないのですが、復習もかねて、
詳しく教えていただけないでしょうか？
重心を求めるための公式がいまいち分からないので。
何を全体の面積Sで割っているのかが分かりません。

5396．“公式”ではない
名前：占星術師    日付：1月21日(火) 11時33分
諸事情で返信が遅れました。

さて、数学でも、多くの物理の本でも、重心の位置の求め方は
“公式”ではなく“定義”として扱われています。
「なぜ成り立つか」ということを考えるのではなく、「そういうもの」として認めるのです。
意味を説明するためには、何らかの物理的な考察が必要です。
私にはうまく説明できる自信がありません。
しかるべき物理の文献を当たったほうがいいかもしれません。

5402．Re: はじめまして
名前：ヨッシー    日付：1月21日(火) 13時49分
出来合いの定理を使って、ちょっと反則ですが、一応別解です。
こちら
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5418．ありがとうございます、それと
名前：数学大好き（大学生）    日付：1月22日(水) 10時35分
占星術師さん、ヨッシ－さんお答えいただいて感謝しております。

重心の求め方で高校までの数学で扱っているのは
ベクトルです。
それ以外ではパップスギュルダンの定理です。
素晴らしい解答ありがとうございます。

ただ、占星術師さんから教えていただいた定義の式の部分

なぜｘを二重積分をするのかが分からないのです。
調べてもよくわかりません。

なんか消化不良中です

5463．二重積分になることの“説明”
名前：占星術師    日付：1月24日(金) 11時24分
（ベクトルは太字で表記します）
n個の質点rk=(xk+yk)(k=1,2,...,n)がそれぞれ質量mkをもつとき、
これらの重心の位置は(Σ[k=1,..,n]rkmk)/(Σ[k=1,..,n]mk)
と定義されます。（これに対する疑問にはお答えできません。）
特に、重心のx座標の定義は、xG=(Σ[k=1,..,n]x<kmk)/(Σ[k=1,..,n]mk)…（★）

ここで、図のような一般的な平面図形Dを考えます。
これを辺の長さがΔxi,Δyjの長方形で分割します。
各点における密度は常に一定と考えると、
★における各質点の質量は小長方形の面積ΔxiΔyjと同一視できるから、
　xG=lim{Σixi(ΣjΔxiΔyj)}/{ΣiΣjΔxiΔyj}
（もちろんΣi、Σjはそれぞれi,jについての和を表します）
ここで、分割の幅を限りなく小さくするような極限を取ると、
　xG=(∬Dxdxdy)/(∬Ddxdy)
となることが判ります。分母はDの面積の定義そのものです。

前に書いたことの反復になりますが、以上の計算は“証明”ではなく、
平面での連続体の重心を２重積分で定義することを正当化するための説明です。

以下は、問題そのものとは無関係なコメントです。
パップス・ギュルダンの定理は高校教科書の範囲外です。
しかも、正式な重心の定義を用いなければきちんと証明できないはずです。
だから、重心の定義を知らずに定理だけを知っているのはおかしいと思います。

5345．おねがいします。  
名前：かおり    日付：1月17日(金) 13時27分
曲線 ｘ=ｅ^-ｔ ｃｏｓ t　、ｙ=ｅ^-t ｓｉｎ t (０≦θ≦π)
の部分の長さを求めよ。

これ教えてください。おねがいします。
できれば解答方法もおねがいします。
高３です。


5347．Re: おねがいします。
名前：みゆき    日付：1月17日(金) 13時36分
解法はこうです。
L=∫0π√{(dx/dt)2+(dy/dt)2} dt

dx/dt=?
dy/dt=?

5382．Re: おねがいします。
名前：かおり    日付：1月19日(日) 21時15分
ありがとうございます。

5343．数列の問題について  
名前：公務員受験生（大学生）    日付：1月17日(金) 9時6分
自然数を次のように並べ、横の並びを行、縦の並びを列と呼ぶことにする。200は第何行の第何列目の数か？

1 2 4 7 11 16
3 5 8 12 17
6 9 13 18
10 14 19
15 20
21

階差数列を使って解くと解説に乗っていたのですが、私には解けませんでした。どなたかわかる方教えてください。


5344．Re: 数列の問題について
名前：ヨッシー    日付：1月17日(金) 9時54分
例えば、８は２行３列なので(2,3) と書くようにします。そうすると、
１から順に
(1,1)　(1,2)(2,1)　(1,3)(2,2)(3,1)　(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)　・・・
のように書けます。隙間をあけたところで、グループ分けします。
グループは、行と列を足した数が、順に２，３，４，５・・・の組みで、
グループ内の要素数は順に１，２，３，４・・・です。

では、２００は何番目のグループの、何番目の要素でしょうか？
ｎ番目のグループの最後の数は、
　１＋２＋３＋・・・＋ｎ＝ｎ（ｎ＋１）／２
です。(ｎに１，２，３を代入すると、順に１，３，６・・・となり、１列目の
数が、並びます。)
ｎ＝１９ のとき　ｎ（ｎ＋１）／２＝１９０　なので
１９番目のグループの最後付近が　(17,3)(18,2)(19,1)　で、(19,1) が１９０です。
以下、１９１から２０番目のグループとなり
(1,20)(2,19)・・・(10,11)
が２００です。１０行１１列ということになります。

階差を使うとすれば、１から横に　1,2,4,7 の階差を取るとか
１から縦に　1,3,6,10 の階差を取るとかが考えられますが、
上の解答では、数列の和の公式　ｎ（ｎ＋１）／２ にこの概念が含まれています。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5339．確率（続き）  
名前：受験生    日付：1月16日(木) 23時18分
すいません。

下の　No.5313　の問題なんですが、どなたか教えていただけますでしょうか？
書き間違えで本当にすいませんでした。下でも書いたのですが、

　カード2枚ずつ、計6枚

です。よろしくお願いいたします。


5341．Re: 確率（続き）
名前：高橋　道広    日付：1月16日(木) 23時50分
う～ん　学年がわからないとちょっとこまるかなあ

まず高校２年生の条件付を習ってる人むけの解答
確率は「そして」と考えるときは掛け算です。「または」ならたしざんねっ。
まず一人目が１枚目をとる　番号は何でもいいので　6/6
そして２枚目をとる　札は５枚残っていてそのうち先ほどと
同じ番号を引かなくてはならないので　1/5
すると一人目が同じ番号の札をひく確率は
「そして」なので　6/6×1/5=1/5
次に二人目が１枚目をとる　番号は何でもいいので　4/4
そして２枚目をとる　札は3枚残っていてそのうち先ほどと
同じ番号を引かなくてはならないので　1/3
すると２人目が同じ番号の札をひく確率は
「そして」なので　4/4×1/3=1/3
３人目は当然２枚とも同じ番号になる。
すると　一人目が同じ番号で「そして」２人目も同じ番号なのは
1/5×1/3=1/15となります。
実は一枚づつひいても２枚同時に引いても同じ確率になるんです。

次に高校１年生の解答
全体の場合の数
１人目が引く方法は　6C2　「そして」２人目が引く方法は4C2　そして
３人目が引く方法は　１通り
だから　6C2×4C2×１=90が全体の場合の数。
次に同じ番号の場合をひく場合の数
一人目は1,2,3のどれかを２つ引くので3通り　そして　２人目はのこりの２つの番号のどちらかを引くので２通り　そして３人目は残りの１つの番号を
引くことになるので　１通り
場合の数は　３×２×1=6通り
確率は　6/90=1/15となります。

5328．組み合わせの数  
名前：かんくん    日付：1月16日(木) 7時19分
組み合わせの数の公式

nCr = n!/((n-r)!r!)

は、どうしていつも整数になるのでしょうか ?

中学三年生でもわかる範囲で、証明できるのでしょうか ?


5329．Re: 組み合わせの数
名前：はなみずき    日付：1月16日(木) 9時17分
かんくん、こんにちは！

たとえば、９Ｃ４＝9・8･7･6/（4･3･2･1）ですよね。
分母の最初の４は分子の９からの連続した整数の個数でもあります。
つまり、分子は9、8、7、6の４つの積です。
この連続した４つの整数の中に必ず４の倍数が入っているので、分子の４と約分出来ます。
以下同様に、連続した３つの整数の中に必ず３の倍数が入っているので、もちろんこの連続した４つの整数の中にも３の倍数が入っていて約分できるのです。
・・・・
２の倍数も、先に約分した４以外に２の倍数がまだあるので、それで約分します。

論理的な説明のしかたではないけど、イメージで分かったかしら・・・

5330．Re: 組み合わせの数
名前：INA    日付：1月16日(木) 9時57分
まず「nCr=(n-1)C(r-1)+(n-1)Cr」という等式の成立を証明します。これは単なる計算問題です。

あとは数学的帰納法で証明できます。
(1)n=1のとき……1C1=1C0=1は明らか。
(2)n=kで命題の成立を仮定して、n=k+1の場合にも成立することを上の式を使って示す(略)

という感じです。

5336．Re: 組み合わせの数
名前：tex    日付：1月16日(木) 19時11分
補題１：　自然数 N に対し、N ! の素因数分解における素数 p の指数は
　　[N/p] + [N/p2] + [N/p3] + ...
補題２：　実数 x, y に対し [x+y]≧[x]+[y]
を用いてもよいでしょう。

5321．あのー・・・  
名前：Hamittanot    日付：1月15日(水) 22時34分
(全て異なる)要素2n-k個の集合から、n個の集合を2つ作って、
その交わりがk個以上になる確率っていくらでしょうか？

解法だけでもいいので、なんとかなりませんでしょうか。
kの範囲は、0≦k≦n-1です。n,kは自然数です。


5322．Re: あのー・・・
名前：Hamittanot    日付：1月15日(水) 22時39分
因みに、高校生です。
k個「以上」の、「以上」の処理の仕方が分からず困っています。
かなり滅茶苦茶な答になりそうな気もするんですけど。

5323．Re: あのー・・・
名前：Hamittanot    日付：1月15日(水) 22時57分
すいません！！
間違えました、訂正します。
もし最初ので考えてしまった方がいたらお詫びします。

正しくは、

(全て異なる)要素2n-k個の集合から、n個の集合を2つ作って、
その交わりがn-k個以上になる確率っていくらでしょうか？

5331．Re: あのー・・・
名前：ヨッシー    日付：1月16日(木) 11時9分
集合Ａと集合Ｂとします。
集合Ａに含まれるものを白、含まれないものを黒と考えると、
「ｎ個の白玉とｎ－ｋ個の黒玉、合わせて２ｎ－ｋ個の玉から
ｎ個を取り出すとき、白玉がｎ－ｋ個以上入っている確率を
求めよ」という問題と同じになります。
取り出せる黒玉は最大ｋ個なので、黒玉について０～ｋ個までの
確率をすべて足せばどうでしょう？
　
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5335．Re: あのー・・・
名前：Hamittanot    日付：1月16日(木) 17時50分
そうですよね。
すると、コンビネーションの和になり、計算ができそうもないんですが、できるんでしょうか・・・

5320．ベクトル  
名前：さゆり    日付：1月15日(水) 22時25分
高校２年です！先生に当てられたのですが、全然わかりません。

△ＡＢＣと点Ｐがあり、等式３ＡＰベクトル＋２ＢＰベクトル＋ＣＰベクトル＝０ベクトルが成り立っているとき、次のことを示せ。
・辺ＢＣを１：２の比に内分する点をＱとすると、点Ｐは線分ＡＱの中点である。

わかる方、お願いします！！


5324．Re: ベクトル
名前：K.N.G.    日付：1月16日(木) 0時30分
[証明]
3AP+2BP+CP=0
⇔3AP+2(AP-AB)+(AP-AC)=0　(∵BP=AP-AB, CP=AP-AC)
⇔6AP=2AB+AC
⇔AP=(2AB+AC)/6
⇔AP=(3/6)*{(2AB+AC)/(1+2)}
⇔AP=(1/2)*AQ．　[証明終]
-------------------------------------------------
但し，AP，BP，CP，AB，AC，AQはベクトルです．

5319．・・・・。  
名前：チルチル    日付：1月15日(水) 21時44分
辺AB、辺BC、辺CAを２：１に内分する点をP,Q,Rと置くとき、
三角形ABCの重心と三角形PQRの重心が一致することを証明せよ。


5325．Re: ・・・・。
名前：K.N.G.    日付：1月16日(木) 0時37分
[証明]
三角形ABC，三角形PQRの重心をそれぞれG，G'とすると
OG'=(1/3)*(OP+OQ+OR)
　 =(1/3)*[{(OA+2OB)/3}+{(OB+2OC)/3}+{(OC+2OA)/3})
=(1/3)*(OA+OB+OC)
　 =(1/3)*OG．　[証明終]

5317．情報数学（代数）  
名前：ポリデント    日付：1月15日(水) 18時21分
大学生です
0以上の整数N、ｎ、ｔがN＾t<n=p*q(p,q:素数）を満たすとき、次式で与えられるP, P=a1*N^t-1+a2*N^t-2+・・・+at (aiは０以上N-1以下、i=1,2,・・・,t)はｎと互いに素である。つまり（P,n)=1が成り立つ。というのを証明したいのですが、どなたかわかる方いませんか？お願いします


5326．Re: 情報数学（代数）
名前：C-D    日付：1月16日(木) 0時44分
何かおかしい気がします。

N=3 n=2*3 t=1 a1=2
とおくと、仮定をすべて満たし、
P=a1＝2となりますが、
このときnとPは互いに素ではありません。

他に何か条件があったり、或いは条件の見間違いはありませんか？

5327．Re: 情報数学（代数）
名前：ポリデント    日付：1月16日(木) 3時7分
ご返答ありがとうございます。
確かにそのとおりですねやはり成り立たない証明なのでしょうか・・・。この証明をとこうとする理由に実は、情報数学の教科書でRSA暗号の作成で下のような方法がのっていたのですが、それならばこの暗号作成方法が成り立つのならば、（決してできるという保障はなかったのですが）その証明ができるのではないかと考えたためです。

A社のもとにB1,B2,・・・,Br社から暗号で通信が送られるとしたとき、暗号の作り方を公表し、各B社はこれに従って次のようにしてA社に送る暗号文を作る。
（i）A社はまずアルファベット２６文字と□、？、！のようなN個の文字記号の集合を整数に変換し、その内容を交換する。
A　B　C　D　E　・　・　・　R　　S　・　・　・ X　　Y　Z　 □　？　！
1　2　3　4　5　・　・　・　17　18　・　・　・ 23　24　25　26　27　28

（ii）続いてA社は、公開鍵と名づけられる２つの整数“n,e”を　　　　　　　　公表する。
ア）nは200より大きい桁数の素数p,qの積である。ｎの値は公表する　　　　　　が、その素因子p,qの値は公表しない。
イ）Lをp―１とｑ－１の最小公倍数とし、eはMax{p,q}<e<LでLと互い　　　　　に素な整数とする。eは公表するが、Lは公表しない。なお、Lの素　　　　　因数はp,qよりも小であるから、eを素数にとればよい。
(iii) B社はA社に送りたい平文（通信文）を次のようにして暗号文に作　　　　　　りかえる。まず通信文のアルファベットを(i)で与えた変換表よ　　　　　　り数字の列a1a2.・・・atに直す。ここで０≦ai≦N－１であ　　　　　　　る。この列から次の整数を作る。
　　　　　P＝a1N^t-1+a2N^t-2+・・・＋at
ここで平文の長さｔはN＾ｔ＜ｎを満たすものでなければならな　　　　　　　い。
(iv)ここで公開鍵を用いる。公開鍵e,nを用いて　　　　　　　　　　
P＾e≡C　(mod n), 1≦C≦n-1　となるCを計算する。Cはmod nの最小正剰余である。
(v) このCをN進展開して次の形にする。
　　　　C＝b1N^s-1+b2N^s-2+・・・＋bs (ここで0≦bi≦N-1)

こうして得られた数字の列b1b2・・・bsを(i)であたえた変換表によりアルファベットの列に直す。これが暗号文である。

解読
　　e*d+L*y=1
を満たす整数としてdを定める。平文Pに対して暗号文Cを
　　P^e≡C　（mod n）
のように定めた。そこでこの式と　　e*d+L*y=1　およびP＾L≡１（mod n）を用いて
　　C＾d≡P^ed=P^1-Ly≡P　（mod n）
となる。C＾d の最小正剰余をとると、Pもｎより小であるから、Pに等しくなる。
以上

5313．確率  
名前：受験生    日付：1月15日(水) 17時17分
すいません。確率が苦手でどうやって解くのかよく
わかりません。

次の問題を教えてください。

①～③の数字を振ったカードが3枚ずつ、計6枚のカードが
ひとつの箱の中に入っている。

今、A,B,Cの3人が2枚ずつカードを引いたときに、3人ともが
ペアとなる数字（①を2枚とか、②を2枚とか）を引き当てる
確率はいくらか？


という問題です。

どうかよろしくお願いいたします。


5316．Re: 確率
名前：ヨッシー    日付：1月15日(水) 17時34分
2枚ずつ　なのか　計9枚　なのか、まずはっきりしてもらいましょう。
両方の場合を解くほど、楽な問題ではなさそうなので。
　
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5333．Re: 確率
名前：受験生    日付：1月16日(木) 14時37分
ごめんなさい。
カードが２枚ずつの計６枚です。

それを、A,B,Cの３人が２枚ずつ引くわけです。
ほんとにすいませんでした。

あらためて、よろしくお願いいたします。

5311．最大値問題  
名前：りんりん    日付：1月15日(水) 16時41分
大学生です。
問題は、｜Ｚ｜＜1で、ｆ（Ｚ）＝Ｚ＾2+Ｚ、｜ｆ（Ｚ）｜＝｜Ｚ＾2+Ｚ｜の最大値はいくらか？なんですけど、どうやって解けばよいでしょうか？
答えが2というのはわかるんですけど、解き方がよくわかりません。オイラーの公式を使った方がいいのでしょうか・・？
（不等号の下には＝がつきます。）


5315．Re: 最大値問題
名前：ヨッシー    日付：1月15日(水) 17時32分
そうですね。
Ｚ＝ａ(cosθ＋ｉsinθ) ０≦ａ≦１ とおくと、
|Ｚ2＋Ｚ|＝|Ｚ(Ｚ＋１)|＝|Ｚ|・|Ｚ＋１|
|Ｚ|＝ａ
|Ｚ＋１|2＝(ａcosθ＋１)2＋(ａsinθ)2
　＝ａ2＋１＋２ａcosθ
となり、ａ＝１、cosθ＝１ のときが、|Ｚ|、|Ｚ＋１| ともに最大となり、
このとき、Ｚ＝１ であり、最大値は２。

ちょっと詰めが甘いかも。
　
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5308．(untitled)  
名前：nan    日付：1月15日(水) 14時27分
大学二年です。対数の問題についての質問です。よろしくお願い致します。

「1/2log[2]12+log[1/4]6+log[4]24の値を求めよ」
解答は、
「2+1/2log[2]3」でした。

さらにもう一問。「以下の方程式を解け。
log[2](x-1)+log[4]x=1/2」
解答は、
「ｘ＝２」でした。

解答のプロセスを教えていただけると助かります。よろしくお願い致します。


5309．Re: (untitled)
名前：K.N.G.    日付：1月15日(水) 15時37分
(1/2)*log[2]12+log[1/4]6+log[4]24
=(1/2)*log[2]12+(log[2]6)/(log[2](1/4))+(log[2]24)/(log[2]4)
=(1/2)*log[2]12-(1/2)*log[2]6+(1/2)*(log[2]24)
=(1/2)*log[2](12*24/6)
=(1/2)*log[2](24*3)
=(1/2)*(4+log[2]3)
=2+(1/2)*log[2]3．

log[2](x-1)+log[4]x=1/2
(log[4](x-1))/(log[4]2)+log[4]x=log[4]4(1/2)
2*log[4](x-1)+log[4]x=log[4]4(1/2)
(x-1)2*x=4(1/2)
x*(x-1)2=2
x3-2x2+x-2=0
(x-2)*(x+1)2=0
∴x=2．
これは，真数条件x≧1を満たす．

5312．Re: (untitled)
名前：nan    日付：1月15日(水) 17時9分
この因数分解をもう少し言葉を交えて説明いただけると助かります。どなたかお願い致します。

x*(x-1)2=2
x3-2x2+x-2=0
(x-2)*(x+1)2=0
∴x=2．

5314．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：1月15日(水) 17時21分
　x*(x-1)2=2
展開し、右辺の２を移項して
　x3-2x2+x-2=0
f(x)=x3-2x2+x-2 とおく。
f(2)=0 になることより、f(x) は (x-2) を因数に持つ。(因数定理より)
実際に割ってみて、
　(x3-2x2+x-2)÷(x-2)＝x2+1
よって、
　x3-2x2+x-2＝(x-2)(x2+1)
です。

最後ちょっと違いますが、答えが x=2 であることは変わりありません。
　
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5318．すみません…
名前：K.N.G.    日付：1月15日(水) 19時44分
最後は，
(x-2)*(x2+1)=0
∴x=2．
でした．打ち間違えてしまいましたm(_ _)m

5332．Re: (untitled)
名前：nan    日付：1月16日(木) 11時29分
K.N.Gさん、ヨッシーさん。

解答を教えてくださりありがとうございました。因数定理なるものの存在すら知らなかったのでこれからざっと勉強します。
ありがとうございました。

5354．普通に因数分解で。。
名前：C-D    日付：1月18日(土) 6時17分
因数定理を直接相手にしたくなければ

　x3-2x2 + x-2
＝x2(x-2)+(x-2)
＝(x2+1)(x-2)

以下同様

5307．複素数平面  
名前：受験生    日付：1月15日(水) 13時26分
もうすぐセンター、、ちょっとあせってます。。
複素数平面のことでちょっと教えてください。

（問）
相異なる二つの複素数a,bに対してarg (Z-a)/(Z-b) = ±90度を満たすZは、
複素数平面上の、ある円の周上にある。この円はa,bを用いて

｜Z－(ア+イ)/ウ｜ = ｜(エ-オ)｜/カ　で表される。
ただし、arg Z は複素数Zの偏角を表す。


という問題で、文中のア～カを埋める問題です。
どう導き出していいのかよくわかりません。
この時期に情けない話ですが、どうかよろしくお願いいたします。


5310．Re: 複素数平面
名前：K.N.G.    日付：1月15日(水) 16時1分
arg{(Z-a)/(Z-b)}=±90°
より，
点aは，点Zを中心として，点bを+90°または-90°回転させた点
であることがわかります．
∠aZb=90°を保ちながら点Zを移動させると，
点Zは，線分abを半径に持つ(つまり線分abの中点を円の中心とする)円を描きます．
すると，当然，
(円の中心から点Zまでの距離)=(円の半径)…(*)
が成立します．
(*)をa，b，Zを用いて表せば，
|Z-{(a+b)/2}|=|(a-b)/2|．
∴ア=a，イ=b，ウ=2，エ=a，オ=b，カ=2．

5334．Re: 複素数平面
名前：受験生    日付：1月16日(木) 16時13分
ありがとうございました。助かりました。

5303．関数について  
名前：まめじ    日付：1月15日(水) 1時20分
関数ｙ＝（ｘ＾2＋１）＾3において、ｘの値からｙの値を求めるとき、計算の順序をいう。
この問題について教えてください。
よろしくお願いします。


5304．Re: 関数について
名前：ヨッシー    日付：1月15日(水) 8時49分
？？？
ｘの値を２乗して１足したものを３乗するだけなんじゃないんですか？

たとえば　ｘ＝２　なら
２乗して　４
１足して　５
３乗して　１２５・・・ｘ＝２のときのｙの値

ｘ＝６　なら
２乗して　３６
１足して　３７
３乗して　５０６５３
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5340．Re: 関数について
名前：まめじ    日付：1月16日(木) 23時49分
自分もこの問題を見たときに意味が分かりませんでした。
回答、ありがとうございました。

5297．びぶんについて  
名前：nan    日付：1月14日(火) 23時43分
大学二年のnanです。以下の問題の解法を教えてくださるようお願い致します。初歩的な質問で済みません(僕にとっては初歩的ではありませんが）。

「(x3+2x)3(4x+5)2
を微分せよ。」　解答は、
(x3+2x)2(4x+5)(44x3+45x2+40x+30)
となっています。
これは、積の微分法、合成関数の微分法などいろいろ試したのですが、今ひとつ理解不足なためか上記の解答を得られませんでした。ぜひ、解答のプロセスを教えて下さい。お願い致します。


5300．Re: びぶんについて
名前：ヨッシー    日付：1月15日(水) 0時20分
f(x)＝(x3+2x)3
g(x)＝(4x+5)2
とおくと、元の式は f(x)g(x) なので、
その微分は、f'(x)g(x)+f(x)g'(x) です。
f'(x)＝3(x3+2x)2(3x2+2)
g'(x)＝2(4x+5)×4＝8(4x+5)
よって、
f'(x)g(x)+f(x)g'(x)＝3(x3+2x)2(3x2+2)(4x+5)2＋(x3+2x)38(4x+5)
　＝(x3+2x)2(4x+5){3(3x2+2)(4x+5)+8(x3+2x)}
　＝(x3+2x)2(4x+5)(44x3+45x2+40x+30)
となります。
　
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5305．Re: びぶんについて
名前：nan    日付：1月15日(水) 11時9分
どうもありがとうございました。
喉のつっかえがやっとおりた感じです。

5290．はじめまして！！  
名前：☆かりん☆    日付：1月14日(火) 23時1分
大学生です。

「半径ａの二つの直円柱があって、字句が直交しているとき、この二つの直円柱で囲まれた図形の体積を求めたい。」

なんですけど、直円柱というものは、高さが決まっているのでしょうか？？（高さ１とか？？）

どう解いたらいいのでしょうか？


5294．Re: はじめまして！！
名前：ヨッシー    日付：1月14日(火) 23時15分
こちらのページを参照して下さい。
半径と直径が違うので、注意して下さい。

高さは「十分に長い」と考えればいいでしょう。
いくら長くても囲まれた（というより交わった）部分は一定ですので。
逆に、交わった部分の途中で切れるようでは困ります。
　
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5342．Re: はじめまして！！
名前：☆かりん☆    日付：1月17日(金) 0時52分
ありがとうございます～！！
求める図形のイメージはなんとなく浮かんだのですが、なかなか実際に求めるとなると。。
でも、これをみて、すごくたすかりました！！
ありがとござます♪

5289．関数の問題  
名前：ロニ    日付：1月14日(火) 22時19分
こんばんわ。Ｉ高校1年です。下の質問は宿題で出されたのですが．．

問　Ⅹ＞０，Ｙ＞０，Ｘ+Ｙ＝１のとき
　　（１／Ｘ＋２）・（１／Ｘ－２）・（１／Ｙ＋２）・（１／Ｙ－
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２）
　　の最大値を求めよ。

　私はＸ＋Ｙ＝１を変形してＹ＝１－Ｘを代入してみたのですが計算の仕方が間違ってるのか，解き方が違うのかわかりません。詳しい解き方を教えてください。よろしくお願いします。　


5301．Re: 関数の問題
名前：ヨッシー    日付：1月15日(水) 0時27分
Size: 122 x 43, 1KB

１／Ｘ＋２ と書くと、
添付図のように、２通りの解釈が出来ます。面倒でも、カッコは多めに付けて下さい
前者なら　(１／Ｘ)＋２　または　1/X ＋ ２
後者なら　１／(Ｘ＋２)
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5288．確率についてなんですけど…  
名前：KDD    日付：1月14日(火) 21時51分
正四面体の各面に、1から4までの数字を1つずつ書いたサイコロを考える。
このサイコロを4回投げ、下になる目を順にa,b,c,dとする。
(1)
　　ｎがabとcdの公約数(abとcdの共通な約数で1を除く)となる確率をＰｎで
表す。このとき、Ｐ2、Ｐ3、Ｐ6を求めよ

それで(1)はＰ2＝9/16、Ｐ3＝49/256、Ｐ6＝1/16と出て模範解答と一致してたんですが

(2)abとcdが1以外の公約数をもたない確率を求めよ。
この問題で、僕が書いた解答は、
解)
求める確率について、ab、cdが1以外の公約数をもたないのは
ab＝1、cd＝1以外にないので、求める確率は(1/4)＾2×(1/4)＾2＝1/256
となったんですが、模範解答では
模範)
abとcdが互いに素となるのは←まずこの意味がよくわかりません、互いに素
というのが…
1-(P2＋P3－P6)＝79/256←何でこの式が出てくるのかもよくわかりません。

どなたか高校1年生でもわかる説明をお願いしますｍ(＿　＿)ｍ
PS長くなってすみません…


5293．Re: 確率についてなんですけど…
名前：ヨッシー    日付：1月14日(火) 23時8分
「互いに素」＝「1以外の公約数をもたない」です。
一番の間違いは
「ab＝1、cd＝1以外にない」と思いこんでいるところです
ab＝２，cd＝３　
ab＝１，cd＝３　
ab＝４，cd＝３　
ab＝３，cd＝８
などいっぱいあります。

そのことを踏まえて、もう一度考えてみて下さい。
　
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5295．Re: 確率についてなんですけど…
名前：KDD    日付：1月14日(火) 23時26分
つまりabとcdの約数が1以外ない、というのはabとcdの共通な約数が1以外にないって事でしょうか？

5298．Re: 確率についてなんですけど…
名前：ヨッシー    日付：1月15日(水) 0時11分
ただの約数ではなくて、公約数です。
　
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5302．Re: 確率についてなんですけど…
名前：KDD    日付：1月15日(水) 0時44分
なるほど～よくわかりました！どうもありがとうございました。

5286．入力法について  
名前：nan    日付：1月14日(火) 19時48分
こんにちは。大学二年のnanです。質問したいのですが、うまく表記できないので入力方法についてまず質問させてください。
例えば、ｘの3乗ってどうやって入力したらいいですか？
つまらない質問ですいません。これがわかればききたいことが何とか質問できるのですが・・・。


5287．Re: 入力法について
名前：おおさわ    日付：1月14日(火) 20時31分
x<sup>3</sup>
と入力すると、数字が上付き文字になります。

他に、a<sub>n</sub>
とすれば、数列も表記でき、かなり便利です。

詳しいことは、私のサイトの、「指数・対数関数」の項に載せてあります。
http://simfan.cn1.jp/mathmarks/

5292．Re: 入力法について
名前：nan    日付：1月14日(火) 23時5分
おおさわさん

どうもありがとうありがとうございました。これでやっと質問ができます。本当に助かりました。

5277．プログラミング？  
名前：彩    日付：1月14日(火) 1時9分
「整数Ｘが２の倍数だったら１を、そうでなかったら０をＹに記憶せよ。」という問題でフローチャートを作らないといけないのですが、
シフト演算命令を使用して、
①　Ｘを右に２桁移動（４で割った商）、
②　その結束を左に２桁移動（商の４倍）、
③　Ｘからその結果を引くとき０だったら４の倍数、０でなかったら４の倍数でない（４で割った余り）
というところまで理解できたと思うのですが、そこからちっとも分かりません（；；）
どうか教えてください。
今日は成人の日だというのに式にいけなかった２０歳（大学２年）です。
お願いします。


5279．Re: プログラミング？
名前：ヨッシー    日付：1月14日(火) 6時9分
私は、問題に「２の倍数」と書いてあるのに、解答が「４の倍数」について
吟味しているところが理解できません。

仮に、問題も「４の倍数」であれば、(1)(2)(3) の先、特に何もすることはありません。
結果に従って、Ｙに１か０を入れるだけです。

問題が「２の倍数」で正しければ、解答の「２桁」を「１桁」に、「４」を「２」に
変えれば、同様です。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5284．Re: プログラミング？
名前：彩    日付：1月14日(火) 17時36分
完成しました！ありがとうがざいました！

5276．今年受験生です。  
名前：ｍｉｙｕｋｉ    日付：1月13日(月) 23時55分
「４点Ｏ(0,0,0),Ａ(1,2,0),Ｂ(2,0,-1)Ｃ(0,-2,4)
を頂点とする四面体ＯＡＢＣについて考える。
点Ｄ(3,-2,7)に対し、直線ＯＤと△ＡＢＣの交点Ｐの座標を求めよ。」
点Ｐは△ＡＢＣの周上又は内部の点だと言う事から、
なんでベクトルＯＰ＝べクトルＯＡ＋ベクトルｍＡＢ＋ベクトルｎＡＣ
(m≧0，n≧0，m+n≦1)となるのでしょう？
そもそも、この問題って、実際の座標をグラフにとって、図を書いてみた
方がいいんでしょうか？？私、座標空間上での座標の取り方が良く分かって
無いのですが・・。(汗)(x，y，z)がみな正の値の時なら分かるのですが、
負の値だとちょっと・・。


5278．Re: 今年受験生です。
名前：INA    日付：1月14日(火) 2時20分
「ベクトルOP＝ベクトルOA＋ベクトルAP」というのはよいですよね？　つまりあとは「ベクトルAP＝ベクトルｍＡＢ＋ベクトルｎＡＣ(m≧0，n≧0，m+n≦1)」となることを考えればよいでしょう。
これは立体とは違って、とりあえず三角形ABCをてきとうに平面図で書いて考えればいいので、少しは楽になるのでは。

全部正の値ならなんとかなりそうだというのであれば、マイナスになってるところはxやyで置いておいて(例えばB(2,0,x))、あたかもaは正だと信じて分析してみて、そして最後に現れた答えにx=-1等を代入する、というやり方でやってもいいんじゃないでしょうか。

5337．Re: 今年受験生です。
名前：ｍｉｙｕｋｉ    日付：1月16日(木) 23時6分
分かりました。ありがとうございました。

5274．確率  
名前：よしみ    日付：1月13日(月) 23時54分
（マーク式の問題だったのですが、分かったところは既に当てはめて
います。）

１個のサイコロを続けて投げる。ｋ回目に出る目の数をＸkとする。このとき
ｎ回目までに出た目の数の積Ｘ1Ｘ2……Ｘnが初めて５０となるのはＸn＝２
または５のときである。Ｘn＝２の場合、積Ｘ1Ｘ2……Ｘnが５０となる確率
を求めよ。


この問題で、ｎ－１回目までに１がｎ－３回、５が２回出れば良いと考えた
のですが、解答の式が何を言ってるのか分かりません。
なぜn-1Ｃ2(1/6)^{2}(1/6)^{n-3}×1/6と言う確率になるのでしょうか。
よろしくお願いします。


5280．Re: 確率
名前：ヨッシー    日付：1月14日(火) 6時27分
たとえば、さいころを３回投げて、５が２回、１が１回出る確率を考えましょう。
目の出方と確率をひとつひとつ挙げると、
　１，５，５　・・・確率は　1/6×(1/6)2
　５，１，５　・・・確率は　1/6×(1/6)2
　５，５，１　・・・確率は　1/6×(1/6)2
合計の確率は　1/6×(1/6)2 × ３
確率　1/6×(1/6)2 の、前の方の 1/6 が「１の出る確率」で
後の方の 1/6 が「５の出る確率」です。
よく見ると、ひとつひとつの確率はすべて同じで、あとは、１，５，５ の
並び替えが何通りあるかが掛けられているだけです。

ｎ－１回の場合も同様で、５が２回、１がｎ－３回なので、
ひとつひとつの確率は　(1/6)2(1/6)n-3 であり、
５，５，１，１・・・・１ の並び替え(ｎ－１個の中に５が２つある)の数が
　n-1Ｃ2　になります。

最後の「×1/6」は、ｎ回目に２が出る確率なのですが、「Ｘｎ＝２の場合」の表現は微妙です。
「ｎ回目に２が出て積が５０になる確率」なら、これで正しいですが
「ｎ回目に２が出たことが既にわかっていて、そのとき改めて積を計算したら
５０になっている確率」だと、条件付き確率になって「×1/6」はいりません。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5281．Re: 確率
名前：ｍｉｙｕｋｉ    日付：1月14日(火) 10時50分
詳しいご説明ありがとうございます。
最後のはどう違うのでしょう？？
同じように見えるのですが・・。

5282．Re: 確率
名前：ヨッシー    日付：1月14日(火) 14時12分
例えば、サイコロを２回投げて積が１０になる場合を考えるとき、
「２回目に２が出て積が１０になる確率」は
(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)
(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)
・・・・
(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)
の３６通りのうちの、(5,2) の１通りなので、確率は 1/36 です。

これに対して
「２回目が２であったことはすでにわかっている。このとき
積が１０である確率」は
(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)
の６通りのうちの (5,2) の１通りなので、確率は 1/6 です。

() 内の数は、１回目、２回目に出た数です。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5338．なるほど！！
名前：ｍｉｙｕｋｉ    日付：1月16日(木) 23時10分
そう言う事だったのですね。ありがとうございます。

5263．空間ベクトルの座標の表記  
名前：よしみ    日付：1月13日(月) 17時33分
(ｘ、ｙ、ｚ)のどこか、または全てが負の値だった時に、
座標空間上でその座標をどう書いたら良いか分からず困っています。
例えば(２、－３、－４)など・・。
これはどのような位置にあるんでしょうか。
説明し辛い質問ですみません。


5270．Re: 空間ベクトルの座標の表記
名前：ヨッシー    日付：1月13日(月) 19時42分
こんな感じ

http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5271．Re: 空間ベクトルの座標の表記
名前：田中    日付：1月13日(月) 21時18分
質問　ヨッシーさんの図はどれもすばらしいですけれど、やはり花子で描いているのですか？他に何か図形ソフトでもあるのてしようか。このまえ、グラフソフトのすばらしいものを紹介してもらったので、あれば知りたいです。

5272．Re: 空間ベクトルの座標の表記
名前：ヨッシー    日付：1月13日(月) 21時37分
私は、花子一辺倒ですね。
曲線のグラフも花子で描いています。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5275．Re: 空間ベクトルの座標の表記
名前：よしみ    日付：1月13日(月) 23時54分
ありがとうございました！

5262．(untitled)  
名前：ルーキー    日付：1月13日(月) 17時18分
正４面体を平面で切る時直角３角形は頂点Ｐに集まる３辺上にＰＱ：ＰＲ：ＰＳ＝６：２：１となる３点Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓをとると、角ＱＲＳ＝９０°となると解説にあったのですがなぜこうなるのか教えてください。


5264．Re: (untitled)
名前：はなみずき    日付：1月13日(月) 17時36分
∠QPR＝∠RPS＝∠SPQ＝60°であり、
またPQ=6,PR=2,PS=1　としても一般性は失われない。
余弦定理から
QS2＝PQ2＋PS2－2PQ･PScos∠SPQ
＝36＋1－6＝31
同様に　QR2＝36＋4－12＝28
　　　　RS2＝4＋1－2＝3

よって、QS2＝QR2＋RS2が成り立つから

5261．(untitled)  
名前：ロック    日付：1月13日(月) 17時5分
正１２面体には２０個の頂点がありこれをＡ～Ｔとします。正１２面体の展開図上にＡ～Ｔを、あと正２０面体の１２個の頂点をＡ～Ｌとして同じように正２０面体の展開図上にもあてはめていきたいのですがどうしたらよいでしょうか。できれば図を使って説明してくれるとありがたいです。


5269．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：1月13日(月) 19時35分

正１２面体は上図の点線で結んだ点が１点に組み立てられます。

正２０面体は上図のように単純なので、どことどこがくっつくかわかるでしょう。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5258．忘れてました！！中３です。。  
名前：ぷりん    日付：1月13日(月) 15時58分
　

5257．どっかで聞いたんですけど･･･  
名前：ぷりん    日付：1月13日(月) 15時53分
なんか究極の定理が３５０年かかってようやく証明できたってことこの間聞いたんですけど、その定理をご存知ですか？また証明も知ってたら誰か教えてくださいな♪


5259．Re: どっかで聞いたんですけど･･･
名前：田中    日付：1月13日(月) 16時4分
フェルマーの最終定理です。

5265．Re: どっかで聞いたんですけど･･･
名前：はなみずき    日付：1月13日(月) 17時38分
xｎ + yｎ = zｎ

このnが３以上の時、この式が成立する自然数の解は存在しない。

5285．Re: どっかで聞いたんですけど･･･
名前：おおさわ    日付：1月14日(火) 19時21分
xn + yn = zn　…(*)

n = 1 のとき、
x + y = z であるから、
z は x と y の和である。
x,y は自然数であることより、zは自然数。
故に、(*)式を満たす自然数の組は存在する。

n = 2 のとき、
任意の自然数 i,j をとると、
(4i2j2) + (i4-2i2j2+j4) = i4+2i2j2+j4
(2ij)2+(i2-j2)2 = (i2+j2)2
ここで、
x = 2ij ,
y = i2-j2
z = i2+j2
と置くと、それぞれが自然数のみの和と積で成り立っていることから、
x,y,z は自然数。故に、(*)を満たす自然数の組は存在する。
http://simfan.cn1.jp/mathmarks/

5256．四則計算  
名前：佐藤健一    日付：1月13日(月) 10時3分
マイナスとマイナスの積は何故プラスになるか。日常生活から説明できる方法を教えてください。


5260．Re: マイナス＊マイナス　⇒　プラス
名前：田中    日付：1月13日(月) 16時10分
この説明は、たっぷり考えたことがあります。
佐藤さんもまずは、一例だすべきです。
日常的ということですが、まずは、絶対値のようなものは、例えにしにくい、または、できないことが多いです。たとえば、質量など。

とすれば、向きをもつもの、時間的なもの、記号的なもの、金銭を素材にして、動き、取引、操作をも向きを考えると、いろいろと思い浮かびます。

5273．Re: 四則計算
名前：田中    日付：1月13日(月) 22時27分
例．
薬ビンに　薬の粒が入っています。１日に３粒ずつ　飲んでいくとします。
１日に３粒消費・・・・－３粒／日

１０日目に、飲んだらぴったり　空になりました。では、初日には、何粒あったでしょう。
初日・・・・・１０日前・・・・－１０日

式　　（－３）＊（－１０）＝３０

１０日前には、３０粒ありました。
　　　　　　　　　　　　　　　　　というような例は、いかがでしょう。
もらうことは、プラス　消費は、マイナス。
時間がたつのは、プラス、さかのぼるのは　マイナスとしました。

5254．確率　高校生です  
名前：マグ    日付：1月13日(月) 1時0分
「下手な鉄砲も数撃ちゃ当たる」ということは確率論的にどう説明できるのですか？教えてください


5255．Re: 確率　高校生です
名前：ヨッシー    日付：1月13日(月) 8時8分
１回について当たる確率をｐとすると、当たらない確率は１－ｐです。
ｎ回打って、１度も当たらない確率は　（１－ｐ）n であり、
少なくとも１回は当たる確率は、それを１から引いて、
　１－（１－ｐ）n
です。
０＜ｐ＜１ とすると ｎが大きいほど当たる確率は大きくなります。

って、こんな感じかな？
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5249．中線定理  
名前：Kou    日付：1月12日(日) 23時20分
始めまして。中３受験生のKouと申します。
早速なのですが、定理の覚え書きの所に書いてある「中線定理」を、
余弦定理を使わずに証明することは出来るのでしょうか。
自分なりにアーキタスの定理などを使ってやってみたのですが、
式の中にＡＭを絡ませるとなると…、という感じです。
どうか、ご教授願います。


5250．Re: 中線定理
名前：うっしー（数ⅡＢ）    日付：1月12日(日) 23時44分
三平方の定理でできますよ～
ＡからＢＣに垂線をおろして足をＨとしてみて、
いろいろいじっていったらできるはずです。
スチュワートの定理を三平方で証明したことはまだありませんが、
中線定理なら割とすぐいけますよ。

5251．Re: 中線定理
名前：うっしー（数ⅡＢ）    日付：1月12日(日) 23時56分
ＡからＢＣに垂線を下ろし、足をＨとする。
ＢＣの中点はＭとし、線分ＭＣ上にＨがあるとする。
ＢＭ＝ＭＣ＝ａ、ＭＨ＝ｂ、ＡＨ＝ｈとおく。
　　　 ＡＢ2＝（ａ＋ｂ）2＋ｈ2
＋）　 ＡＣ2＝（ａ－ｂ）2＋ｈ2
―――――――――――――――
ＡＢ2＋ＡＣ2＝２ａ2＋２ｂ2＋２ｈ2
ＡＢ2＋ＡＣ2＝２(ａ2＋ｂ2＋ｈ2)
ＡＢ2＋ＡＣ2＝２(ＢＭ2＋ＡＭ2）

5252．Re: 中線定理
名前：Kou    日付：1月13日(月) 0時26分
　うっしーさん、どうもありがとうございました。
垂線を引くまではわかったのですが、アーキタスではなく三平方を使うのですね。
これで脳みそのシワがまた一本増えました。

5248．シュワルツの証明  
名前：かず    日付：1月12日(日) 23時19分
[∫（a～b){f(x)g(x)}dx]^2
≦[∫（a～b){f(x)}^(2)dx]*[∫（a～b){g(x)}^(2)dx]

の不等式の証明がわかりません。１時間半近く考えてるんですけど、どーしていいかさっぱりです。与式を移項して０以上を示そうと思ったんですがうまくいかないし　グラフ書こうとも思ったんですが書けなくて・・・何か良い法方あります？？教えてくださいｍ（＿＿）ｍ


5253．Re: シュワルツの証明
名前：nabeX    日付：1月13日(月) 0時47分
∫{f(x)+tg(x)}2dx　を展開してみてください。
この積分は被積分関数{f(x)+tg(x)}2が常に正または0の値をとるので
∫{f(x)+tg(x)}2dx≧0です。
で、∫{f(x)+tg(x)}2dx　をtの二次関数としてみて
判別式を利用します。

5246．算数  
名前：深木　次男    日付：1月12日(日) 21時40分
点対象と線対称をわかりやすく子供（小６）に説明したいのですが
よろしくお願いいたします


5247．Re: 算数
名前：ヨッシー    日付：1月12日(日) 22時55分
対称といった場合に、主に２つ意味があります。
１つは、ある図形をある点に対して点対称に移動するとか、ある直線に対して
線対称に移動するなどの場合です。

図の左が点対称、右が線対称です。
点対称は、対応する２点（たとえばＣとＣ' ）の中点が点Ｏ(対称の中心)になります。
つまり、元の図形の各頂点を、点Ｏの反対側に同じ長さだけ取れば、移動後の
点を決めることが出来ます。
線対称は、対応する２点(たとえばＡとＡ'）を結ぶ直線は、対称軸に対して
垂直であり、交点はＡＡ' の中点になります。

もう一つの意味は、その図形自体、点対称であるとか、線対称であるとかいう場合です。

図のように、ある点に対して180°回転して元の図形と重なれば点対称、
ある直線に対して左と右が互いに線対称である図形が、線対称な図形ということになります。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5234．速さ・距離・時間に関する問題  
名前：受験生    日付：1月12日(日) 0時41分
早速ですがわからない問題があったので教えてください。

長さ200ｍ、時速30ｋｍの貨物列車が、反対側から来た列車とすれ違うのに９秒かかり、すれ違ってから３秒後に２台の列車が100ｍ離れていた。反対側から来た列車の長さはどれくらいだったか。

解説には

すれ違ってから３秒後に２台の列車が１００ｍ離れていたから、相対速度は
100/3　ｍ/秒。反対側から来た列車の長さをXｍとすると、すれ違う９秒間に200＋X動いたことになり、相対速度が100/3　ｍ/秒だから、

200＋X＝100/3×9

∴X＝100

解説の　100/3×9　ここのの計算がなぜこうなっているのか？
わかりません。それと、相対速度の意味・使い方も教えてください。

お願いします。


5235．Re: 速さ・距離・時間に関する問題
名前：中川　幸一    日付：1月12日(日) 1時3分
学年は中３ですか？
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5238．相対速度について
名前：中川　幸一    日付：1月12日(日) 1時16分
動いている人から見た物体の速度を相対速度という。

相対速度＝物体の速度－基準となる速度

※相対速度（相対加速度）はベクトルの差、見た人の分を引く。
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5239．Re: 速さ・距離・時間に関する問題
名前：田中    日付：1月12日(日) 1時41分
まず、相対速度とは、簡単な例で言えば、同じ向きに走る車があるとき、あなたがどちらかの車にのってもう一台を観察すると、もし、同じ速度なら、常に隣にいるから、止まって見えるでしょう。自分を基準にすれば、相手の速度は０に見えます。
　つまり、なにかを基準にして測定した速度が、相対速度です。
普通　向きも考えた　速度の差　で示されます。（ベクトル）
普通の時速は、何を基準にしたかと言えば、それは、地面です。先ほどの車なら、それは、「自分の車」を基準として測ります。

このようなとき、地面に生えてる木を観測すると、自分は、走っているので、木は逆向きに ある速度で走っているように観測されるのです。これらのことは、架空のことではなく、物理学で普通に扱う現実です。
この地球は、ここを基準にすれば、停止してみえますが、宇宙空間からみれば、ある速度で公転しているでしょう。

さて、この問題では、片方の列車を基準として考えることが、定石です。

その列車は、止まっていると仮定していいのです。

下の図の白い列車が停止して、黒い方がある速度で走ると考えてよいのです。

すれ違うとは、「列車の　頭同士が、ならぶ」ところから、「お尻同士が離れる」までを言います。

①すれ違う、まさに直前
　　　　　　　　　　　　　　　　　　２００ｍ
　　　　　　　　　　　　　　　□□□□□□□→
　　　　　　　　　　　　　 　 ← ■■■■■■
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｐ　　X m
②お尻同士が離れる寸前
　　　　　　　　　　　　　　　　　　２００ｍ
　　　　　　　　　　　　　　　□□□□□□□→
　 ← ■■■■■■
　　　　　　　　　　ｐ　　X m

９秒かかったのは、この①から②までの行程です。黒い列車の先頭のｐのがどれだけ動いたかをみてください。２００＋X 　ｍ　ですね。

そして、３秒で、１００ｍ離れたことで、黒列車の速度が出せます。 １００／３　メートル毎秒ですね。

この速度で９秒かかる距離は、（１００／３）＊９　で　それが　２００＋Ｘ　メートルに等しいという解答の式に導かれます。

5240．Re: 図がずれました　再掲します。図が大事ですので
名前：田中    日付：1月12日(日) 2時19分
Original Size: 638 x 205, 20KB

ｐｓ　すいません　図を貼ります。


5245．ありがとうございました。
名前：受験生    日付：1月12日(日) 15時28分
中川　幸一さん、田中さん
詳しいご説明ありがとうございました。

私は、大学生です。公務員試験を受験しようと
数的推理の分野を勉強しているのですが、
文系で数学が苦手なもので・・・

また、基本的な問題などについて聞くことがあるかと
思いますが、そのときはまたご教授お願いします。

5233．(untitled)  
名前：K.N.G.    日付：1月12日(日) 0時2分
ある本におもしろい問題が載っていたのですが、いくら考えても解けません(直感的には｢変えない｣方がいいと思うのですが…)。どうやるのでしょうか？　教えて下さい。

問題
テレビのショーにあなたは出ていて、３つの扉が示されているとしよう。１つの扉の裏には車がある。残りの２つの扉の裏にはヤギがいる。１つの扉を選ぶように言われ、１つを選んだ。扉１とするが、まだ開けられていない。司会者は３つの扉の裏にあるものを知っていて、２つの扉のうち１つ(扉３とする)を開けると、ヤギが出てきた。司会者は車が隠れている扉を決して開けない。｢扉を変えたければどうぞ｣、と司会者が言った。扉を換えたほうがよいか変えない方がよいかをそれぞれの確率を計算することにより答えよ。


5237．サベローニの問題
名前：中川　幸一    日付：1月12日(日) 1時8分
この問題は1966年の夏にサベローニの別荘で開かれた理論生物学の会議で話題になったという、じつに頭が混乱させられる面白い問題ですよね！

このとき出された問題は、死刑囚の幸福度（？）の問題ですが、本質的にはかわりはありませんね。
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5244．Re: (untitled)
名前：K.N.G.    日付：1月12日(日) 15時6分
ご回答ありがとうございます。
サベローニの問題について検索してみたのですが、いまいち理解できませんでした。
確率はどのようにして求めるのでしょうか？
よろしければご教授お願いします。

5267．Re: (untitled)
名前：滝    日付：1月13日(月) 19時5分
変えた方が得です。
簡単のため、最初に必ず扉１を開くものとします。

①扉１に車があるとき（確率1/3）、変えるとやぎ、変えないと車。
②扉２or３にあるとき（確率2/3）、変えると車、変えないとやぎ。

よって、「変える」戦略を取ったときは確率2/3で車を手に入れられ、「変えない」戦略の1/3より有利です。
Ａ・Ｋ・デュードニーという人の書いた「眠れぬ夜のグーゴル」という本に確か載っていたと思います。よかったら参照してください。

サーベロニの問題においては、「扉の変更」が出来ないので、死刑囚は有利にはなりません。
サーベロニの問題は、「大学への数学」の増刊の「確率・場合の数」に詳しく載っています。

サーベロニの問題と同じ問題だというのは、中川氏の書きこみを見て初めて気づきました。

5283．Re: (untitled)
名前：花パジャ    日付：1月14日(火) 14時50分
このゲームを行うにあたっての戦略はそうだと思いますが
問題にある時点ではどうなんでしょう?
この時点では、扉２か扉１かのどちらかにしかないのですが

例えば、10回さいころを振って、1回でも目を当てたら勝ち、というゲームをしたとします
すべてに１と答えれば、かなりの高確率で勝つ筈です
ところが、9回まで振った時点で1が一度も出なかった、さて、次は...

といった、条件付き確率に対して昔から持っていた気持悪さを私は感じるのです

シュレーディンガーの猫の話で感じるのに似たような感覚...

5306．花パジャ さんへ
名前：滝    日付：1月15日(水) 13時13分
> このゲームを行うにあたっての戦略はそうだと思いますが
> 問題にある時点ではどうなんでしょう?

おなじです。
司会者がある扉を開いたということは、自分が選んでいる扉に車があるかどうかということに対し何のヒントも与えません。
（あなたが選んでいる扉に車があろうと無かろうと、司会者はやぎの扉を開けられます。）
そのかわり、残りの１つの扉に車がある確率が高くなります。
（開かれた扉のぶんの確率がそちらに移動するのです。）
結局、「自分が最初に選んだ扉に車があるか、それとも残り２個の扉のどちらかにあるか」を選ぶという選択をすることになります。

扉１にある確率：1/3
扉２にある確率：2/3
これが「問題にある時点」の状態です。
確率は半々ではないです。

> この時点では、扉２か扉１かのどちらかにしかないのですが

扉１と２では車が中にある確率が違います。
まず３つから１つを選び、それから１つを開くという順番が大切なのです。

誰かが扉を選び、司会者が１つ開いた段階で、それまでの過程を知らない第三者が閉じている２つの扉から１つを選ぶ場合、彼には最初に選ばれた扉と、残った扉の区別がつかないので、彼が車を当てる確率は1/2です。
ゲームの参加者は、より多い情報をもっているのです。

１００個のドアで、９８個を司会者が開くことにすればイメージがわきますか？
確かにイメージがわかないと納得できない問題ですよね。

「変えた方が良い」という結論は正しいので、信じておいて良いですよ。
以上、長くなりました。

5231．やはり違うのでは、  
名前：田中    日付：1月11日(土) 19時17分
やはり、私も　けん　さんと同じやり方をして解きます。それが、ＡＢに平行な接線のときの接点であるというのは、かなり明らかに見えるのですが、どこかの定理になっているという話は聞きません。きっとそれは、いろいろやって証明されるべきものですから、この問題の解に使うのはいかがなものかと思います。たとえば、同じ問題でｙ＝－（ｘ＋０．０１）（ｘ－１０００）というグラフを描いてみたら、うーーん　と迷ってしまうでしょう。求める点は、放物線の頂点かもしれないぞと思うかもしれませんよね。ニュートンなら放物線の幾何を使って解いてしまうかもしれませんが・・

5229．最大となる根拠（2次関数と直線）  
名前：けん    日付：1月11日(土) 14時13分
高校3年です。

　C:f(x)=-x2+2x+15

とし、C上の2点 A(5,0), B(0,15) とする。
また、第1象限内のC上の点をP(t,f(t))とする。
このとき、△PABの面積が最大となるときの点Pの座標を求めよ。

という問題で、「ABを底辺と見て高さが最大となればよい」と考えて
直線ABをlとしたとき
　l:y=-3x+15⇔3x+y-15=0
であるから、点Pとlとの距離が最大、つまり
　|3t-t2+2t+15-15|/√(32+12)
が最大となるときを求めて t=5/2 としてPの座標を出したのですが、解答では
　「点Pにおける接線の傾きがlと平行となるとき△PABの面積が最大となる」

となっていました。言われて見ればそのような気もするのですが、
イマイチ根拠がわかりません。直感的に"明らか"として扱ってもよい
ことなのかもしれませんが、どうしてそのようになるのでしょうか？
詳しく教えていただけないでしょうか？


5230．Re: 最大となる根拠（2次関数と直線）
名前：はなみずき    日付：1月11日(土) 17時15分
Original Size: 520 x 534, 40KB

「ABを底辺と見て高さが最大となればよい」これは常にいえます。
「点Pにおける接線の傾きがlと平行となるとき△PABの面積が最大となる」
これは、平行線上の点のどこを頂点にとっても高さは一定で面積が同じだということから、２次関数の場合はいえますね。
でも、３次関数の時などは、それは必要十分条件ではないですし、
微分が存在しない関数の場合は、いえないですね。


5232．自分で証明してみては…
名前：占星術師    日付：1月11日(土) 19時18分
試験場では「直感的に明らか」として良いことだとは思いますが、
数式のみで示したいなら、次の問題をご自分で考えてみてはいかがでしょう。
───────────────────
問題：xy平面の曲線C：y=f(x)=ax2+bx+c（a＞0）と直線l：y=dx+eがある。
Cとlとは共有点をもたないものとする。C上の点P(p,f(p))について、
Pにおける接線の傾きがdであるときPとlとの距離が最小になることを示せ。
───────────────────
なお、f(x)は２次関数だけではなく、f"(x)が定符号であるような関数(y=exなど）
に拡張できそうですが、簡単のため、２次関数に限定しました。
既に指摘されていることですが、３次関数などは条件を満たしません。

5241．ありゃ、5232は元の問題の設定と少し違っていた
名前：占星術師    日付：1月12日(日) 3時30分
最近、この種の小ミスが多発している私（３日前にも某サイトで…）
でも、本質的な所は変わっていません。5232が出来れば元の設定での証明も出来ます。

5242．Re: 最大となる根拠（2次関数と直線）
名前：INA    日付：1月12日(日) 9時30分
ABが傾いた線分だからわかりにくいのであって、まずはx軸に並行な線分A'B':y=0の場合で考えてみてはどうでしょう。このとき最大面積を求めるという問題は単に放物線の最大値を求める問題に置き換えられます。そして放物線の最大値は傾きが０になるところなので、A'B'の平行線と放物線の接点を求めることで解が得られるということになります。

ABが傾いている場合でも同様に分析できます。いまC'式を新たに次のように定義します。
C':g(x)=f(x)-(-3x+15)

すると図で書けばわかるように、CとABの関係はC'とA'B'(y=0)の関係に置き換わり、従って上のような議論で「接線で考える」という考え方が正当化されます。

なお一般にこの問題では、関数Cは題意のような放物線でなくとも、AとBの間で凹関数になっているような関数であれば十分です(必要条件ではない)。

5243．Re: すいません　ありました。裏付け
名前：田中    日付：1月12日(日) 11時0分
この問題、なんか・・・見覚えがあって、頭のどこかに記憶がかすかにあったので、調べなおしました。すると、あれです。数Ⅲのところの　平均値の定理やロールの定理のことでした。その区間で微分可能な関数（連続で、接線がひける）があるとき、ＡＢの傾きになる微分係数をとる点が必ずあるというものです。この幾何的意味というものも見つけてしまい、この問題に適していました。昔は、定理を理解するので精一杯だったもので、応用までいきませんでした。定理がないと思っていまして、失礼、訂正します。

5219．質問です。  
名前：ボンボン（高２）    日付：1月10日(金) 13時15分
わからない問題ができたのでまた来ました。
sin^2xと(sinx)^2は一緒ですか？
今独学で数Ⅲをやっているのですが、
∫[0,π/2](sinx)^2dxがどうやるかわからなくなってしまったんです。
答えは0とでたのですが、あってますか？
よろしくお願いします。


5220．Re: 質問です。
名前：花パジャ    日付：1月10日(金) 13時51分
>sin^2xと(sinx)^2は一緒ですか？
一緒です
>答えは0とでたのですが、あってますか？
いいえ(非負の数の正方向への積分は非負で、等号は常に0の時のみです)

方法1
cos2x=1-2sin2xから
方法2
(sinxcosx)'=cos2x-sin2xから
∫[0,π/2]sin2xdx=∫[0,π/2]cos2xdx
を出して、右辺を変形
…

5221．Re: 質問です。
名前：はなみずき    日付：1月10日(金) 13時55分
sin2xの次数を２次から１次に下げます。
sin2x＝（1－cos2x）/2　を使います。

答は　π/4

5222．Re: 質問です。
名前：ボンボン（高２）    日付：1月10日(金) 14時6分
＞花パジャさん、はなみずきさん
方法１でやってみました。
そしたらπ/4になりました！！
ありがとうございました。

5198．不定積分  
名前：かず    日付：1月10日(金) 1時6分
（１）cot(x)

(２）arccos(x) 　　
の不定積分ってどーやって求めたらいいんですか？ 教えてくださいm(__)m


5199．Re: 不定積分
名前：中川　幸一    日付：1月10日(金) 1時20分
一応答えだけ。
(1) log(sin x)
(2) -√(1-x2) + x arccos x
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5201．Re: 不定積分
名前：かず    日付：1月10日(金) 1時29分
log使うんですか？！う・・・ん大変だ＾＾；

5217．Re: 不定積分
名前：かず    日付：1月10日(金) 10時19分
解けました＾＾ありがとうございます。

5197．お願いします  
名前：ボンボン    日付：1月10日(金) 1時3分
初めまして。高２のボンボンといいます。

aを実数とする。方程式
　|x^2-1|=x-a
を満たすの個数を求めよ。

とりあえず両辺を二乗してみたのですが、つまづいてしまいました。
ヒントでいいので教えてください。よろしくお願いします。


5204．Re: お願いします
名前：はなみずき    日付：1月10日(金) 1時47分
両辺を二乗してみたら　A2＝B2　という形になるから
A2－B2＝0
(A－B)(A＋B）＝0
と変形すると　ｘについて2次の積になりますが、これでできないでしょうか？

5206．訂正
名前：ボンボン    日付：1月10日(金) 1時55分
を満たすの個数を求めよ。
　　　　↓
を満たす実数xの個数を求めよ。
でした！

>はなみずきさん
やってみたのですが
（略）
(x^2-x+a-1)(x^2+x-a-1)=0で
それぞれa=のかたちにして微分→図を書く→答え
みたいなかんじでいいですか？

5207．私ならこう解きます。
名前：中川　幸一    日付：1月10日(金) 2時1分
y=|x2-1|-x, y=a
この２つのグラフの交点を考察しますが…。
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5208．Re: お願いします
名前：中川　幸一    日付：1月10日(金) 2時4分
Original Size: 668 x 668, 46KB

これが y=|x2-1|-x のグラフです。
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs


5210．Re: お願いします
名前：ボンボン    日付：1月10日(金) 2時12分
☆中川幸一さん☆
わざわざグラフまで書いてくださってありがとうございます。
おかげでわかりました。

あと、質問なんですが、y=|x^2-1|-x, y=aの交点を観察するとのことですが、
y=|x^2-1|-x, y=-aではなぜないのですか？
絶対値がついているからでしょうか・・・？

5212．Re: お願いします
名前：中川　幸一    日付：1月10日(金) 2時23分
ごめんなさい。
私の記入ミスです。
y=-aで考えてください。

あと、以下のように分けても考えることも出来ます。（こちらの方がpopularな分け方ですが、接するところの計算をするのがいやだったので先ほどのような分け方を教えました。）
y=|x2-1, y=x-a|
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5213．Re: お願いします
名前：ボンボン    日付：1月10日(金) 2時29分
解けました。
その解法でもやってみます！
ありがとうございました。

5214．またもや記入ミス
名前：中川　幸一    日付：1月10日(金) 2時32分
またもや記入ミスをしてしまいました。
正しくは下記の通りです。

y=|x2-1|, y=x-a
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5215．Re: お願いします
名前：はなみずき    日付：1月10日(金) 9時24分
ボンボンさん　解けてよかったですね。
あのあと、眠ってしまいレスできなくってごめんなさいね。

中川　幸一 さんの言われるように定数分離の方法がノーマルかもしれません。

わたしは、２次関数のグラフを書くのではなく、判別式でそれぞれの実数解の個数を場合分けしたら良いと思ったのです。
でも今解いてみたら、２つの二次方程式に共通解があった場合は１つと考えなければいけないので、判別式だけでなく実際の解も考える必要がありました。

スマートな方法ではないけど、別解と言うことで・・・

5193．よろしくお願いしますm(_ _)m  
名前：ホッカイロ（大学２年）    日付：1月10日(金) 0時21分
微分積分のテスト勉強をしていてこんな問題が出てきました。いきなりつまずいているところです・・・。ご指導よろしくおねがいします。

次の級数の収束、発散を判定せよ。
（1)1+1/2+1/3+1/4・・・
(2)1+1/2^{2}+1/3^{2}+1/4^{2}+・・・


5194．ヒントです。
名前：中川　幸一    日付：1月10日(金) 0時43分
次の不等式を証明せよ。

(1) 1 - 1/n + 1/n2 ＜ Σ[k=1 to n]_1/k2 ＜ 2 - 1/n
(2) log(n+1) ＜ Σ[k=1 to n]_1/k ＜ 1 + log n
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5202．Re: よろしくお願いしますm(_ _)m
名前：ホッカイロ（大学２年）    日付：1月10日(金) 1時31分
ヒントありがとうございました。紙に書き出して考えてみたのですが、実は、今回取った微分積分の授業が１変数関数の微分積分だったので、「級数の」と言われるとさっぱりなのです。（じゃなんでこんな問題が練習で出るんだ?!と思いますよね・・・）

問題に戻りますと・・・
「収束」とは、一定の値に近づくことですよね。「発散」とは値が限りなく大きくなるか小さくなることですよね。（あってるかなぁ～）
(1)も(2)も大きくなるような気がするのですが、
そこでさっきのヒントを使えばいいんでしょうか・・・？？
う～ん

5203．Re: よろしくお願いしますm(_ _)m
名前：中川　幸一    日付：1月10日(金) 1時46分
(1)と(2)の最左辺と最右辺のnを無限にとばしてみてくだしい。
すると、(1)は上に有界で増加することが分かります。
(2)は最左辺と最右辺ともに無限へ発散しますよね？
このての証明問題はいろいろな解法があります。
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5266．Re: よろしくお願いしますm(_ _)m
名前：ヤッス    日付：1月13日(月) 19時2分
∫[0 to ∞]1/n<Σ∫[0 to ∞]1/n
からもできたように記憶するのですが。間違ってますかね。

5268．ミスです
名前：ヤッス    日付：1月13日(月) 19時5分
∫[0 to +∞]1/n<Σ[0 to +∞]1/nです。

5192．これ解き方がわからなくて困ってます！！！  
名前：さゆ(高2)    日付：1月9日(木) 23時59分
誰か教えて下さい☆

xについての２次方程式 x^2+4kx+5k-1=0 の２つの解がともに -2 より大きくなるように、定数kの値の範囲を定めよ。

…という問題で、一応自分でといてみたんですが。。。

4k^2-(5k-1)>-2

として解けばいいんですか？？？


5195．Re: これ解き方がわからなくて困ってます！！！
名前：田中    日付：1月10日(金) 0時44分
はじめて　失礼します。いつも熱心に質問していて、頭が下がる思いです。
　何題か解いているようですが、この種の問題は、手順が大切です。数学らしく、論理、理屈の順序です。次のように考えると良いのです。

１．＊＊＊という方程式が、２つの解を持つとき・・　と述べてあったら、まずは、判別式＞０　の条件を示すのが大切です。

　よく、判別式を後から考えて・・という学生は、手順違いなのです。

　この条件が最優先になるのです。なぜなら、解があってこそ、その大きさ云々が言えるからです。だれもいないのに試合ができるわけないぞーと言う感じです。

２．次に、その解の特徴についての関係を式にたてるのです。
　このときよく使うのは、「根と係数の関係」です。
　根が　α、β　のとき、α＋β＝－ｂ　　αβ＝ｃ　というあれです。あの条件をつかい、導くことが多いです。

１からの条件を最優先にして、なおかつ２を満たす条件の範囲をもとめると　できると思います。

5200．Re: これ解き方がわからなくて困ってます！！！
名前：さゆ(高2)    日付：1月10日(金) 1時26分
ほめていただきありがとうございます(*>_<*)☆とりあえず判別式のところまでやってみたので、見てみてください！！

16k^2-4(5k-1)>0
(4k-1)(k-1)>0

になったので k<1/4、1<k

。。。であってますか？？？

5205．Re: これ解き方がわからなくて困ってます！！！
名前：中川　幸一    日付：1月10日(金) 1時52分
実数解を２つ持つところまではあっていますね☆
あとは２解とも-2より大きい範囲にあるのを調べ出すだけです。
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5209．Re: これ解き方がわからなくて困ってます！！！
名前：さゆ(高2)    日付：1月10日(金) 2時5分
続きを解いたので見てください☆

α+β＝-4k αβ＝5k-1
k<1/2 k>-1/5

になったので、答えが

-1/5<k<1/4 , 1<k

と出てきたのですが、どぉですか(>_<)?!

5211．Re: これ解き方がわからなくて困ってます！！！
名前：中川　幸一    日付：1月10日(金) 2時17分
違いますね。
この問題は軸とかも考えないといけませんよ！
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5216．Re: これ解き方がわからなくて困ってます！！！
名前：田中    日付：1月10日(金) 9時45分
失礼ながら続けます。

日付：1月10日(金) 2時5分
続きを解いたので見てください☆

α+β＝-4k αβ＝5k-1
k<1/2 k>-1/5
になったので、答えが
-1/5<k<1/4 , 1<k
と出てきたのですが、どぉですか(>_<)?!

ここが？？？です。

中川さんは、２次関数のグラフとしてとらえていますが、ここは、方程式の根として取り扱うなら、

α＞－２　β＞－２　ならば　は、α＋βは、どういう大きさといえるでしょう。

たとえば、ぎりぎり　　α＝－１．９９　　β＝－１．９９のとき　やってみますと、α＋β＝－３．９８
おわかりですね、α＋β＞－４が　いえるのです。・・・①
（αβについては、片方が負で片方正の時があるので定まりません）

さゆさんが、α+β＝-4k は、わかったようですから、①に入れてみるとできるはずです。両辺マイナスの時の不等式を整理するとき注意してくださいね。

5223．Re: これ解き方がわからなくて困ってます！！！
名前：さゆ(高2)    日付：1月10日(金) 17時11分
昨日あのあと寝てしまいました(>_<)!!!教えて頂いている途中にごめんなさい★

今続きを解いてみたんですが。。。

α+β＝-4k…①

α+β>-4
①より
-4k>-4
k<1

k<1 , k<1/4 , 1<k

なので答えは、1<k , k<1/4 であってますか(>_<)?!

5224．Re: これ解き方がわからなくて困ってます！！！
名前：田中    日付：1月10日(金) 17時36分
おしい　です。
落ち着いて整理しましょう。

判別式からの強い条件

　　k<1/4 , 1<k・・・・・①

そして、いま出した条件

　　k<1　・・・・・・・・②

①であり、かつ　②でなければならないので・・・。数直線を書いてみると出ます。
あと一歩です。

5225．Re: これ解き方がわからなくて困ってます！！！
名前：さゆ(高2)    日付：1月10日(金) 18時54分
数直線。。。少し苦手で…(~~;

やってみたら k<1/4 になりました！！！どうでしょう(>_<)?!

5226．Re: これ解き方がわからなくて困ってます！！！
名前：田中    日付：1月10日(金) 19時27分
正解です。ごくろうさまでした。
いやいや数直線は、ぜったいおすすめですよ。私は、これを描かなければすぐ間違えてしまいます。転ばぬ先の杖！！　これからも頑張ってください。

5227．Re: これ解き方がわからなくて困ってます！！！
名前：さゆ(高2)    日付：1月10日(金) 22時36分
すごく丁寧に、例えもわかりやすく教えてくださってありがとうございました☆

この問題の数直線は１がかさなっていてどうしたらいいかわからなかったけど、教えてくださったおかげでわかってきました♪♪似たような問題でもできるようにがんばります(*>_<*)!!!

5228．Re: これ解き方がわからなくて困ってます！！！
名前：田中    日付：1月11日(土) 0時25分
発見！！！　ちょっと気になったので・・・蛇足かもしれませんが

さゆ　さんの１／６　にも同類の質問があり、多くの人の「長大な説明がありましたが・・内容がすごすぎて、理解できたかどうか」です。

これです。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
名前：さゆ 日付：1月6日(月) 23時56分
2次方程式ｘ^2－２(ｋ＋３)ｘ＋ｋ＋５＝０の2つの解がともに正であるように実数ｋの範囲を定めよ。

。。という問題で、

α＋β＞０　　　　αβ＞０
２ｋ＋６＞０　　　ｋ＋５＞０　　　　
ｋ＞－３　　　　　ｋ＞－５　　・・・・・ア　　

だから、答えがｋ＞－３　　・・・・・・・①

になったんですが、どうでしょう？？
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
　　α＞０　　β＞０　なので
　α＋β＞０　αβ＞０　は、しっかり正しいのです。ここは、合格です。
しかし、このように、いきなり解の特徴を述べていますね。これは、良くなくて、これを述べる前に、判別式＞０　をつくってｋの強い条件を述べるのです。
　　(ｋ＋３)＾２－ｋ－５＞０
　　（ｋ＋４）（ｋ＋１）＞０
これより
　　　ｋ＞－１　　，ｋ＜－４・・・・②

まず、②を数直線に描いて、①で共通の範囲をしぼれば、どうでしょう正解にたどりつくでしょう。
答案としては、これで十分と思います。　　　　答えは　ｋ＞－１

　判別式を調べ　⇒　根と係数で調べ　⇒共通範囲　　と３ステップで解けることが基本パターンですね。

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
名前：中川　幸一 日付：1月7日(火) 3時19分
正解は　-1＜k　です。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

5179．方程式を解きたい！  
名前：-1.69    日付：1月9日(木) 19時49分
2^n=n+2
n=について知りたいです。


5191．Re: 方程式を解きたい！
名前：riko    日付：1月9日(木) 23時13分
one of the answer may be

n=2

5196．Re: 方程式を解きたい！
名前：中川　幸一    日付：1月10日(金) 0時48分
Original Size: 668 x 668, 46KB

グラフを添付します。
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs


5176．やり方がわからなくて困ってます！！！  
名前：さゆ(高2)    日付：1月9日(木) 19時10分
３次方程式(x-1)(x^2-ax+2)=0が異なる３つの実数解を持つとき、実数aの範囲を求めよ。

…という問題で、自分でできるとこまでやってみたんですが。。。

x=1 x^2-ax+2
x=a±√a^2-8/2

としたんですがここまでの解き方、大丈夫ですか？？？


5177．Re: やり方がわからなくて困ってます！！！
名前：さゆ(高2)    日付：1月9日(木) 19時14分
あっ！！行がずれてしまいました★

x=1　と、

x^2-ax+2
x=a±√a^2-8/2

にしたんですがあってますか？？？

5178．Re: やり方がわからなくて困ってます！！！
名前：中川　幸一    日付：1月9日(木) 19時25分
そうですね。
あとは

x2-ax+2=0

が x=1 とは異なるように, 相異なる２つの実数解を求めれば終わりです。

PS記入するときは『括弧』を使うと見やすくなりますよ！とくに掛け算、割り算、平方根 etc.
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5180．Re: やり方がわからなくて困ってます！！！
名前：さゆ(高2)    日付：1月9日(木) 19時53分
解いたら　a>±3 になりました。それで、答えはどのように書けばいいんですか？？？

a>±3 だけを書けばいいんですか？？？

5181．Re: やり方がわからなくて困ってます！！！
名前：中川　幸一    日付：1月9日(木) 20時3分
答えが違うよ！

Ｄ＞０
を求めて、さらに解にx=1がないようにするんだよ！
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5182．Re: やり方がわからなくて困ってます！！！
名前：さゆ(高2)    日付：1月9日(木) 20時23分
a<-2√2　と 2√2<a 。。。ですか？！

5185．Re: やり方がわからなくて困ってます！！！
名前：ヨッシー    日付：1月9日(木) 21時28分
これで、Ｄ＞０ は満たしますね。
でも、これだと、ａがある値を取ると、ｘ＝１が解となり、
ｘ＝１，１，２ のように、３つの解のうち２つが重なってしまいます。
さて、そのある値とは？
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5186．Re: やり方がわからなくて困ってます！！！
名前：さゆ(高2)    日付：1月9日(木) 21時45分
あっ！！！aが３の時ですよね？！
ということは、a<（-2√2）と 2√2＜a<3 ですよねっ(*>_<*)?!

5188．Re: やり方がわからなくて困ってます！！！
名前：知也    日付：1月9日(木) 22時0分
ん？aの値はあってるけどa≠３じゃないの　別にa=4でも異なる３つの実数解をもつだからa<‐２√２ 2√2<a ただしa≠３

5189．Re: やり方がわからなくて困ってます！！！
名前：ヨッシー    日付：1月9日(木) 22時10分
そうですね。ａ＝３は、その値だけがダメで、その前後はＯＫなので、
ａ＜－２√２　または　ａ＞２√２　ただし　ａ≠３
と書くか
ａ＜－２√２　または　２√２＜ａ＜３　または　３＜ａ
と書くかです。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5190．Re: やり方がわからなくて困ってます！！！
名前：さゆ(高2)    日付：1月9日(木) 22時13分
そっかぁぁぁ！！！あ～すっごいすっきりしました♪♪a=3の時だけがx=1になるからこれだけをはずせばよかったんですね☆やっと問題から答えまでの意味がわかりました♪♪ホントありがとうございした☆☆☆

5172．高２です。気になることなんですが・・・  
名前：ムック    日付：1月9日(木) 17時32分
放物線ax^2+bx+cと直線で囲まれる面積の問題なんですが。その放物線と直線の二つの接点のX軸ををα、βとした時、その面積がどうして
lal/6（βｰα）^3
になるのか教えてください。


5173．この証明ですか？
名前：中川　幸一    日付：1月9日(木) 18時31分
2次方程式 ax2+bx+c=0 が異なる実数解α, β (α＜β)をもつとき
∫[β＜x＜α]_(ax2+bx+c)dx=a∫[β＜x＜α]_(x-α)(x-β)dx=-a (β-α)3

【証明】
(x-α)(x-β)=(x-α){(x-α)-(β-α)}=(x-α)2-(β-α)(x-α) より
a∫[β＜x＜α]_(x-α)(x-β)dx=a∫[β＜x＜α]_{(x-α)2-(β-α)(x-α)}dx=a{(1/3)(β-α)3-(1/2)(β-α)3}=-a (β-α)3
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5174．Re: 高２です。気になることなんですが・・・
名前：ヨッシー    日付：1月9日(木) 18時43分
放物線と直線と書いてあるので、厳密には、
　y=ax^2+bx+c という放物線と y=dx+e という直線があって、
その差を取った、
　y=ax^2+(b-d)x+(c-e) と ｘ軸とで囲まれた部分なのですが、
b-d → b, c-e → c と置き直せば中川さんの証明に帰着できますね。
結局、x^2 の係数と、２つの解で決まります。

６で割るのが抜けてますが、元々の公式が示されているので、誤解はないでしょう。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5175．あちゃ～
名前：中川　幸一    日付：1月9日(木) 18時48分
1/6を忘れてしまった!!

でも2本の接線と囲まれた面積なら1/12ですよね？
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5165．空間の分割  
名前：まるさ    日付：1月9日(木) 1時40分
はじめまして。
数学苦手なのに大学の数学をとってしまって困っています。
平面に直線をn本引くといくつの平面に分けられるのかという問題から、
それが空間を平面で分割するものに発展されてしまいました。
平面の場合は階差や漸化式を使って表せるということは理解できましたが、
空間になると頭が混乱してしまいます。
分かりやすい考え方ってありますか？


5167．Re: 空間の分割
名前：ヨッシー    日付：1月9日(木) 9時12分
えーと。
「算数にチャレンジ」という本があるのですが、その中にそういう問題があります。
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5184．Re: 空間の分割
名前：ヨッシー    日付：1月9日(木) 21時20分
こちらのページにある、第９０問の解説をご覧下さい。
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5218．Re: 空間の分割
名前：まるさ    日付：1月10日(金) 10時41分
ありがとうございます。
おかげさまで理解できました。

5152．教えてください　高３です　内容は大学１年です  
名前：かず    日付：1月8日(水) 1時58分
次の等式を示せ

（１）・・・　2arcsin(x)=arcsin（2x）√(1-x^2)

（２）・・・arcsinh(x)＋arcsin(y)
　　　　　　　　　　　=arcsinh{x√(y^2＋1)＋y√(x^2＋1)｝


5154．Re: 教えてください　高３です　内容は大学１年です
名前：中川　幸一    日付：1月8日(水) 3時56分
(2)は成り立ちますが, (1)は成り立たないと思います。
証明は後ほど…。
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5155．Re: 教えてください　高３です　内容は大学１年です
名前：中川　幸一    日付：1月8日(水) 4時3分
今気付いたのですが、(2)は
arcsinh x + arcsinh y = arcsinh (x√(1+y2)+y√(1+x2))
の間違えですよね？
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5158．Re: 教えてください　高３です　内容は大学１年です
名前：かず    日付：1月8日(水) 11時4分
中川さんと僕の問題に違いがあるんですか？！僕には同じに見えるんですけど・・・・　教えてください。m(__)m

5159．Re: 教えてください　高３です　内容は大学１年です
名前：ヨッシー    日付：1月8日(水) 11時10分
(1) は A=2arcsin(x), B=arcsin（2x）√(1-x^2)
とおいて、A=B を間接的に示します。
どうしたら、必要十分が言えるかがちょっと注意が必要かも。

(2) は X=arcsinh(x), Y=arcsinh(y), Z=arcsinh{x√(y^2＋1)＋y√(x^2＋1)｝
とおいて、sinhZ = sinh(X+Y) を示し、sinh の単調性から X+Y=Z を示します。
途中で使う公式は、cosh2x-sinh2x=1 と
sinh(α＋β)=sinhαcoshα＋coshαsinhβ です。

なお、ご存知と思いますが、
　cosh(x)=(ｅx+ｅ-x)/2
　sinh(x)=(ｅx-ｅ-x)/2
です。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5160．Re: 教えてください　高３です　内容は大学１年です
名前：ヨッシー    日付：1月8日(水) 11時15分
行き違いになりましたが、
　y の前の h があるかないかの違いです。

ちなみに、(1) の方は、
　2arcsin(x)=arcsin{(2x)√(1-x^2)}
と書けば、誤解なく伝わるでしょう。
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5162．Re: 教えてください　高３です　内容は大学１年です
名前：かず    日付：1月8日(水) 17時45分
arcsinh x + arcsinh y = arcsinh (x√(1+y2)+y√(1+x2))
でした。すみません！！！

5163．ヨッシーさんへ
名前：かず    日付：1月8日(水) 21時32分
（１）は解けたんですが（２）が解けません　途中の式もおしえていただけますか？？

5166．Re: 教えてください　高３です　内容は大学１年です
名前：ヨッシー    日付：1月9日(木) 9時5分
　X=arcsinh(x), Y=arcsinh(y), Z=arcsinh{x√(y^2＋1)＋y√(x^2＋1)｝
とおくと
　x=sinh(X), y=sinh(Y), x√(y^2＋1)＋y√(x^2＋1)=sinh(Z)
cosh2x-sinh2x=1 および cosh(x)＞0 より
　x√(y^2＋1)＋y√(x^2＋1)=sinh(X)cosh(Y)+sinh(Y)cosh(X)
　　=sinh(X+Y)
よって、sinh(X+Y)=sinh(Z) および sinh関数の単調性より
　X+Y=Z
　arcsinh(x)+arcsinh(y)=arcsinh{x√(y^2＋1)＋y√(x^2＋1)｝
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5168．Re: 教えてください　高３です　内容は大学１年です
名前：かず    日付：1月9日(木) 12時51分
返信遅れてすみません。
　またまた、質問なんですけど『sinh関数の単調性より』の
　単調性ってどーゆうことをさすんですか？？

5169．Re: 教えてください　高３です　内容は大学１年です
名前：ヨッシー    日付：1月9日(木) 13時24分
この場合は単調増加するということです。

sinh(x)=(ex-e-x)/2 なので、これをｘで微分すると、
(sinh(x))' = (ex+e-x)/2 ＞0
なので、sinh(x) は定義域すべてにおいて単調増加します。
つまり、ｘ と sinh(x) が１対１対応します。
だから、sinh(X+Y)=sinh(Z) からただちに X+Y=Z が言えるのです。
sin などでは、こうはいきませんね。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5171．ヨッシーさんへ
名前：かず    日付：1月9日(木) 15時58分
よーーーーーく分かりました！！！！！
ありがとうございます＾＾

5143．(untitled)  
名前：さゆ(高2)    日付：1月7日(火) 17時36分
また、やり方を教えてほしいのですが。。。

xについての2次方程式　x^2+4kx+5k-1=0　の2つの解がともに-2より大きくなるように、定数kの値の範囲を定めよ。

。。。は、まず何をやればいいんですか？？？


5145．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：1月7日(火) 17時59分
まず、グラフをイメージしましょう。
－２より大きい位置で、ｘ軸と２回交わる下に凸の放物線です。
条件を満たさないのも、いくつか描きましょう。
－２をはさんで、大小２つの解があるもの。
両方、－２より小さいもの。
ｘ軸と交わらないもの。などなど。
その中で、条件を満たすグラフはどんな特徴があるでしょうか？

ポイントは、判別式。軸。境界（この場合はｘ＝－２）での左辺の正負、です。

解の公式で無理矢理解いて、「小さい方の解が－２より大きい」
で解く方法もあるにはあります。判別式も忘れずに。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5134．三角形の五心  
名前：えそ    日付：1月7日(火) 16時23分
はじめまして。
いきなりですみませんが、大学のレポートで困っています。
いくつか自力で解決しましたが、２残ってしまいました。
１つは「鋭角三角形ＡＢＣの垂心Ｈ，重心Ｇ，外心Ｏが１直線上にある」
ことの証明で、もうひとつは
「鋭角三角形ＡＢＣの垂心Ｈが垂足三角形ＰＱＲの内心と一致し、
さらに三角形ＡＢＣ各頂点は三角形ＰＱＲの傍心と一致する」
ことの証明です。
大学生のくせに質問して申し訳ないのですが、
どなたかよろしくお願いします。


5144．Re: 三角形の五心
名前：ヨッシー    日付：1月7日(火) 17時49分
とりあえず、最初の方。

例えば、３点の座標を、(0,0),(2,0),(2a,2b) ただし b＞0 としても、一般性を失いません。
このとき、Ｈ(2a, (2a-2a2)/b), Ｏ(1, (a2-a+b2)/b), Ｇ((2a+2)/3, 2b/3)
となり、ＯＨ＝３ＯＧ が導けます。（太字はベクトル）

鋭角三角形に限らず成り立つので、鋭角三角形でも当然成り立ちます。

幾何的な解法もあるかも知れません。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5153．外心, 重心, 垂心の関係
名前：中川　幸一    日付：1月8日(水) 3時37分
△ABCの外心をO, 重心をG, 垂心をH, BCの中点をMとすると
(1) AH=2OM
(2) O, G, Hは一直線上にあって OG:GH=1:2

【証明】
(1)
外接円の直径CODをひくと４角形AHBDは平行４辺形(∵ DB⊥BC, AH⊥BC より DB//AH, 同様に DA//BH)
∴ AH=DB=2OM (中点連結定理)
(2)
OHとAMとの交点をGとすると AG:GM=AH:OM=2:1 → Gは重心。
ゆえに, O, G, Hは１直線上にあり OG:GH=OM:AH=1:2
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5156．Re: 三角形の五心
名前：えそ    日付：1月8日(水) 9時12分
ヨッシーさん、中川さん、ありがとうございます。
非常に簡単にできるのですね。
残りの問題はがんばってやってみます。
でも、見当もつかないので
もし解けたのなら教えていただけるとありがたいです。

5187．Hが△PQRの内心であることの証明
名前：repunit    日付：1月9日(木) 21時50分
(1) ∠ABQ=∠ACR を示せ。
(2) ∠ABQ=∠APQ を示せ。

5132．-解析学-  
名前：某大1回生    日付：1月7日(火) 15時47分
１日にして遥か下にいってしまったので再掲します。
期末試験に向けて勉強しているのですが、次の問題がわかりません。
問題解決の糸口さえつかめません。どなたかご教授お願いします。

問
∑[2→∞]1/n(logn)pは p＞1のとき収束，p≦1のとき発散することを証明せよ．


5137．Re: -解析学-
名前：某大1回生    日付：1月7日(火) 16時45分
解決しました。ありがとうございました。

5119．(untitled)  
名前：Toshi    日付：1月7日(火) 12時8分
takaさん、前回はありがとうございました。

それとこの問題もいいでしょうか？毎回すいません…
--------------------
三角形ABCにおいて次の不等式が成り立つことを証明しなさい。
sinA+sinB+sinC≦sin(A+B/2)+sin(B+C/2)+sin(C+A/2)
また等号が成立するときの条件も答えなさい。
--------------------
--------------------
x+y+1=0と放物線y=x2上の点Pとの最短距離を与える点Pの座標とその距離を求めなさい。
--------------------
です。よろしくお願いします。


5127．Re: (untitled)
名前：はなみずき    日付：1月7日(火) 15時13分
Original Size: 426 x 402, 27KB

x+y+1=0　の傾きは　－１だから、　ｙ＝ｘ2　上における点で
接線の傾きが　－1となる点を求める。
この点（1/2,1/4）と直線x+y+1=0の距離を求める。
（つまり　直線x+y+1=0と上で求めた接線との距離になる。）

ところで、1つ目の　A+B/2　は　(A+B)/2　ではなく　A+（B/2）の意味ですね？


5147．Re: (untitled)
名前：Toshi    日付：1月7日(火) 20時40分
はなみずき　さん、図つきの解説ありがとうございました！

それと、(A+B/2)というのは、1/2×(A+B)ということです。。。
こういうことでよろしくお願いします。。。

5150．Re: (untitled)
名前：はなみずき    日付：1月7日(火) 22時40分
左辺＝sinA+sinB+sinC＝{(sinA+sinB)+(sinB+sinC)+(sinC+sinA)}/2
と変形する。ところで、
sinA+sinB＝2sin(A+B)/2×cos(A-B)/2≦2sin(A+B)/2
である。以下同様に、sinB+sinC、sinC+sinA　を考えて代入する。

5183．Re: (untitled)
名前：Toshi    日付：1月9日(木) 20時59分
はなみずき　さん遅れてすいません！
ありがとうございました。とてもよくわかりました！

5118．何度も聞いてごめんなさい。でも、教えてほしい‥  
名前：melonpan    日付：1月7日(火) 12時0分
a,bを整数とする。次の各問いに答えよ。
(1)a⁴を5で割ったときの余りを求めよ。
(2)a⁴＋b⁴が5の倍数ならばa,bはともに5の倍数であることを証明せよ。
(3)a⁴＋2a²b²＋3b⁴が5の倍数ならば、a,bはともに5の倍数であることを証明せよ。
　　ヨッシーさんのアドバイスで(1)は解くことができたのですが、証明が大の苦手の私では、(2),(3)を解くことが出来ません。もう少し詳しく教えてください。おねがいします。


5121．Re: 何度も聞いてごめんなさい。でも、教えてほしい‥
名前：ヨッシー    日付：1月7日(火) 13時0分
(2) ａが５で割り切れず、ｂが５で割り切れるとき、
　ａ4、ｂ4を５で割ったあまりはそれぞれ１，０　であるので、
　ａ4＋ｂ4 を５で割ったあまりは　１＋０＝１
　ａが５で割り切れ、ｂが５で割り切れないとき、
　　・・・・（中略）
　よって、ａ4＋ｂ4 が５の倍数であるならば、
　ａ，ｂ ともに５の倍数である。

(3) は、いっそ表を書いてはどうでしょう？
　縦にａを５で割ったあまり、０，１，２，３，４
　横にｂを５で割ったあまり、０，１，２，３，４
として、５×５の表を作り、ａ4＋２ａ22＋３ｂ4 を５で割ったときのあまりを
書き込んで、(０，０) のところだけあまりが０になるという感じで。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5117．毎回すみません★  
名前：さゆ（高２）    日付：1月7日(火) 11時40分
ｘ^4－３ｘ^3＋２ｘ^2＋２ｘ－４＝０

なんですが、どうやったらいいのかわかりません★誰か教えてください！！


5122．Re: 毎回すみません★
名前：中川　幸一    日付：1月7日(火) 13時54分
この問題は何をやればいいのですか？
この方程式の解を知りたいのですか？
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5123．Re: 毎回すみません★
名前：さゆ（高２）    日付：1月7日(火) 14時13分
この方程式を解け！という問題です☆自分でやってみたので見てください！！

ｆ(-1)=1+3+2-2-4=0になったので(x+1)を因数として割り算をしたら、

(x+1)(x^3-4x^2+6x-4)=0

になったので、

x+1=0 x^3-4x^2+6x-4=0
x=-1 (x-2)(x^2-2x+2)=0
x=2 x=1±i

だから　x=-1,2,1±i

。。。というふうになりました☆あってるか見てください！！もし間違ってるところがあったら教えてください☆☆☆お願いします！！

5124．Re: 毎回すみません★
名前：中川　幸一    日付：1月7日(火) 14時16分
f(x)=x4-3x3+2x2+2x-4 とおくと
f(-1)=0
f(2)=0
より
x4-3x3+2x2+2x-4=(x+1)(x-2)(x2-2x+2)
と因数分解できる。
x2-2x+2=0 iff x=1± i
も含めて考えると、
x4-3x3+2x2+2x-4=0
iff
x=-1, 2, 1± i
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5125．グラフも作ってみました。
名前：中川　幸一    日付：1月7日(火) 14時20分
Original Size: 668 x 668, 47KB

参考程度にどうぞ。

y=x4-3x3+2x2+2x-4
のグラフです。
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs


5126．Re: 毎回すみません★
名前：さゆ（高２）    日付：1月7日(火) 14時34分
ホント毎回毎回、丁寧に説明してくださってすごく助かっています☆

これと似た問題なんですが、すごい数になってしまって自信がないので教えてください！！！

(x^2-6x+7)(x^2-6x+6)=2

という問題で、最初に展開するんですか？？？

5128．Re: 毎回すみません★
名前：はなみずき    日付：1月7日(火) 15時17分
x^2-6x＝Aとおいて、展開してみましょう。

5129．Re: 毎回すみません★
名前：さゆ（高２）    日付：1月7日(火) 15時33分
はなみずきさん！ありがとうございます☆

やってみたら。。。(x-1)(x^3-11x^2+38x-40)=0　となったんですが、この先の３乗の因数分解がどーやるのかわすれてしまったので、教えてください！！！

5131．Re: 毎回すみません★
名前：はなみずき    日付：1月7日(火) 15時45分
あれっ！　もっと簡単に因数分解できますよ♪
（Ａ＋７)(Ａ＋６）＝２より　Ａ2＋１３Ａ＋４０＝０
これを因数分解すると、（Ａ＋８)(Ａ＋５)＝０
元に戻すと、（ｘ2－６x＋８)（ｘ2－６x＋５)＝０
それぞれをもっと因数分解できるでしょう？

≪ポイント≫　なるべく展開しないようにしよう♪（つまりＡのうちに因数分解してしまう）

5133．Re: 毎回すみません★
名前：さゆ（高２）    日付：1月7日(火) 15時55分
ぇえ～～～？！すごいぃ(>_<)!!!すっごく簡単にできましたぁ♪♪割り算しなくて出ますよね？♪答えはx=1,2,4,5　であってますか？？？♪

5135．Re: 毎回すみません★
名前：はなみずき    日付：1月7日(火) 16時31分
(*^-^*)//""パチパチ

なお、方程式の解は、元の式に代入して自分で検算できるよね♪

5136．Re: 毎回すみません★
名前：さゆ（高２）    日付：1月7日(火) 16時43分
ホントのホントにあいがとうございました（*>_<*）！！！はいっ♪♪ちゃんと検算もしました☆☆☆

あのぉ。。。もうひとつ聞いていいですか？？？

Ｄ＝(y-1)^2+4(6y^2-7y+k)がyについての1次式の平方になるように、定数kの値を定めよ。という問題なんですが、意味わからなくって。。。(泣）

5138．Re: 毎回すみません★
名前：中川　幸一    日付：1月7日(火) 16時50分
平方完成を考えて見ましょう！
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5139．Re: 毎回すみません★
名前：さゆ（高２）    日付：1月7日(火) 17時4分
解いたら　(5y-3)^2-8+4k　になって、kが２になったんですけどどうですか？？？

5140．Re: 毎回すみません★
名前：中川　幸一    日付：1月7日(火) 17時12分
正解！
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5141．Re: 毎回すみません★
名前：さゆ(高2)    日付：1月7日(火) 17時21分
♪♪ありがとうございましたぁ(*>_<*)☆

また、やり方を教えてほしいのですが。。。

xについての2次方程式　x^2+4kx+5k-1=0　の2つの解がともに-2より大きくなるように、定数kの値の範囲を定めよ。

。。。は、まず何をやればいいんですか？？？

5142．Re: 毎回すみません★
名前：ヨッシー    日付：1月7日(火) 17時27分
中川さんの言われるように、平方完成が正統派とすれば、
ちょっといちびったのが、判別式＝０　という方法でしょう。
展開して、２５ｙ2－３０ｙ＋４ｋ＋１
判別式＝１５2－２５(４ｋ＋１)＝２００－１００ｋ＝０
より　ｋ＝２　です。

どちらが解きよいかは、人それぞれ。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5113．(untitled)  
名前：ｍｉｙｕｋｉ    日付：1月7日(火) 8時36分
ｔについての実数条件を考える。
このとき、ｔについてのある２次方程式の判別式がD≧０になるのは何故
ですか？ｔはｔ＞０です。


5115．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：1月7日(火) 10時38分
ｔについての２次方程式
　ａｔ2＋ｂｔ＋ｃ＝０　(ａ≠０)
が実数解を持つ条件は、Ｄ＝ｂ2－４ａｃ に対して
Ｄ≧０ であることであるが、これは何故か？
ということでしょうか？

まぁ、それを判別するから判別式というんですが、
こちらのページの２次方程式の解の公式をよく見れば、自ずとわかるでしょう。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5157．Re: (untitled)
名前：ｍｉｙｕｋｉ    日付：1月8日(水) 9時54分
ありがとうございました

5108．整級数展開のお話です。  
名前：白鳥    日付：1月7日(火) 2時52分
大学生の範囲なのですが、本当に切羽詰ったので投稿しました、
出来れば解答までお願いしたいのですが・・・

次の函数の０を中心とする、整級数展開をx^4の項まで求めよ。
(1) 1/cosx
(2) (1+x)^1/x
です、わけわかめです。


5109．Re: 整級数展開のお話です。
名前：中川　幸一    日付：1月7日(火) 3時15分
Taylor展開すればいいのですか？

1/cos x = 1 + 1/2 x2 + 5/24 x 4 + ……
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5111．Re: 整級数展開のお話です。
名前：中川　幸一    日付：1月7日(火) 3時42分
(1+nx)1/n=1+x+(1/2)(1/n-1)nx2+(1/6)(1/n-1)(1/n-2)n2x3+(1/24)(1/n-1)(1/n-2)(1/n-3)n3x4+……
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5164．Re: 整級数展開のお話です。
名前：白鳥    日付：1月8日(水) 22時1分
ん～と・・・出来れば、途中経過を教えていただけないでしょうか？

5170．Re: 整級数展開のお話です。
名前：ヨッシー    日付：1月9日(木) 14時14分
1/cosx の場合を少し．．．

f(x) = 1/cosx = ａ0＋ａ1ｘ＋ａ2ｘ2＋ａ3ｘ3＋・・・
と書けたとします。
f(0) = 1/1 = ａ0 より ａ0 = 1
f'(x) = sinx/cos2x = ａ1＋2ａ2ｘ＋3ａ3ｘ2＋・・・
f'(0) = 0 = ａ1 より ａ1 = 0
これを繰り返せば、ａ2, ａ3 ・・・が求められます。
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5101．三角比と三角関数  
名前：けん    日付：1月7日(火) 2時27分
高校3年です。

ちょっと思ったのですが、数１の"三角比"と数２の"三角関数"の
違いってなんなのでしょうか？三角関数は文字通り「関数として扱う」
機会が多くなる(!?)と言うのかもしれんませんが、イマイチわかりません。

あと、この分野の実用(応用)例ってどういったものがあるんでしょうか？
最近、モチベーションが上がらなくて参ってます(泣)


5114．Re: 三角比と三角関数
名前：田中    日付：1月7日(火) 9時15分
実に、根元的な質問で私にも答えにくいところですが、わたしの経験の範囲で申し上げるなら、三角関数は、建築や製造業設計や電子機器の工学、通信周波数、などの　工学、基礎数学に使われています。フーリエ解析など、多くの数値解析には欠かせないものです。ただし、ここを人の手で数表を見ながらするというのは、おそろしく非合理的なもので、やる気は失せるでしょう。ここは、理論は習い、数値は、計算機を併用するというほうが、やる気はでてきます。パソコン授業などあれば楽しくなります。
　その最もわかりやすい例は、「座標の回転」でしよう。この計算式などは、有名なはずです。これを利用して、現在すばらしい発展をとげている「ＣＧ　コンピュータグラフィクス」は成り立っています。映像の点や線分、面を　少しずつ角度を変化させたらどのように移動するかを、時々刻々計算させて表示しているわけです。三角関数なしには、皆さんの好きな　いまの楽しい映画のＣＧ、楽しい数々のゲームの見事な動きは、あり得ないのです。詳しくは、レイトレーシング　という作業なのです。ただし、けっこう計算量が多いので、普通のコンピュータでは、苦労します。したがって高性能の超スピードのスーパーコンピュータの登場となります。現在の世界一のスーパーコンピュータは、日本の「地球シミュレータ」という、バケモノです。そのサイトもありますから、探してみると面白いですよ。

5099．はじめまして☆  
名前：ミルフィーユ    日付：1月7日(火) 2時4分
座標平面上でOを原点とし、2点A（1,3）、B(2,7）のx軸に関する対称点をそれぞれC,Dとする。任意の点P（x、y）の位置ベクトル→OP=α→OA+β→OB……①とすることができる。

（1）→OCと→ODをそれぞれ①の形に表せ。
（2）点Pが線分AB上にあるとき、αとβが満たす条件を求めよ。
（3）点Pが線分CD上にあるとき、αとβが満たす条件を求めよ。
(4)点Pが三角形OCDの内部あるいは周上にあるとき、αとβが満たす条件を求めよ。

という問題です。でも、ベクトルが苦手なのでどうといたらさっぱりです。どうぞよろしくお願いします。


5130．Re: はじめまして☆
名前：はなみずき    日付：1月7日(火) 15時39分
（１）
→OC=α→OA+β→OB
（1,－3）＝α（1,3)＋β(2,7）より
１＝α＋2β,－3＝3α＋7β
この連立方程式を解く。
→ODも同様にして考える。

（２）α＋β＝1（α≧0,β≧0）


（３）（２）と同様に　→OP＝γ（1,－３)＋δ(2,－7）でγ＋δ＝１（γ≧O,δ≧0）
これに（１）で求めたα,β（実際の数字）で（1,－3）＝α（1,3)＋β(2,7）や(2,－7）＝・・・を代入しよう。

（４）（３）と同様に考えるが　γ＋δ≦１（γ≧O,δ≧0）

5151．Re: はじめまして☆
名前：ミルフィーユ    日付：1月8日(水) 0時28分
はなみずきさん初めまして。教えてくださってありがとうございました。とってもとっても役立ちました。これからもよろしくお願いします。

5097．申し訳ない　５０９４番投稿　スペースが消えていました  
名前：田中    日付：1月7日(火) 1時59分
すいません、エクセルのシートからコピーしてのせたので、スペースがぬけて張り付いてしまいました。数字部分　再掲載します。

Ａ　　　　Ｂ　　　　Ｃ
387　　74884　　　74885
389　　75660　　　75661
391　　120　　　　　409
391　　76440　　　76441
393　　8576　　　　8585
393　　77224　　　77225
395　　3108　　　　3133
395　　78012　　　78013
397　　78804　　　78805
399　　40　　　　　401
399　　1600　　　　1649
399　　8840　　　　8849
399　　79600　　　79601

5094．ＫＤＤさんにプレゼント  
名前：田中    日付：1月7日(火) 1時49分
何時間も考えたＫＤＤさんにプレゼント
ユーモアのある友人さんに、問題を出そう。

　次の数字の関係はなんでしょう。387　と　74884　と　74885　の３者の関係のことです。

Ａ　　　　Ｂ　　　　Ｃ
3877488474885
3897566075661
391120409
3917644076441
39385768585
3937722477225
39531083133
3957801278013
3977880478805
39940401
39916001649
39988408849
3997960079601

もう、ばればれかもしれませんが、そこは、ユーモアで。　電卓は使ったらだめだよーって　言ってから出題をしましょう。巧みな方法でこの組み合わせは無限につくれます。ただし、倍数を除くには、互助法を使った工夫が必要です。
みんなは、すぐにわかったでしょう。

5085．また教えてください・・。  
名前：まゆこ    日付：1月7日(火) 1時9分
y=ax^2・・①、y=-x^2・・②とおく、放物線①は点Ａ（-1 2）を、
放物線②は点Ｂ（-2 -4）を通る。また、放物線①上に点Ｄ、
放物線②に点Ｃをとる。
(3)を教えてください。
一応前の二問はこうなってます。
(1)定数aの値をもとめよ。答え1/3
(2)Ｃ，Ｄのx座標が1のとき、四角形ＡＢＣＤの面積をもとめよ。　答え21/2
(3)四角形ＡＢＣＤは平行四辺形になりそうか、そのときはＣのx座標を求めよ。なりえないときは「不可能」と答えよ。
です。お願いします。　


5093．Re: また教えてください・・。
名前：中川　幸一    日付：1月7日(火) 1時44分
点Aは(1)の放物線を通りませんよ！

y=(1/3)x2 の x に -1 を代入すると y=1/3 となり 2 にはなりません。
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5146．Re: また教えてください・・。
名前：まゆこ    日付：1月7日(火) 18時29分
すいません・・。間違えました。（１）の答え２でした。

5161．Re: また教えてください・・。
名前：高橋　道広    日付：1月8日(水) 15時17分
学年がわからないのですが高校生でベクトルをやっていると
イメージがわかりますが...
BからAへ移動するとX座標が1、Y座標が6増えます。
CからDへの移動も同じであるとABとDCが平行で長さが等しいので
四角形ABCDは平行四辺形になります。
そこでC(k、-k＾2)とするとＤ(ｋ+1、-ｋ＾2+6)が①の図形上にあるといいので、
-ｋ＾2+6=2(ｋ＋１）＾２　から
3ｋ＾2+4ｋ-4=0
(ｋ+2)(3ｋ-2)=0
K=-2,2/3
ＣはBと一致してはいけないのでk=2/3
これからC(2/3,-4/9)　D(5/3,50/9)となりました。

5076．質問で～す☆  
名前：KDD    日付：1月7日(火) 0時27分
数列についてなんですが、
ｎ
∑1／ｋ　　
ｋ＝１　をｎの式で表せ。
友人に出された問題なんですが、全然わかりません！どなか教えて下さ～い


5079．Re: 質問で～す☆
名前：中川　幸一    日付：1月7日(火) 0時35分
この公式は存在しません。
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5080．Re: 質問で～す☆
名前：田中    日付：1月7日(火) 0時49分
ユーモアのある友人さんですね。

でも、これには、わたしも思い出があります。Ｎ＝∝　で発散するのを習ったと思いますが、「・・・ほんとか？」とおもっていました。月日はたち、パソコンが手入ったとき、これをやってみたのですが、確か、数値の丸め込みが関わって、正確に計算するのは難しいということで・・・

これが、せいぜい３０を超えるのも莫大な項数なのに、なんで∞になるのか、なかなか実感できませんでした。

だれか、正確にした人いませんか？　

5081．Re: 質問で～す☆
名前：KDD    日付：1月7日(火) 0時59分
N＝∝で発散？
えと、それは高1で習うのでしょうか？
でも、結局は友人に騙されたみたいですね。何時間もかけた自分がバカみたいだ…

5082．Re: 質問で～す☆
名前：中川　幸一    日付：1月7日(火) 1時0分
オイラーの定数 EulerGammaはγ=lim[n→∞]((Σ[k=1 to n]_1/k)-log n)の極限として与えられる．さまざまな積分や漸近式に使われる．オイラーの定数はオイラー・マスケロニ(Euler-Mascheroni)の定数とも呼ばれ， Cで記されることもある．

γ=0.5772156649015328606065120900824024310422
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5088．Re: 質問で～す☆
名前：田中    日付：1月7日(火) 1時23分
無限級数が収束する条件は

ａ１＋ａ２＋ａ３＋・・・・＋ａｎ・・・で

その項がだんだん小さくなること　　かつ

ｎ⇒∞で　ｌｉｍ　ｎ・ａｎ＝０　　

問題の項では、ｌｉｍ　ｎ・（１／ｎ）＝１

なので、　０　ではないので、発散することになります。

5064．あってるか見てください☆  
名前：さゆ    日付：1月6日(月) 23時56分
2次方程式ｘ^2－２(ｋ＋３)ｘ＋ｋ＋５＝０の2つの解がともに正であるように実数ｋの範囲を定めよ。

。。。という問題で、
α＋β＞０　　　　αβ＞０
２ｋ＋６＞０　　　ｋ＋５＞０
ｋ＞－３　　　　　ｋ＞－５

だから、答えがｋ＞－３になったんですが、どうでしょう？？


5066．Re: あってるか見てください☆
名前：はなみずき    日付：1月7日(火) 0時6分
まず、2つの解（実数解）が存在するための条件を求めましょう。

5068．Re: あってるか見てください☆
名前：さゆ    日付：1月7日(火) 0時10分
条件？？？…α＞０、β＞０のことですか？？？

5071．Re: あってるか見てください☆
名前：はなみずき    日付：1月7日(火) 0時14分
たとえば、ｋ＝－２はｋ＞－３　をみたしていますが、解を持ちません。

判別式を考えてみましょう。

5072．Re: あってるか見てください☆
名前：KDD    日付：1月7日(火) 0時15分
判別式を使わなければならないと思います。

5073．Re: あってるか見てください☆
名前：ＫＩＮ    日付：1月7日(火) 0時18分
α = 2 + i
β = 2 - i　（iは虚数単位）
としたらどうでしょう？
これもさゆさんが出した答えの条件にあてはまってしまいますよね。

ということで、
「2つの解がともに正」
とあるので、
もうひとつ条件
「この方程式が２実数解を持つ」
を吟味しないといけないですよね。
http://kin.kissweb.jp/

5074．２次方程式の解の符号
名前：中川　幸一    日付：1月7日(火) 0時19分
実数係数の２次方程式 ax2+bx+c=0 の解を α, β　とすると
(1) ２解とも正 iff D＞0, α+β＞0, αβ＞0 (D＞0, ab＜0, ac＞0)
(2) ２解とも負 iff D＞0, α+β＜0, αβ＞0 (D＞0, ab＞0, ac＞0)
(3) 正負の解　 iff αβ＜0 (ac＜0)

※ αβ＜0 → ac＜0 のときは, 当然 D = b2-4ac＞0 となる。
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5077．Re: あってるか見てください☆
名前：さゆ    日付：1月7日(火) 0時30分
もう一回やり直してみます☆でも、今頭が混乱しているので、わかりやすくもう少しヒントがあると助かります(>_<)!!!
高２の私にでもわかるようにお願いします☆

5083．Re: あってるか見てください☆
名前：さゆ    日付：1月7日(火) 1時2分
考えてみたけど、さっぱりわかりません(;_;)誰か教えてくださぁぁぁい！！！

5084．Re: あってるか見てください☆
名前：中川　幸一    日付：1月7日(火) 1時8分
5074
を参考に解いてみましたか？
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5086．Re: あってるか見てください☆
名前：さゆ    日付：1月7日(火) 1時13分
実数係数の２次方程式 ax2+bx+c=0 の解を α, β　とすると
(1) ２解とも正 D＞0, α+β＞0, αβ＞0 まではわかったんですが、このあとの⇒(D＞0, ab＜0, ac＞0)がなんでこうなるのかわからないので、教えてください☆(>_<)!!!何度もすみません★

5089．２次方程式の解と係数の関係
名前：中川　幸一    日付：1月7日(火) 1時28分
ax2+bx+c=0 (a≠0) の２つの解をα, βとすると
(ア)α+β= -b/a, αβ= c/a (α-β)2= D/a2 (D=b2-ac)
(イ)ax2+bx+c=a(x-α)(x-β) (因数分解への応用)
(ウ)解の累乗和
　・aα2+bα+c=0
　・aβ2+bβ+c=0
以上２式より　a(αn+2+βn+2)+b(αn+1+βn+1)+c(αn+βn)
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5090．Re: あってるか見てください☆
名前：さゆ    日付：1月7日(火) 1時33分
解の累乗和って何ですか？！

5091．解の累乗和について
名前：中川　幸一    日付：1月7日(火) 1時40分
これはあんまり実用性がないかもしれませんね。

２次方程式の解の累乗の和＝αm+β　m∈Z

ということです。

（ちょっと説明不足かも……。）
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5092．Re: あってるか見てください☆
名前：さゆ    日付：1月7日(火) 1時44分
難しいですねξ…Ｄ＞０とＤ＜０とＤ＝０を考えればいいんですか？？？

5095．２次方程式の判別式
名前：中川　幸一    日付：1月7日(火) 1時53分
実数係数の２次方程式ax2+bx+c=0 (a≠0) において, D=b2-4ac をその判別式という。
D＞0 iff 異なる２実数解　　（実数解条件はD＞0）
D＝0 iff 重複解（実数解）　（実数解条件はD＞0）
D＜0 iff 異なる２虚数解（共役な複素数）

注　　ax2+2b'x+c=0 では D/4 = b'2-ac を用いると良い。
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5096．Re: あってるか見てください☆
名前：さゆ    日付：1月7日(火) 1時58分
ホント、毎回すごく丁寧にありがとうございます☆それで、その判別式を３つ使ってｋを出せばいいんですか？？？

5098．Re: あってるか見てください☆
名前：中川　幸一    日付：1月7日(火) 2時0分
D＞0, ab＜0, ac＞0
の３つを考えます。
(何度もしつこいけど、5074参照)
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5100．Re: あってるか見てください☆
名前：さゆ    日付：1月7日(火) 2時22分
。。。ｋ＜－４，－１＜ｋ　ですか?!?!

5102．Re: あってるか見てください☆
名前：さゆ    日付：1月7日(火) 2時34分
。。。－５＜ｋ＜－４，１＜ｋですか？？？

5104．Re: あってるか見てください☆
名前：中川　幸一    日付：1月7日(火) 2時39分
D＞0 iff k＜-4, -1＜k
ab＜0 iff k＞-3
ac＞0 iff k＞-5

この３条件から得られた連立不等式を解くと？

PS今思ったのですが、『相異なる』という文章がないので重解も範囲に含むのですよね？
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5105．Re: あってるか見てください☆
名前：さゆ（高２）    日付：1月7日(火) 2時40分
ということはｋ＝－４，－１ですか？？？

5106．連立不等式
名前：中川　幸一    日付：1月7日(火) 2時46分
残念ながらこの答えは不正解です。

連立不等式というのを解いたことはありますか？


D＞0
and
ab＜0
and
ac＞0

iff

k＜-4 or -1＜k
and
k＞-3
and
k＞-5

すると答えは？
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5107．Re: あってるか見てください☆
名前：さゆ（高２）    日付：1月7日(火) 2時47分
わかりました！！－５＜ｋ≦ー４、－１≦ｋですか？？？

5110．Re: あってるか見てください☆
名前：中川　幸一    日付：1月7日(火) 3時19分
正解は　-1＜k　です。

一度教科書や問題集等で連立不等式の所を熟読することをおすすめします。
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5116．Re: あってるか見てください☆
名前：さゆ（高２）    日付：1月7日(火) 11時33分
昨日は遅くまであらいがとうございました☆もう一回前に戻ってやり直してみます！！

5061．また是非おしえてください  
名前：しんじ    日付：1月6日(月) 23時36分
ｖ１、ｖ２、…ｖｋをAの相違なる個有値λ１、λ２…、λｋに対する固有ベクトルとする。ｖ１、ｖ２、…ｖｋは線形独立であることをしめせ。
　というのなのですがｎ次元複素線形空間C＾ｎの線形変換をｆとしてｆ（ｘ）＝λｘをみたす０でないベクトルｘとスカラーλが存在するときλをｆの固有値ｘを固有値λに対するｆの固有ベクトルとする。と教科書にかいてあるのですがこれをどうやって線形独立に結びつけていけばいいのでしょうか？


5069．Re: また是非おしえてください
名前：ＫＩＮ    日付：1月7日(火) 0時10分
う～む、背理法かなぁ・・・。
一次従属であると仮定して矛盾を導けばいいかな。

ちなみにＡは一次変換のことだよね。

これは、誘導しながら説明するのむずいなぁ・・・。
答えをかくのは一応できるけど・・・。
http://kin.kissweb.jp/

5148．Re: また是非おしえてください
名前：ＫＩＮ    日付：1月7日(火) 22時3分
まぁ, これはがんばって理解してください.
一応答えを書いておきます. （あっているかは自信ないけど）

v_{1}, v_{2}, ... , v_{n}
をAの相異なる固有値λ_{1}, λ_{2}, ... , λ_{n}
に対応する固有ベクトルとする.

では, v_{1}, v_{2}, ... , v_{n}が線型従属であると仮定して
矛盾を導き出すことを目的とする.

ここで
v_{1}, v_{2}, ... , v_{i}は線型独立
v_{1}, v_{2}, ... , v_{i}, v_{i+1}は線型従属であるとする.
すると,
v_{i+1} = c_{1}v_{1} + c_{2}v_{2} + ... + c_{i}v_{i}　(*)
と書くことができる. さてここで, (*)の両辺にAを作用させると
(左辺) = A v_{i+1}
= λ_{i+1} v_{i+1}
(右辺) = A (c_{1}v_{1} + c_{2}v_{2} + ... + c_{i}v_{i})
= λ_{1}c_{1}v_{1} + ... + λ_{i}c_{i}v_{i}
となる. 左辺のv_{i+1}に(*)を代入すると
(左辺) = λ_{i+1}c_{1}v_{1} + ... + λ_{i+1}c_{i}v_{i}
となる.
さて, この左辺と右辺を比較すると表現の一意性から
λ_{1} = λ_{i+1} , λ_{2} = λ_{i+1} , ... , λ_{i} = λ_{i+1}
となる. これは最初の「相異なる固有値λ_{1}, λ_{2}, ... , λ_{n}」
に矛盾する. より, v_{1}, v_{2}, ... , v_{n}は線型独立である.

かなり丁寧に書いたつもりです. わからないところはなるべく自分で
調べることをオススメします. ちなみに学部はなんでしょう？
もし数学であれば, やはり, 自分でもう一度復習しましょう.
http://kin.kissweb.jp/

5149．Re: また是非おしえてください
名前：しんじ    日付：1月7日(火) 22時19分
ありがとうございました。これを参考に自分でも考えてみます、ちなみに自分は理工学部の電気科です。いろいろとほんとうにありがとうございました。

5056．中学生みたいな質問なんですが・・。  
名前：ｍｉｙｕｋｉ    日付：1月6日(月) 23時21分
ベクトルAB＝1/2(ベクトルa+ベクトルb)
ベクトルCD＝2/3(ベクトルa+ベクトルb)
このとき、ベクトルCDをベクトルABで表すには
どのような計算を？？
中学生に教える感じでお願いします・・（泣）


5070．Re: 中学生みたいな質問なんですが・・。
名前：はなみずき    日付：1月7日(火) 0時13分
ベクトルAB＝1/2(ベクトルa+ベクトルb)より　ベクトルa+ベクトルb＝2×ベクトルAB
これを　ベクトルCD＝2/3(ベクトルa+ベクトルb)に代入すると、
ベクトルCD＝2/3×2×ベクトルAB＝4/3×ベクトルAB

5112．Re: 中学生みたいな質問なんですが・・。
名前：ｍｉｙｕｋｉ    日付：1月7日(火) 8時35分
ありがとうございました。

5049．関数教えてください・・。（中３）  
名前：まゆこ    日付：1月6日(月) 23時4分
二次関数ｙ＝1/2x二乗上にそれぞれＸの座標が２，４である２点Ａ．Ｂをとり、二次関数y＝KX二乗上にそれぞれＸ座標が３，６である２点Ｃ、Ｄをとる。このとき直線ＡＢと直線ＣＤが平行になった。
（１）定数kを求めなさい。
(2)直線ＡＣと直線ＢＤの交点の座礁を求めよ。
(3)y軸上にＡＰ＝ＢＰ，ＣＱ＝ＤＱとなる２点Ｐ、Ｑをとるとき、線分ＰＡと線分ＱＣの比を求めなさい。
めんどくさいと思いますがどうか教えてください。。


5065．Re: 関数教えてください・・。（中３）
名前：はなみずき    日付：1月6日(月) 23時59分
（１）傾きが等しくなることを使う。
直線ＡＢの傾きを求めると３。
直線ＣＤの傾きを求めると９ｋ。
よって、９ｋ＝３より、ｋ＝１／３

（２）（１）より、A,B,C,Dの各座標が求まるから、
直線ＡＣと直線ＢＤの式をもとめ、連立方程式で解く。

（３）線分ＡＢの垂直二等分線の式と線分ＣＤの垂直二等分線の式を求め
その直線とｙ軸との交点の座標を求めて（つまり、その式にｘ＝０を代入する）
三平方の定理を用いて線分ＰＡと線分ＱＣの長さを求めても良いが、
本当は、線分ＡＢの中点のｘ座標と線分ＣＤの中点のｘ座標の比が答となる。
（図を書けば分かりますが、その垂直二等分線も平行になるから言えるのです）

～～～～～～～～～～～～～～～～
x二乗 　を　ｘ＾2と書きます。だから、
ｙ＝1/2x二乗　を　ｙ＝(1／2)x^2
y＝KX二乗上　を　y＝KX＾2　と書きます。（タグを使わない場合）

5078．Re: 関数教えてください・・。（中３）
名前：まゆこ    日付：1月7日(火) 0時34分
どうもありがとうございました！！！
今からやってみます！！
二乗ってそういうふうにあらわすんですね。
知りませんでした・・。
今度からつかいます！！

5044．またまたお願いします☆  
名前：さゆ    日付：1月6日(月) 22時30分
次の２つの方程式の一方が異なる２つの実数解をもち、他方が虚数解をもつような定数ａの範囲を求めよ。

ｘ^2－２ｘ＋ａ＝０
ｘ^2＋４ｘ－２ａ＝０

です！！よろしくお願いします☆


5045．Re: またまたお願いします☆
名前：中川　幸一    日付：1月6日(月) 22時51分
２次方程式の判別式は分かりますよね？
それを用いて解くだけでは？

この問題のどこで詰まっているのですか？
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5046．Re: またまたお願いします☆
名前：さゆ    日付：1月6日(月) 22時53分
一応さっき解いたんですが。。。ａ＜－２ですか？？自信なくって(>_<)

5047．Re: またまたお願いします☆
名前：ＫＩＮ    日付：1月6日(月) 23時0分
そういうときは、あなたが考えた解答を書いたほうがいいですよ。
そうすれば、どこで間違っているかがこちらもわかりますし
アドバイスがしやすくなります。
それに問題だけ書いてあると、悪い印象を与えますから・・・。

ということで、あなたが考えた解法をかきましょう。
http://kin.kissweb.jp/

5048．Re: またまたお願いします☆
名前：中川　幸一    日付：1月6日(月) 23時3分
一言だけ言っておくとａ＜－２ではないですよ！
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5051．Re: またまたお願いします☆
名前：さゆ    日付：1月6日(月) 23時9分
そ～なんですか？！では、書きます☆

ｘ^2－２ｘ＋ａ＝０　　　ｘ^2＋４ｘ－２ａ＝０
Ｄ＞０　　　　　　　 　Ｄ＜０
１－ａ＞０　　　　　　 ４＋２ａ＜０
ａ＜１　　　　　　　　 ａ＜－２

になったので、答えがａ＜－２になったんですが。。。あってますか？？

5052．Re: またまたお願いします☆
名前：中川　幸一    日付：1月6日(月) 23時16分
５０％正解。
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5054．Re: またまたお願いします☆
名前：中川　幸一    日付：1月6日(月) 23時20分
上の式を(1)
下の式を(2)

とすると、
(1)が異なる２つの実数解で, (2)が虚数解
と
(1)が虚数解で, (2)が異なる２つの実数解

の２通りを調べてみましょう。
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5055．Re: またまたお願いします☆
名前：ＫＩＮ    日付：1月6日(月) 23時20分
おしい！
問題をよく読みましょう。
"一方"が異なる２つの実数解をもち、"他方"が虚数解をもつ
とありますよね。
http://kin.kissweb.jp/

5057．Re: またまたお願いします☆
名前：さゆ    日付：1月6日(月) 23時21分
５０％ですか？！このあと何かまだ計算するんですか？？(>.<)??

5059．Re: またまたお願いします☆
名前：さゆ    日付：1月6日(月) 23時29分
!!!できましたーっ！！！ａ＜－２とａ＞１ですか？！

5062．Re: またまたお願いします☆
名前：中川　幸一    日付：1月6日(月) 23時39分
正解！
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5063．Re: またまたお願いします☆
名前：さゆ    日付：1月6日(月) 23時44分
やったぁぁぁっ！！！ホントわかりやすく説明してくださってありがとうございました♪♪♪今日、またわからないところが出てくると思いますが、またよろしくお願いします☆☆☆

5041．-解析学-  
名前：某大1回生    日付：1月6日(月) 22時4分
期末試験に向けて勉強しているのですが、次の問題がわかりません。
問題解決の糸口さえつかめません。どなたかご教授お願いします。

問
∑[2→∞]1/n(logn)pは p＞1のとき収束，p≦1のとき発散することを証明せよ．

5031．どなたか、お願いします  
名前：１５さい！！    日付：1月6日(月) 21時12分
３等円が１てんｍで交わるときのこりの３交点をあ・い・うとする
そのときあ・い・うを通る円も、同じ円であることを、証明せよ。
の証明をしてください


5037．Re: どなたか、お願いします
名前：知也    日付：1月6日(月) 21時36分
mからあ、い、うの長さが等しいことを証明すればいいんとちがう？

5039．Re: どなたか、お願いします
名前：１５さい！！    日付：1月6日(月) 21時47分
等円の半径をうまくつかい、平行四辺形を作って解くらしいんですけど・・・

5058．Re: どなたか、お願いします
名前：田中    日付：1月6日(月) 23時28分
ここの部屋は、学生の方も多いようですが、いきなり答えを書くのはよくないようで・・・
答えを導く手助けをいたしましょう。
まず、コンパスで、３円を描きましょう。そのとき、それぞれの、円の中心をｏ１　　ｏ２　　ｏ３　とすると、なるべくこの三角形ｏ１ｏ２ｏ３は、正三角形にならないような図をかきましょう。その方がわかりやすいです。

次に、問題である、「あいう」の３点をしるします。

三角形あいう　を　赤い線でかきましょう。

次に、三角形ｏ１ｏ２ｏ３を青い線でかきましょう。

最後に「６角形　あ　ｏ１　い　ｏ２　う　ｏ３」・・・上の６つの点を、隣同士つないでできた６角形です。これを　黒く濃くかきましょう。

すると、見えてきますよ。あなたの言っている「平行四辺形が」

一つ目の段階で、「菱形が多数みつかります」
その辺の平行性から、一つへだたったところの線分が平行なのが証明されます。

すると、

三角形あいう　と　三角形ｏ１ｏ２ｏ３　は、合同であることが証明できるはずです。
合同なのですから、外接円も同じ半径をもつ円となります。

まずは、きちんと、コンパスで正確な図を描くことが先決です。

がんばってください。

それでもだめなら、答え教えます。

5025．置換積分のお話です。  
名前：taichi    日付：1月6日(月) 20時27分
a
∫ √2ax-x^2 dx
0
の積分を、
x＝ttant →　dx=a/cos^2t dt
x 0→a
a 0→π/2

とおいて
π/2
∫a^2 √2tant -tan^2t・1/cos^2t dt
0

となってからの積分にてこずっています、
ここからさらに置換するのでしょうか？
解決策を教えていただけないでしょうか。
ちなみに答えは、π/4・a^2です。


5030．Re: 置換積分のお話です。
名前：知也    日付：1月6日(月) 21時10分
どこにカッコをつけていいのか？このままでは普通の積分だよ。√（２ax-x^2)ということなのか？

5033．Re: 置換積分のお話です。
名前：知也    日付：1月6日(月) 21時17分
√(2ax-x^2)=√{a^2-(x-a)^2}とおきx-a=asintとおく。そうすれば解答の1/4*a^2*πとなります。

5034．Re: 置換積分のお話です。
名前：知也    日付：1月6日(月) 21時19分
これは鉄則です。絶対に覚えましょう

5040．Re: 置換積分のお話です。
名前：知也    日付：1月6日(月) 21時49分
ついでにいっときますと∫√(a^2-x^2)dxタイプは x=asint と置換し∫1/(1+x^2)dxタイプがx=tantと置換する。

5022．何回もすみません★  
名前：さゆ    日付：1月6日(月) 19時24分
関数ｙ＝log2 ｘ＋log2(8-x)　について、次の問いに答えよ。

(1) xの値の範囲を求めよ。

(2) yの最大値を求めよ。

誰か､教えてください☆よろしくお願いします☆


5024．Re: 何回もすみません★
名前：taka    日付：1月6日(月) 20時6分
真数条件よりx>0,x-8>0より
0<x<8・・・（１）

y=log2x+log2(8-x)
=log2x(8-x)
ここでy=log2aはaが最大になればyが最大になる。
∴0<x<8におけるx(8-x)の最大値を求めればよい。

5026．Re: 何回もすみません★
名前：さゆ    日付：1月6日(月) 20時29分
ありがとうございます♪♪

でもそれを計算したら４±√15　になったんですがあってますか？！

5029．Re: 何回もすみません★
名前：知也    日付：1月6日(月) 21時7分
なんで最大値なのに±なの？最大値は４ではないの？

5038．Re: 何回もすみません★
名前：知也    日付：1月6日(月) 21時44分
x(8-x)=-(x-4)^2+16 つまりｘ＝４のときに最大値16をとるのでlog(2)16=4だと思うんですがなぜ４±√15なの？

5042．Re: 何回もすみません★
名前：さゆ    日付：1月6日(月) 22時22分
あっっっ！！なんか変な計算してたみたいです。ずっとわからなかったので、教えてくれてたすかりました♪ありがとうございました☆

5020．またわからないのがあったのでお願いします☆  
名前：さゆ    日付：1月6日(月) 18時51分
xyz≠0　のとき、２^x＝３^y＝１８^z　のとき、
1/x + 2/y＝1/z であることを示せ。

お願いします☆


5023．Re: またわからないのがあったのでお願いします☆
名前：taka    日付：1月6日(月) 19時49分
2x＝3y＝18z＝ｋとおくと、
log2k＝x
log3k＝y
log18k＝z
と書ける。
これを（左辺）＝～と（右辺）＝～という風に代入して、
logab＝logcb/logca
をうまく使い（左辺）＝（右辺）を導く。

5015．証明苦手なんで、教えてください☆  
名前：さゆ    日付：1月6日(月) 18時12分
関数　ｆ(x)＝ａ^x　において、次の不等式を証明せよ。

1/2{ｆ(p)+ｆ(q)}≧ｆ(p+q/2)

お願いします☆


5017．Re: 証明苦手なんで、教えてください☆
名前：ヨッシー    日付：1月6日(月) 18時23分
これはつまり、
　(ａｐ＋ａｑ)/２≧√(ａｐ・ａｑ)
を示せってことですよね？
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5018．Re: 証明苦手なんで、教えてください☆
名前：さゆ    日付：1月6日(月) 18時46分
あっっっ！！わかりましたっぁ！！ありがとうございました☆

5014．答えは。。。  
名前：さゆ    日付：1月6日(月) 17時13分
さっきの問題の答えなんですが、最大値が６で最小値が２ですか？！


5016．Re: 答えは。。。
名前：ヨッシー    日付：1月6日(月) 18時18分
正解です。
ただし、解答には、ｘ＝１０ のとき、とかも書きましょう。
(例)) ｘ＝１０のとき、最小値２

それから、関連する記事に返事を書くときは、この箱の右上の「返信」押してから
書いて下さると、記事がひとまとまりになって、読みやすくなります。

次から、そうしてくださいね。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5012．またわからないのがあったのでお願いします☆  
名前：さゆ    日付：1月6日(月) 16時6分
１≦ｘ≦１０００　のとき、次の関数の最大値と最小値を求めよ。

ｙ＝(log10 ｘ)^2－２log10 ｘ＋３


5013．Re: またわからないのがあったのでお願いします☆
名前：C-D    日付：1月6日(月) 16時20分
log10ｘ＝tと置いて考えてみましょう。
１≦ｘ≦１０００　のときのtの範囲を忘れずにチェックすること。

# 記事番号4990．の類題といえます。

5007．どうしてもわからなくて・・・  
名前：そら    日付：1月6日(月) 14時39分
初めてカキコさせていただきます。
sin20°sin40°sin80°の値を求めよという問題なのですが、どうしてもわからなくて・・・。教えてください！！


5019．Re: どうしてもわからなくて・・・
名前：ヨッシー    日付：1月6日(月) 18時49分
これは、たとえば
　sin15°＝(√６－√２)/４
のように、ぴったりした形で表されるものではありません。
近似値表か何かで、近似値を求める問題でしょうか？
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5032．Re: どうしてもわからなくて・・・
名前：そら    日付：1月6日(月) 21時14分
sinαsinβの公式の応用編の問題ということはわかるのですが・・・。
sinαsinαsinαという風になるとどうやって手をつけたらよいのかわからなくて・・・。

5067．Re: どうしてもわからなくて・・・
名前：田中    日付：1月7日(火) 0時7分
これは、sin20°sin40°sin80　この３つの積のことですか？
それとも、それぞれもとめるのですか？sin20°だけを・・・

たぶん、積のことだと思うのですが・・・

お知らせ下さい。

5075．Re: どうしてもわからなくて・・・
名前：田中    日付：1月7日(火) 0時24分
もし、積なら

求める式は＝（ｓｉｎ２０　sin４０　）ｓｉｎ８０

＝－１／２（ｃｏｓ６０－ｃｏｓ２０）ｓｉｎ８０

＝－１／２ｃｏｓ６０・ｓｉｎ８０＋１／２ｃｏｓ２０・ｓｉｎ８０

＝－１／４ｓｉｎ８０＋１／４（ｓｉｎ１００＋ｓｉｎ６０）

＝－１／４ｓｉｎ８０＋１／４ｓｉｎ１００＋１／４・√３／２

ここで　ｓｉｎ１００＝ｓｉｎ（１８０－８０）＝ｓｉｎ８０

なので、前２項は　消えて


＝√３／８

これが　答えです。

解答中　度の　゜　は　省略しました。あしからず。

5120．Re: どうしてもわからなくて・・・
名前：そら    日付：1月7日(火) 12時10分
どうもありがとうございましたっ！！
解いてみたらちゃんと同じ答えになりました^^

5003．解いてみたけど。。。  
名前：さゆ    日付：1月6日(月) 13時1分
私は高２です☆解いてみたけど自信がないので見てください！！

次の式を満たす最小の自然数nを求めよ。
ただし、log10 ２＝0.3010、log10 ３＝0.4771とする。

(1）1.5＾n＞100　　　　（答）n＜－４

(2) 0.4^n＜0.001 (答）n＞８

。。。であってますか？？


5005．Re: 解いてみたけど。。。
名前：ヨッシー    日付：1月6日(月) 14時35分
ちゃいます。
とりあえず、基本となる性質を書き並べてみます。

ａ＞１ のとき　ａx＞ｂ　←→　ｘ＞logaｂ＝log10ｂ/log10ａ
０＜ａ＜１　のとき　ａx＞ｂ　←→　ｘ＜logaｂ＝log10ｂ/log10ａ

log(ａ・ｂ)＝logａ＋logｂ
log(ａ／ｂ)＝logａ－logｂ
logaｂ＝logｂ/logａ
　log の 底は１以外の任意の正の数ですが、この場合は10と考えて差し支えありません。

たとえば、(1) では log1.5 が出てきますが、これは
　log1.5＝log(3/2)＝log３－log２
と変形できます。

あと最小と聞かれているのに　ｎ＜　の形になっていることや
自然数なのに－４となっているところは、疑ってかからなければなりません。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5006．Re: 解いてみたけど。。。
名前：ヨッシー    日付：1月6日(月) 14時37分
(2) は合ってます。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5008．Re: 解いてみたけど。。。
名前：さゆ    日付：1月6日(月) 15時3分
できたーーーっ！！！。。。12ですよね？！

5036．Re: 解いてみたけど。。。
名前：知也    日付：1月6日(月) 21時31分
そうっすね

5000．三角形の五心。。。  
名前：Ringo    日付：1月6日(月) 12時4分
初めまして。
今日は質問があるので、コノHPにやってきました。。

三角形の五心ってありますよね？？
その中でも、傍心＆重心＆垂心についての特徴等などを教えて下さい！
お願いします。


5001．Re: 三角形の五心。。。
名前：Ringo    日付：1月6日(月) 12時10分
｢使用上の注意｣を見て、ちょっと書き添えたいものがあります。。。

自分は中1の13歳です。

重心については。。。
・各中線は２：１に内分されている
・正三角形のとき、重心＆内心＆外心＆垂心は一致する

垂心については。。。
・正三角形のとき、重心＆内心＆外心＆垂心は一致する

ということは分かっています。（傍心については全く分かりません。)
では、お願いします。

5002．Re: 三角形の五心。。。
名前：中川　幸一    日付：1月6日(月) 12時56分
【重心】
３つの中線の交点。
重心 iff １つの中線を2:1に内分する点

【外心】
３辺の垂直２等分線の交点（外接円の中心）。
外心 iff ３頂点からの等距離の点

【垂心】
頂点から対辺へ下ろした３つの垂線の交点。
△ABCの頂点A, B, Cを通ってそれぞれ対辺に平行線をひいて△A'B'C'を作ると,
△ABCの垂心 iff △A'B'C'の外心

【内心】
３つの内角の２等分線の交点（内接円の中心）。
内心 iff ３角形内にあって３辺から等距離の点

【傍心】
１つの内角と２つの外角の２等分線の交点（傍接円の交点）。３個ある。

【正３角形の５心】
(1)正３角形の重心, 外心, 垂心, 内心は一致する。
(2)重心, 外心, 垂心, 内心のうち, どれか２つが一致する３角形は正３角形である。
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5004．Re: 三角形の五心。。。
名前：Ringo    日付：1月6日(月) 13時41分
Thank you!!!
有り難うございます。(･_･)(._.)ペコリ

。。。！？
傍心の説明のところの、傍接円の交点って所。。。
中心じゃないんですか？？

4998．教えてください。よろしくお願いします。  
名前：melonpan    日付：1月6日(月) 10時30分
a,bを整数とする。次の各問いに答えよ。
(1)a⁴を5で割ったときの余りを求めよ。
(2)a⁴＋b⁴が5の倍数ならばa,bはともに5倍数であることを証明せよ。
(3)a⁴＋2a²b²＋3b⁴が5の倍数ならばa,bはともに5の倍数であることを証明せよ。


4999．Re: 教えてください。よろしくお願いします。
名前：ヨッシー    日付：1月6日(月) 11時40分
(1)ａを５で割ったあまりが、０，１，２，３，４に分けて考えます。
つまり、整数ｎに対して、
　ａ＝５ｎ＋ｄ
で、ｄ＝０，１，２，３，４ の５通りで調べます。
答えは、ｄ＝０のときはあまり０、それ以外はあまり１。
(2) (1) の結果を使います。
　両方５の倍数の場合、片方だけ５の倍数の場合、両方５の倍数でない場合。
(3) ほぼ同様です。

５の倍数に関する問題→５の剰余で場合分け　が鉄則です。
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5011．Re: 教えてください。よろしくお願いします。
名前：melonpan    日付：1月6日(月) 15時24分
(1)は解けました。でも、(2)と(3)の証明の仕方がまだいまいちよく分かりません。もう少し詳しく教えていただけるとありがたいです。(証明は大の苦手なもので‥)

4990．教えてください☆  
名前：さゆ    日付：1月6日(月) 1時17分
－２≦ｘ≦１のとき、ｙ=2×3^x－9^x　の関数の最大値と最小値を教えてくださいぃぃぃ！！！


4993．Re: 教えてください☆
名前：中川　幸一    日付：1月6日(月) 2時54分
3x=tとおいて考えてみましょう。
すると以下のようになります。

【解答】
3x=t とおくと
(与式)= 2 × 3x - (3x)2
= -t2 + 2t
= - (t-1)2+1

また、-2＜x＜1 iff 1/9＜t＜3
よって、この範囲で、
t=1(x=0)で最大値 1 , t=3(x=1)で最小値 -3 をとる。
∴
最大値…… 1 (x=0)
最小値…… -3 (x=1)

参考程度に y = 2 × 3x - 9x のグラフを載せておきます。
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

4994．画像
名前：中川　幸一    日付：1月6日(月) 3時0分
Original Size: 668 x 668, 53KB

このグラフを描くには微分をしてみないと分かりませんが割愛します。
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs


4988．はじめて参りました。よろしく  
名前：田中    日付：1月6日(月) 0時57分
　ピタゴラスの定理をさがしていて、偶然この部屋見つけました。いろいろな分野の数学の問題が出ていて面白いですね。この正月に古いビデオを見ていましたら「暗号の数学」についての話題があり、ちょっと調べてみました。その際　素数にも関連があるものも見つけました。
では、問題です。
2973441746596179940751923717141617562499311970818131780583835719879111948987252301111007378809546723

この数は、素数でしょうか。違うなら素因数分解してください。だれか、挑戦してみませんか？


4992．一応解いてみました。
名前：中川　幸一    日付：1月6日(月) 2時25分
これは２つの素数の積ですね？

54529274216664391073760356297593941950669556077417

と

54529274216664391073760356297593941950669556077419

です。

PSなんと双子素数！！
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5043．Re: はじめて参りました。よろしく
名前：田中    日付：1月6日(月) 22時29分
すごいですね。すぐに正解をだすとは。
当方、これを出して、ちょっと反省していました。だれもできそうもないものを出して、イヤミなやつだと思われそうで・・・・。
でも、挑戦してくれてありがとうございました．当方、かなりのでっかーーーい　素数を導くシステムを開発しています。むかしは、パソコンの性能と見比べながらプログラムに工夫をこらしていましたが、いまは、どうでしょう。その速いこと、速いこと。昔は、５０Ｍｚのクロック数・・・今私の持つパソコンは、２．２ギガ．　先日、０から１００億までの全部の素数を求めて、記録してみました。これを、圧縮して記録するのにも工夫がいるんですよ。すくに読み出すためにはね。

4980．大学一年です、  
名前：しんじ    日付：1月5日(日) 19時29分
次のベクトル組みが線形独立であることを示し、正規直交化せよ。
｜１　｜｜０｜｜１｜｜　１｜
｜２　｜｜２｜｜０｜｜－１｜
｜０　｜｜１｜｜０｜｜　０｜
｜－１｜｜０｜｜１｜｜　０｜
後期試験の勉強中なのですが教科書等を見てもさっぱりわかりません、線形独立と正規直交化の意味も是非おねがいします。


4983．Re: 大学一年です、
名前：ＫＩＮ    日付：1月5日(日) 23時5分
数回質問しているようですが
最初の質問から進展はしているのでしょうか？
最初の質問からあなたが学んでわかったことぐらい書きましょう。

「わからないから、ここのＢＢＳにまかせておけばいいや。」
という気持ちが非常にあらわれていますよ。

線型独立とはどういうことですか？逆に質問させてください。
教科書を見て丸写しでもいいので答えてください。

では、簡単な問題を。以下の[1]～[3]の組でどれが線型独立ですか？
[1]　（１，０）　（０，１）
[2]　（１，０）　（４，０）
[3]　（－１，３）　（２、－６）
http://kin.kissweb.jp/

4984．Re: 大学一年です、
名前：しんじ    日付：1月5日(日) 23時30分
t1a1+t2a2+…tkak=0ならばt1=t2…=tk=0のときa1,a2,…,akは線形独立である。ですよね？これをどう問題に使っていけばいいのですか？簡単といわれてだされた問題でもさっぱり分かりません。

4986．Re: 大学一年です、
名前：Hamittanot    日付：1月6日(月) 0時36分
それぞれの場合で、2点をxy平面に書いてみればなんとなく分かるかも。

4987．Re: 大学一年です、
名前：ＫＩＮ    日付：1月6日(月) 0時46分
まぁ、そうですね。
では例をひとつ２つのベクトル
（１　３）,（３　２）
が線型独立であるかどうか判定して見ましょう。
α、βを実数として
α（１　３）＋β（３　２）＝（０　０）
のとき
α＝β＝０であれば線型独立
そうでなければ線型従属である。
ここで、ベクトルの第１成分に注目して
α＋３β＝０
ベクトルの第２成分に注目して
３α＋２β＝０
この連立方程式を解くと
α＝β＝０がでてきます。
より、線型独立なベクトルの組である。

このように連立１次方程式を解くことに帰着されます。
今回の問題は４つの方程式が出てきますね。がんばってください。
http://kin.kissweb.jp/

4996．Re: 大学一年です、
名前：源秀哉    日付：1月6日(月) 7時46分
外野でいろいろ騒いでいますが、質問した方の理解は進んでいるのでしょうか?

5010．Re: 大学一年です、
名前：しんじ    日付：1月6日(月) 15時15分
ありがとうございます！出していただいたもんだいならα（１，０）＋β（０，１）＝０で（１，０）（０，１）が線形独立というわけですね。もうひとつききたいのですが正規直交化とはどういうことなのでしょうか？教科書には内積空間V＾ｎの線形交換ｆが内積を保存する、すなわち任意のベクトルｘ、ｙにたいして
　　　　　　　　　　（ｆ（ｘ）、ｆ（ｙ））＝（ｘ、ｙ）
をみたすときｆを直交交換という。とかいてあるのですがこれなのでしょうか？なにか簡単なれいをだしていただけないでしょうか？

5021．Re: 大学一年です、
名前：ＫＩＮ    日付：1月6日(月) 19時11分
えっと, まずは, 最初の問題, 線型独立であることができたのか
が気になるので, もしよろしければここに書いてくださいな.

正規直交化というのは
正規化と直交化の２つの作業が入っています.
では, 正規化, 直交化の２つの意味を調べてください.

P.S.
「線形交換」「直交交換」とかいてありますが
「線型変換」「直交変換」ですよ.
ちなみに, 線型変換ってのはどういうことですか？
http://kin.kissweb.jp/

5027．Re: 大学一年です、
名前：しんじ    日付：1月6日(月) 20時29分
じぶんで出した問題についてですが、α（１，２，０、－１）＋β（０，２，１，０）＋γ（１，０，０，１）＋θ（１、－１、０，０）＝０としてα＋γ＋θ＝０、２α＋２βーθ＝０、β＝０、－α＋γ＝０をとけばいいわけですよね？これをとけばα＝０、β＝０、γ＝０、θ＝０、がでてきました。ありがとうございました。正規化というのは（－１、２、ー２、）を例にとると√（１＋４＋４）＝３となり（－１/３、２／３、ー２／３）とすることですよね。直交化がよくわかりません。
　せんけいこうかんのけいですが教科書には形とかいてあるのですが…、線形交換は線形空間Vから同じ空間Vへの線形写像を線形交換と呼ぶと書いてあります。」

5028．Re: 大学一年です、
名前：源秀哉    日付：1月6日(月) 20時51分
とりあえず、
こことかここなんかを参考にして自分で解いてみてください。

ちょっと、冷たいかな???

5035．Re: 大学一年です、
名前：ＫＩＮ    日付：1月6日(月) 21時31分
「けい」ってどっちでもよかったっけ？まぁ、いいか。(^^;
私が使っていた佐武さんの本は「線型」なんだよな・・・。(^^;

正規化のとこですが、計算しか書いていませんが
結局どういうことをしているのかということはお分かりですか？
ベクトルの成分をベクトルの長さで割るということは
なにをしているのでしょうか？
計算ではなく、何のためにこの計算をしたのかを教えてくださいな。

直交化は源秀哉さんが示してくださったページを見てみてくださいな。
もしつまづいたら、わからないところ、どこまで解決したかを
しっかりと書いてくださればこちらも対応しやすいです。

というか、その部分を書くことがここのＢＢＳのルールなのに
最近は問題しか書いていない人が多いよねぇ・・・。
とくに高校生、テスト前になるとね。
あ、ごめん、最後愚痴になっちゃった・・・。(^^;
http://kin.kissweb.jp/

5050．Re: 大学一年です、
名前：しんじ    日付：1月6日(月) 23時6分
正規化とは単位ベクトルを作ることですよね。正規直行基を作ることとそのやり方がわかりました。ありがとうございました。それで調べていたのですがグラム・シュッミドの正規直交化法というのが
bn=an-(an,b1)b1/(b1,b1)-(an,b2)b2/(b2b2)-…-(an,bn-1)bn-1/(bn-1,bn-1)というにがみつかったのですが、この直交化の部分が源秀哉さんに教えてもらったページにあるのと微妙に違うのですがどちらを使ってもいいのでしょうか？

5053．Re: 大学一年です、
名前：ＫＩＮ    日付：1月6日(月) 23時18分
シグマの記号を展開してみましょう。
あとは( , )を内積の記号とし、aをベクトルとすれば
(a,a)=|a|^2　ですよね。
http://kin.kissweb.jp/

5060．Re: 大学一年です、
名前：しんじ    日付：1月6日(月) 23時35分
長々とありがとうございました。正規直交化についてはおかげさまで理解できました。実はもう一つわからない問題があるのでこれについても教えてほしいのですが。一番最初にカキコするので是非教えていただけないでしょうか？

4979．大学の範囲ですが。  
名前：taichi    日付：1月5日(日) 19時5分
　2π
∫　e^inx dx
0
(n∈Z)
ですお願いします。


4981．Re: 大学の範囲ですが。
名前：源秀哉    日付：1月5日(日) 19時57分
オイラーの関係式で実部と虚部に分けて計算したら。

4976．こんな公式発見しましたが・・・  
名前：うっしー（数ⅡＢ）    日付：1月5日(日) 17時44分
数列{ａn}における、
第１階差数列を{ｂn}、
第２階差数列を{ｃn}、
第３階差数列を{ｄn}、
　　　　　…
第ｋ階差数列を{ｋn}、
　　　　　…
第ｍ階差数列を{ｍn}、とし、{ｍn}はｎの値に関わらず定数ｍが続く定数数列であるとする。

このとき、ａn+1＝ａ1nＣ0＋ｂ1nＣ1＋ｃ1nＣ2＋ｄ1nＣ3＋…＋ｋ1nＣk＋…＋ｍ1nＣm

というのが成り立っているような気がするのですが・・・。
その証明の仕方が全く分からないのです。どうすればいいのでしょうか？


4978．Re: こんな公式発見しましたが・・・
名前：花パジャ    日付：1月5日(日) 18時30分
例えば、mに関して数学的帰納法

4985．Re: こんな公式発見しましたが・・・
名前：うっしー（数ⅡＢ）    日付：1月5日(日) 23時38分
すみません・・・帰納法でやろうと思えばどうしたらいいのでしょうか？
行き詰まってしまうのですが・・・

4991．Re: こんな公式発見しましたが・・・
名前：ＫＩＮ    日付：1月6日(月) 1時32分
階差ですから
b_{n} = a_{n+1} - a_{n}
という式が成り立ちますよね.
これを
a_{n+1} = a_{n} + b_{n}
と直してそれ以降の階差も同様に考え帰納法を使ってみてはどうでしょう.
パスカルの三角形ですね.
m,nの大小関係も忘れずに.
http://kin.kissweb.jp/

5009．Re: こんな公式発見しましたが・・・
名前：花パジャ    日付：1月6日(月) 15時9分
(誤記はあるかと思いますです...)
まず、第ｋ階差数列を{ｋn}と置くのは、混乱の元なので
{ａ(k)n}とします
また、表現の簡略のため、ａn=ａ(0)nとします
で、求めるのは
　すべてのnに対して、ａ(m)n=ａ(m)1　ならば
　ａ(0)n+1=Σmk=0ａ(k)1・nＣk
ですね
ここで、数学的帰納法は、
あるmに対して、すべてのnに対して、件の式が成立つとすると
　すべてのnに対して、ａ(m+1)n=ａ(m+1)1　ならば
　ａ(1)n+1=Σm+1k=1ａ(k)1・nＣk-1
なので、
　ａ(0)n+1-ａ(0)n=Σm+1k=1ａ(k)1・n-1Ｃk-1
　ａ(0)2-ａ(0)1=Σm+1k=1ａ(k)1・0Ｃk-1
から
　ａ(0)n+1=ａ(0)1+Σm+1k=1ａ(k)1・Σn-1i=0iＣk-1
となるので
　Σn-1i=0iＣk-1=nＣk
を示して(nに関する数学的帰納法かな)
　ａ(0)n+1=Σm+1k=0ａ(k)1・nＣk
を示す、といった感じで行うかと
（iＣk=0 (i<k)という定義は要るでしょうが）

4975．教えてください　中3です。  
名前：Toshi    日付：1月5日(日) 16時8分
Original Size: 476 x 290, 17KB

この問題の証明はどのようにして導けばよいでしょうか。
メールで友達とやり取りしているのですが、よくわかりません。。。


4982．Re: 教えてください　中3です。
名前：taka    日付：1月5日(日) 21時26分
ヒント！
ＡＢとＣＥの延長線の交点をＦとすると∠ＡＦＣは９０°！

4974．どなたか教えてください　高３です　内容は大学１年の内容です  
名前：かず    日付：1月5日(日) 15時52分
arcsinhx=log{x＋√（x^2＋1）｝　　（－∞＜ｘ＜＋∞）

　を示せ。っていう問題が解けません。どなたか良い解法か、ヒントを下さい。お願いします。


4977．Re: どなたか教えてください　高３です　内容は大学１年の内容です
名前：花パジャ    日付：1月5日(日) 18時26分
sinh(log{x＋√（x^2＋1）｝)を計算する　　

4995．Re: どなたか教えてください　高３です　内容は大学１年の内容です
名前：中川　幸一    日付：1月6日(月) 3時27分
y=sinh x に対して, y=arcsinh x (iff x=sinh y)を定義する。
sinh y=x の両辺を x で微分すると,
cosh y・y'=1
y'(=(arcsinh x)')=1/(cosh y)
=1/√(1+sinh2 y)
=1/√(1+x2)

iff y=log(x+√(1+x2))

∴arcsinh x=log(x+√(1+x2))
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

4973．教えてください☆　高２です  
名前：まり    日付：1月5日(日) 13時40分
（１）すべての x≧a に対し、a^x≧x^a が成り立つような正の定数aの範囲を求めよ。
（２）tが実数全体を動くとき、媒介変数方程式　
{ x=2-3t^2
y=1-t^3
で与えられる曲線の概形をかく。
（３）自然数m、ｎに対し　m^nと n^m の大小を比較する。

というのが分かりません(*_*)
よろしくお願いします


4989．Re: 教えてください☆　高２です
名前：Hamittanot    日付：1月6日(月) 0時58分
（１）グラフを書こう。（違うかも）
（２）まずはdy/dxを求めよう。
（３）logx/xのグラフを書こう。

4997．追加ヒント
名前：占星術師    日付：1月6日(月) 10時24分
　　a^x≧x^a　for all x≧a
⇔logx/x≦loga/a　for all x≧a
だから、関数logx/xの増減を調べれば解ります。
なお、(3)も似たような問題ですね。
あと、(2)はdx/dtとdy/dtを調べることでも曲線の挙動が解ります。

4968．教えてください  
名前：もも    日付：1月4日(土) 3時19分
高校一年生☆女☆です！！背理法を利用して次の命題を証明せよ。ただしa,b,cは整数とする。　『a(二乗)＋b(二乗)=c(二乗)ならばa,bの少なくとも一方は3の倍数である。』 とゆう問題での最も簡単な証明法教えてほしいんですが…。お願いします!!!!!!!!!


4969．Re: 教えてください
名前：花パジャ    日付：1月4日(土) 10時14分
3の倍数の2乗は、3の倍数　(　(3n)^2=3N　)
3の倍数でない整数の2乗は、3で割ると1余る　(　(3n±1)^2=3N+1　)
であることから、aもbも3の倍数でないなら、cの2乗は3で割ると2余る...さて、cを3で割ると余りはいくつ...

4967．1日にもカキコしたのですが  
名前：しんじ    日付：1月3日(金) 21時34分
次のベクトル組みが線形独立であることを示し、正規直交化せよ。
｜１　｜｜０｜｜１｜｜　１｜
｜２　｜｜２｜｜０｜｜－１｜
｜０　｜｜１｜｜０｜｜　０｜
｜－１｜｜０｜｜１｜｜　０｜
後期試験の勉強中なのですが教科書等を見てもさっぱりわかりません、線形独立と正規直交化の意味も是非おねがいします。

4965．拡張②-漸化式  
名前：切り裂く風    日付：1月3日(金) 20時53分
4963で、
mを任意の自然数として、 (m≧2)
c(n+1)=c(n)^m
とすれば、いろいろな漸化式が解けることがわかる。

例えば、m=3　としたならば、

c(n)+1/c(n)=c(n-1)^3+1/c(n-1)^3=(c(n-1)+1/c(n-1))^3-3(c(n-1)+1/c(n-1))
c(n)+1/c(n)=d(n) として、
d(n+1)=d(n)^3-3d(n)

a(n+1)=a(n)^3-3a(n) ←こういうﾀｲﾌﾟの漸化式も
解けるということがわかりましたね。

4964．拡張①-漸化式  
名前：切り裂く風    日付：1月3日(金) 20時31分
4963の方法を使うと、

一般に、
pを任意の定数として、

a(n+1)=a(n)^2+pa(n)+((p+2)(p-4))/4

の型になっている漸化式は解けることがわかります。

4963．特殊な解法をもつ漸化式について  
名前：切り裂く風    日付：1月3日(金) 19時18分
a(1)=k (k≠0)
a(n+1)=a(n)^2-2a(n)

*a(n)をnとkを用いて表せ。

という問題の解法についてですが、
まず、平方完成します。

a(n+1)=a(n)^2-2a(n) ⇔ a(n+1)=(a(n)-1)^2-1

次に左辺の定数項と、右辺の( )内の定数項を一致させます。

a(n+1)=((an)-1)^2-1 ⇔ a(n+1)-1=(a(n)-1)^2-2

ここで、a(n)-1=b(n) とします。
すると・・

a(n+1)-1=(a(n)-1)^2-2 ⇔ b(n+1)=b(n)^2-2

そして、新たに

c(n+1)=c(n)^2 ・・・①

が、成り立つ数列｛c(n)｝を考えます。

c(n)+1/c(n)=c(n-1)^2+1/c(n-1)^2=(c(n-1)+1/c(n-1))^2-2

ここで、 c(n)+1/c(n)=d(n) とするならば、

d(n+1)=(c(n)+1/c(n))^2-2=d(n)^2-2

これは、 b(n+1)=b(n)^2-2 と一致しているので、

b(n)=d(n)=c(n)+1/c(n)

ここで、
①式の両辺にlogをとり、

logc(n+1)=logc(n)^2 ⇔ logc(n+1)=2logc(n)

logc(n)=e(n) として、

e(n+1)=2e(n) ・・・②

ここで、
c(1)+1/c(1)=b(1) から、
b(1)=a(1)-1=k-1 より、

c(1)+1/c(1)=k-1 ⇔ c(1)^2-c(1)(k-1)+1=0
∴ c(1)=(k-1+((k+1)(k-3))^(1/2))/2

②より、
e(n)=logc(1)*2^(n-1)

これより、 c(n)=c(1)^(2^(n-1))

したがって、a(n)=b(n)+1=c(n)+1/c(n)+1

∴ a(n)=((k-1+((k+1)(k-3))^(1/2))/2)^(2^(n-1))+((k-1+((k+1)(k-3))^(1/2))/2)^(-2^(n-1))+1


4970．蛇足
名前：花パジャ    日付：1月4日(土) 12時37分
すごいですねぇ。新春早々いいものを見せて頂きました
で、蛇足ながら、ちょっと扱いやすい形に変形すると
a(n)=((k-1+((k+1)(k-3))^(1/2))/2)^(2^(n-1))+((k-1+((k+1)(k-3))^(1/2))/2)^(-2^(n-1))+1
　=((k-1+((k+1)(k-3))^(1/2))/2)^(2^(n-1))+((k-1-((k+1)(k-3))^(1/2))/2)^(+2^(n-1))+1
となり、√の奇数乗が出て来ないことがわかりますです

4971．あらぁｗ
名前：切り裂く風    日付：1月4日(土) 15時37分
そのように変形できるようですﾈ-ｗ
どうも！ｗｗ

4956．a点、b点の座標を求めよ  
名前：とし    日付：1月3日(金) 1時25分
Original Size: 347 x 353, 24KB

図のa点、b点の座標を求めよ
又、線abの角度を35°、25°に変えた場合の
座標を求めよ


4957．Re: a点、b点の座標を求めよ
名前：Lapse of time    日付：1月3日(金) 5時0分
>a点、b点の座標を求めよ

何故ですか？

4958．Re: a点、b点の座標を求めよ
名前：Lapse of time    日付：1月3日(金) 5時11分
Mathematica で計算したときの近似値。

a(-37.25, 79.95)

b(-34.80, 77.32)

これぐらの精度で出れば文句はないでしょう。
何か計算の必要に迫られて「面倒くさかったから他人に任せた」んでしょうね。

ま、近似値がいやならば
y=-x/tan43°+40
と円の交点を求めれば出ますが。

4962．Re: a点、b点の座標を求めよ
名前：とし    日付：1月3日(金) 14時37分
Lapse of timeさん、ありがとうございます。

4946．積分の問題です  
名前：かおり    日付：1月2日(木) 16時59分
はじめまして。
(1)曲線y=cosx (0≦x≦π/2) と直線 y=(-2/π)x＋1 で囲まれた図形が
x軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ。

(2)曲線 y=x²-2 と直線 y=x とで囲まれた図形を、x軸のまわりに1回転
してできる立体の体積をもとめよ。

(3)曲線 y=logx と点(0,1)からこの曲線にひいた接線及びx軸,y軸とで
囲まれた部分の面積を求めよ。

という問題なんですが教えてください。
３問も聞いてごめんなさい。冬休みの宿題です。
高３で文系の受験なのに理系のクラスにいるアホです。


4950．Re: 積分の問題です
名前：知也    日付：1月3日(金) 0時0分
まず２からグラフの交点はｘ＝－１と２からV=π*∫（-1～2）｛x-(x＾2-2)}＾2　ｄｘ＝81/10*πかな？３はグラフの交点を（t、logt)とするy-logt=1/t(x-t) これが（0,1)とおるから　代入してt＝e^2　接線はy=1/e^2*x+1　だから面積はS=2e^2*1*1/2-∫（1～e^2)(logx)dx というかx軸と曲線と接線で囲まれる面積ではないの？計算間違いありそうだけど

4951．Re: 積分の問題です
名前：知也    日付：1月3日(金) 0時10分
だから３の面積はe^2-1ね。文系でこれはきついでしょう。

4952．Re: 積分の問題です
名前：知也    日付：1月3日(金) 0時23分
１は　π∫（０～π/2）（cosx-2/π-1）＾2ｄｘでしょ？

4953．Re: 積分の問題です
名前：知也    日付：1月3日(金) 0時24分
ごめんπ∫（０～π/2)(cosx+2/π-1）＾2ｄｘですね

4954．Re: 積分の問題です
名前：知也    日付：1月3日(金) 0時26分
それと3番目はS=2e^2*1*1/2…ではなくて2e^2*2*1/2…だよ

4955．Re: 積分の問題です
名前：知也    日付：1月3日(金) 0時28分
まただ1番は…（cosx+2/π*x－１）＾2だ

4959．Re: 積分の問題です
名前：知也    日付：1月3日(金) 9時59分
ごめん、３はS=(1＋2)＊e^2/2-(e^2+1)=1/2*e^2-1だ

4960．Re: 積分の問題です
名前：知也    日付：1月3日(金) 10時1分
５１から５４はまちがいです

4961．Re: 積分の問題です
名前：かおり    日付：1月3日(金) 12時46分
ありがとうございます。知也 さん
助かりました。

4945．小学５年生です  
名前：マサル    日付：1月2日(木) 14時45分
１・１・５・８を＋－×÷を使って答えを１０にしなさいとゆう問題がわかりません。並び替えとかっこ両方使ってＯＫです。よろしくお願いします。


4948．Re: 小学５年生です
名前：高校生（受験）    日付：1月2日(木) 20時0分
８÷（１－１÷５）＝１０

ですね。

4949．因みに
名前：高校生（受験）    日付：1月2日(木) 20時3分
３・４・７・８の類題みたいな感じです。

4941．お願いします。  
名前：川崎　由美子    日付：1月2日(木) 11時56分
Ａ校の生徒はＢ校の75％である。またＡ校の男子生徒とＢ校の男子生徒は２：３である。Ａ校の女子生徒は男子生徒の１，２倍である。　　　　　　　問題　Ｂ校の生徒を求めましょう　　　　　　　


4942．Re: お願いします。
名前：源秀哉    日付：1月2日(木) 12時8分
多分、生徒数を求めれば良いと思うのですが、問題の条件が不足している様に見えるのは気の所為でしょうか??

4944．気のせいではないと思われます。
名前：おおさわ    日付：1月2日(木) 13時50分
Ｂ校の生徒数をxと置くと、
Ａ校の生徒数は、(3/4)x　…(1)
ここで、Ｂ校の男子生徒をaと置くと、
Ａ校の男子生徒は(2/3)a であるから、
女子生徒が男子生徒の1.2倍というところから、
女子生徒の人数は、1.2･(2/3)a = (4/5)a
故に、Ａ校の生徒数は、aを用いて、
(2/3)a+(4/5)a = (22/15)a　…(2)
と表すことができる。
(1)と(2)を方程式として解くと、
(3/4)x = (22/15)a
x = (88/45)a

あとは、aにＢ校の男子生徒数を入れれば解けるんですけど…
ちなみに、Ｂ校の男女比は、男:女 = 45:43
http://simfan.cn1.jp/mathmarks/

4939．どうしても分からない・・・  
名前：高校生（受験）    日付：1月2日(木) 9時26分
Nを正整数、x,yを実数とする。
また、実数kの小数部分をfrc(k)と書くことにする。
このとき、

(N+1)frc(x+y/N) = frc(Nx)+y

が成立するxが存在するための必要十分条件は何か？


という問題なんですが、解法をお願いします…。
できれば、式だけ（グラフで示すようなやり方でない）の解法をお願いします。


4940．Re: どうしても分からない・・・
名前：高校生（受験）    日付：1月2日(木) 9時29分
因みに、解答は、

-1≦y≦0 or N≦y≦N+1

となっています。

4943．Re: どうしても分からない・・・
名前：源秀哉    日付：1月2日(木) 12時11分
x+y/Nというのは、x+yをNで割ったものと解釈すれば良いのでしょうか?それとも、xとy/Nの和と解釈すべきでしょうか。

4947．Re: どうしても分からない・・・
名前：高校生（受験）    日付：1月2日(木) 19時56分
分かりにくくてすいません。
後者の解釈でお願いします。

4937．大学一年　線形代数です  
名前：しんじ    日付：1月1日(水) 20時35分
次のベクトル組みが線形独立であることを示し、正規直交化せよ。
｜１　｜｜０｜｜１｜｜　１｜
｜２　｜｜２｜｜０｜｜－１｜
｜０　｜｜１｜｜０｜｜　０｜
｜－１｜｜０｜｜１｜｜　０｜


4938．皆様、あけましておめでとうございます
名前：源秀哉    日付：1月2日(木) 8時57分
問題から察するに冬休みの宿題にも見えるのですが、宿題の丸投げなら、「教科書やノートを見て自力でがんばりましょう!!」としか言えませんが、線形独立や正規直交化の意味をこの問題を例にして説明して欲しい、ということならちゃんと説明しますが。

どちらなのでしょうか?

4966．Re: 大学一年　線形代数です
名前：しんじ    日付：1月3日(金) 21時29分
次のベクトル組みが線形独立であることを示し、正規直交化せよ。
｜１　｜｜０｜｜１｜｜　１｜
｜２　｜｜２｜｜０｜｜－１｜
｜０　｜｜１｜｜０｜｜　０｜
｜－１｜｜０｜｜１｜｜　０｜
後期試験の勉強で教科書等を見てもさっぱりわかりません、線形独立と正規直交化の意味も是非教えてください。

4935．あけましておめでとうございます  
名前：中川　幸一    日付：1月1日(水) 12時24分
Original Size: 342 x 268, 25KB

あけましておめでとうございます。
今年もよろしくお願いします。
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs


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