30歳、男性です。一応　大学は出てますが数学は苦手です…が好き
です。仕事の関係もあり久しぶりに勉強しています。

以前にこの掲示板で元利均等償還での借入金元本返済率についての
質問をしたところヨッシーさんよりスマートな解答をいただきあり
がとうございました。
この場を借りて感謝の意を表すとともに、謎であった近似計算の部
分についても判明しましたので特にヨッシーさんにお知らせしたい
と思います。

エクセルでも計算結果を添付しておきましたのでご参照ください
。また何かお気づきの点があればコメントいただきたくお願いいた
します。
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元利均等償還方式です。
まず、年利率:r,借入期間:n,経過期間:kとおきます。

借入金元本返済率をPとすると、
P=[r/{(1+r)^n-1}]/[r/{(1+r)^k-1}]………(1)
であると仮定します。（これからこの仮定が真であることを証明し
ます。）

(1)式を展開して整理すると
P=[r/{(1+r)^n-1}]*[{(1+r)^k-1}/r]
={(1+r)^k-1}/{(1+r)^n-1}………(2)
これを説明すると、
P=「毎期の償還基金率(借入期間全期間ベース)」*「複利年金終価
率（経過期間ベース」
=「毎期の償還基金率(借入期間全期間ベース)」*１/(償還基金率,
経過期間ベース)
※ 償還基金率とはr/{(1+r)^期間-1}、複利年金終価率とはその逆
数で{(1+r)^期間-1}/rです。
くどくなりましたが(2)式を覚えておいてください。
ヨッシーさんからご教示いただいた借入金元本返済率は、元利均等
償還率をdとして、
P=(d-r)*{(1+r)^k-1}/r………(3)
でした。
そこで、(3)式のdに元利均等償還率を代入して整理してみます。
つまりd={r*(1+r)^n}/{(1+r)^n-1}として整理してみます。
P=[{r*(1+r)^n}/{(1+r)^n-1}-r]*{(1+r)^k-1}/r
ややこしいのでR=1+rとおくと
P={(r*R^n)/(R^n-1)-r}*(R^k-1)/r
={(r*R^n-r+r)/(R^n-1)-r}*(R^k-1)/r
=[{r*(R^n-1)+r}/{R^n-1}-r]*(R^k-1)/r
=[{r*(R^n-1)+r}/{R^n-1}-r]*(R^k-1)/r
={r+r/(R^n-1)-r}*(R^k-1)/r
=r/(R^n-1)*(R^k-1)/r
=(R^k-1)/(R^n-1)
ここで再び、R=1+rを戻して代入し、
P={(1+r)^k-1}/{(1+r)^n-1}………(4)
したがって
　(1)式=(2)式=(4)式=(3)式
なので(1)式は正しい！

さてここで、
元利均等償還率と償還基金率の関係を述べると、
前述のところでも多少触れたのですが、
償還基金率=元利均等償還率マイナス借入金利という関係がありま
す。
つまり、
r/{(1+r)^n-1}=[{r*(1+r)^n}/{(1+r)^n-1}]-r………(5)
ということです。
例によって、
R=1+rとして、(5)式の右辺を整理すると
(r*R^n)/(R^n-1)-r
={(r*R^n)-r+r}/(R^n-1)-r
={r*(R^n-1)+r}/(R^n-1)-r
=r+r/(R^n-1)-r
=r/(R^n-1)
でR=1+rだから
=r/{(1+r)^n-1}となり(5)式の両辺は等しいといえます。
ここより、前出の(1)式
P=[r/{(1+r)^n-1}]/[r/{(1+r)^k-1}]………(1)
は、これを変形して
P=Rm@n-r/Rm@k-r…………★
【ただしRm@nは借入期間nの元利均等償還率で{r*(1+r)^n}/{(1+r)^
n-1}、Rm@kは経過期間kの元利均等償還率で{r*(1+r)^k}/{(1+r)^k-
1}】
ですよね。したがって問題�Tと�Uで謎の0.1332と0.22231の数値の
由来がわかりました。
★ の式を見ればRm@kであることがわかりますよね。

【問題�T】
　�@借入金元本　　　　3,000,000円
　�A毎月の元利返済額　　　20,000円
　�B借入金の金利6％(年利）
　　のとき、10年後の借入金元本返済率Pはいくつになるか？

【解答�T】
元利均等償還率は、
(20,000*12)/3,000,000=0.08
10年後の借入金返済率は、
P=(0.08-0.06)/(0.1332-0.06)=27.3%
《補足》
P=Rm@n-r/Rm@k-r…………★から考える。
Rm@nは(20,000*12)/3,000,000=0.08。
rは0.06。
残るRm@k≒0.1332は
次のようにして求めます。
まず月次なので、
{r*(1+r)^k}/{(1+r)^k-1}
を
{r/12*(1+r/12)^(12*k)}/{(1+r/12)^(12*k)-1}
に変換し、これに12ヶ月をかけた数値がRm@kになります。
実際に数値をあてはめて計算してみると、

{0.06/12*(1+0.06/12)^120}/{(1+0.06/12)^120-1}≒0.011102

0.011102*12≒0.1332


【問題�U】
　�@借入金元本　　　　480,000円
　�A借入金の金利　　10％(年利、月払い）
　�B元利均等償還率　11％(年換算）
　　のとき、6年後の借入金元本返済率Pはいくつになるか？

【解答�U】
6年後の借入金返済率は、
P=(0.11-0.10)/(0.22231-0.10)=0.08176

《補足》
Rm@kである0.22231は同じようにして次のようにして求めます。

{0.1/12*(1+0.1/12)^72}/{(1+0.1/12)^72-1}≒0.018526

0.018526*12≒0.22231

以上　長文に渡り縷縷と述べさせていただきました。

３０過ぎの男性です。

【コピー機に関する正味現在価値(NPV）と内部収益率(IRR) 】
　２つのコピー機が利用でき、両方とも5年間使える。１つはリースかすぐに購入するかのどちらかである。もう１つは購入しなければならない。したがって、全部でA,B,Cという３つの選択肢がありうる。詳細を表に示した（最初の年の保守は初期費用に含まれている。毎年の初めに４回の追加的な保守費用が発生し、その後、転売による収入も得られる）。金利10％を使ってこれらの３つの案の費用の現在価値を計算した結果を表に示した。現在価値分析にしたがうと、現在価値で測定される最小費用をもつ機械が選択されるべきである。すなわち、B案である。
　これらの代替案のいずれも、内部収益率を計算することはできない。なぜならば、すべてのキャッシュ･フローが（転売価値を除いて）負だからである。しかし、増分基準によって内部収益率（IRR）を計算することはできる。A案からB案への変更に対する内部収益率基準では正当化されるだろうか？
（注　表は添付ファイルのエクセルを参照してください）。


皆さんこの問題の題意、解答がわかりますか？
私は途中までは理解できたのですが、最後の段落の
＞これらの代替案のいずれも、内部収益率を計算することはできない。なぜならば、すべ＞てのキャッシュ･フローが（転売価値を除いて）負だからである。
部分で「うーんそうかなあ…」と思い、私のヒューレット・パッカードの金融電卓HP17B�Uで計算してみたところ
A案のIRRはNO SOLUTION（全部符号がマイナスだから当たり前か）
B案のIRRは▲27.17％
C案のIRRは▲24.37％
まあマイナスのIRRはあまり意味がないかもしれないと思いました。でもこれはコスト
表中の現在価値は、HP17B�Uとエクセルで検証してフムフムと納得はしました。
また、
＞しかし、増分基準によって内部収益率（IRR）を計算することはできる。A案からB案へ＞の変更に対する内部収益率基準では正当化されるだろうか？
まず増分基準って何を意味するのか、つまりどのように理解して計算すればよいのかと悩んでいます。
そして最後の
＞A案からB案への変更に対する内部収益率基準では正当化されるだろうか？
これについても意見が欲しいのです。直感的には、正当化されないような気がしているのですが。

ご見識のある皆様方のご教示・アドバイスいただきたくよろしくお願いいたします。

元利均等償還での借入金元本返済率の問題です。
ここで、借入金元本返済率とは、借金を返済していって
借り入れた元本に対していくらの元本返済をしたかという
割合です。

例えば、ある書籍によれば次のような問題と解答が示されています。
（もっとも私もよく理解できていませんが）

【問題�T】
　�@借入金元本　　　　3,000,000円
　�A毎月の元利返済額　　　20,000円
　�B借入金の金利6％(年利）
　　のとき、10年後の借入金元本返済率Pはいくつになるか？

【解答�T】
元利均等償還率は、
(20,000*12)/3,000,000=0.08
10年後の借入金返済率は、
P=(0.08-0.06)/(0.1332-0.06)=27.3%

【問題�U】
　�@借入金元本　　　　480,000円
　�A借入金の金利　　10％(年利、月払い）
　�B元利均等償還率　11％(年換算）
　　のとき、6年後の借入金元本返済率Pはいくつになるか？

【解答�U】
6年後の借入金返済率は、
P=(0.11-0.10)/(0.22231-0.10)=0.08176


これを見て私は何でこのような解答が導かれるのかほとんど理解できませんでした。
解答の�Tと�Uの共通性を見い出して数値の連想から、どうもこの場合の借入金元本返済率Pは、
P=(元利均等償還率 - 借入金の金利)/(c-借入金の金利)
という構造だろうと察しはついたのですが、
cの値（解答�Tでは0.1332、解答�Uでは0.22231）
を一体どうやって算出したのか、また何故このような数式で借入金元本返済率が導き出されるのか考え方、アドバイス等　よろしくご教示いただきたくお願いいたします。
またよりスマートな解法があればお願いします。


自力で考えましたが、せいぜいエクセルで実際に計算させてみておおよそ検証ができ、おおと驚いている按配でして…添付ファイルでそのエクセルものせておきます。