2002年11月 の投稿ログ


4609．(untitled)  
名前：ぶーちゃん    日付：11月30日(土) 22時21分
∠Ａが鋭角のとき、次の値を求めよ。
(1) cosＡ=15/17のとき、sinＡ,tanＡ
(2) tanＡ=3のとき、sinＡ,cosＡ


4611．Re: (untitled)
名前：king    日付：12月1日(日) 1時12分
(1)cosA=15/17
(2)tanA=3
を満たす直角三角形を描いてみれば解ると思いますよ。

4620．Re: (untitled)
名前：投信ハイ    日付：12月1日(日) 21時52分
これって　すごく
本質的ですね．
基礎的ですが
一つが決まると
後は分かる．
その角度が鋭角ならば．

なにか　味わってしまいました．

電気でも　皮相電力，有効電力，無効電力
の　計算で　簡単な直角三角形をつくり
コサインやサインを計算します．

4634．(1) だけ…
名前：おおさわ    日付：12月4日(水) 18時27分
cosAというのは、角Aを挟む２辺の比です。
相似図形があるのでcosA=15/17を満たす三角形は無限に存在しますが、
計算しやすいように、斜辺17、横(角Aを挟む斜辺ではないほうの辺)を15とすると、
三平方の定理より、縦(残りの辺)xは、
x = √(172-152)
　= √64
　= 8
よって、sinA=8/17; tanA=15/8 となります。

(2)も同様です。tanA=3より、
斜辺をxとして、横を1、縦を3、斜辺をxとして三平方の定理を適用してみてください。
http://simfan.cn1.jp/mathmarks/

4608．高２  
名前：TOMO    日付：11月30日(土) 22時17分
ﾍﾞｸﾄﾙの応用

平行四辺形ABCDの対角線BDを１：２に内分する点をPとし、線分APの延長線と辺BCとの交点をQとする。ﾍﾞｸﾄﾙAB＝ﾍﾞｸﾄﾙa、ﾍﾞｸﾄﾙAD＝ﾍﾞｸﾄﾙbとして、次の各問に答えよ。
(1)BQ：QC＝s：(1-s)として、ﾍﾞｸﾄﾙAQをﾍﾞｸﾄﾙa、ﾍﾞｸﾄﾙb、ｓで表せ。
(2)AQ:PQを求めよ。

(1)は　　AQ=a＋sb（「ﾍﾞｸﾄﾙ」省略）　だと思うんですけど、
(2)の答えの出し方がわかりません。
よろしくお願いします。


4621．Re: 高２
名前：ヨッシー    日付：12月1日(日) 22時1分
ベクトルを使うまでもなく、△ＡＰＤと△ＱＰＢは相似で相似比２：１なので、
ＡＱ：ＰＱ＝３：１
に決まっているのですが、そうは言ってられないので、ベクトルを使う解法を．．．

ＰはＢＤを１：２に内分するので、
　ＡＰ＝(２ａ＋ｂ)/３
ＱはＡＰの延長線上にあるので、
　ＡＱ＝ｋＡＰ　（ｋは実数）
と表せます。よって、
　ＡＱ＝ｋ’(２ａ＋ｂ)
ただし、ｋ’＝ｋ/３
(1) の結果より、
　ＡＱ＝ａ＋ｓｂ
よって、ｋ’＝1/2 であり、
　ＡＱ＝ａ＋ｂ/２
ＰＱ＝ＡＱ－ＡＰ　より、
　ＰＱ＝ａ/３＋ｂ/６＝ＡＱ/３
よって、ＡＱ：ＰＱ＝３：１
　

　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

4641．Re: 高２
名前：TOMO    日付：12月4日(水) 23時47分
ありがとうございました。助かりました。

4606．点の座標がでない！  
名前：受験生    日付：11月30日(土) 20時23分
ベクトル分野の問題を解いていて、解説もあるのでそれを理解しようとしたのですが、どうしてもわからない部分がありますので、教えてください。
まず、問題はというと、

（問）直線ｌ：x=2t+3, y=2t-1, z=t+3 と直線ｍ：x=4-2s, y=s-6,
　　　z=2s+2 の両方に直交する直線の方程式はx=au+1, y=-2u+b,
　　　z=du+c であるとき、a, b, c, d を求めよ。

というものです。

これに対し、解答を読み進めていくと、途中に「ん？」と思わせるような部分がありながらも、それはテクニックだと解釈して、自分なりに理解しながら読んでいるのですが、どうしても納得できないところがあるので、なぜそうなるのか教えてください。

理解できたところまでの解答は、

（解）求める直線は、ｎ：(x, y, z) = (1, b, c) + (a, -2, d)u（u　
は実数）とおけるので、直交条件から
　　　　2a - 4 + d = 0 ･･･ ①
　　　　-2a - 2 + 2d = 0 ･･･ ②
　　　①,②から a = 1, d = 2
　　　よって、方向ベクトルは(1, -2, 2)
　　　また、ｌとｎ、ｍとｎの交点をそれぞれＰ，Ｑとおくと、Ｐはｌ
　　　上、Ｑはｍ上にあることから
　　　　ベクトルＰＱ = (-2s-2t+1, s-2t-5, 2s-t-1)
　　　これが(1, -2, 2)と平行であればよい。
　　　よって、k を 0 でない実数とすると、
　　　　-2s - 2t + 1 = k ･･･ ③
　　　　s - 2t - 5 = -2k ･･･ ④
　　　　2s - t - 1 = 2k ･･･ ⑤
　　　③、④、⑤から k を消去すると、
　　　　s + 2t + 1 = 0 ･･･ ⑥
　　　　s - t - 2 = 0 ･･･ ⑦
　　　⑥、⑦から s = 1, t = -1


とあり、ここまではいいんです。
このあといきなり、

　　　よって、直線ｎは点(1, -3, 2)を通る。
　　　ゆえにｎ：(x, y, z) = (1, -3, 2) + (1, -2, 2)u
　　　よって b = -3, c = 2

と続いて、ここで解答が終わっています。
s と t が求まったら、なんでｎは点(1, -3, 2)を通るって言えるんでしょうか？　s と tをいろいろと代入して計算してみても、この点を導きだすことができません。非常に初歩的な質問で申し訳ありませんが、どうか教えてください。よろしくお願いいたします。


4612．Re: 点の座標がでない！
名前：みゆき    日付：12月1日(日) 2時10分
x=2t+3, y=2t-1, z=t+3
にt=-1代入で求められます。

4613．Re: 点の座標がでない！
名前：受験生    日付：12月1日(日) 3時53分
その場合、直線ｌの式に代入していますよね？
なぜそれで、求めたい直線ｎがその点（ｌ上の点）を通るということが言えるのでしょうか？
単純なことなのかもしれませんが、やっぱりわかりません。。
解説していただけるとありがたいです。よろしくお願いします。

4622．Re: 点の座標がでない！
名前：ヨッシー    日付：12月1日(日) 22時13分
直線 l の式、
　x=2t+3, y=2t-1, z=t+3
は、ｔの値を変えることによって、直線 l 上のあらゆる点の座標を表します。
このうち、直線ｎと交わる点が t=-1 を代入した点(1, -3, 2)にあたります。（記号で言うなら、点Ｐです）

もちろん、直線ｍの式に、ｓ＝１ を代入した　点(2, -5, 4) を使って、
　ｎ：(x, y, z) = (2, -5, 4) + (1, -2, 2)u　(u は実数)
としても、正解です。（こちらは点Ｑにあたります）
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

4624．Re: 点の座標がでない！
名前：受験生    日付：12月2日(月) 1時34分
なるほど。わかりました。ありがとうございました！

4602．有理関数の積分に帰着まではできたのですが…  
名前：某大学1年    日付：11月30日(土) 19時6分
∫[(t2+t+1)/{t(2t+1)2)]dt
を計算したいのですが、
(t2+t+1)/{t(2t+1)2)…(*)
を(後々積分し易い)部分分数に分解するにはどうすればいいですか？

(*)=A/t + B/(2t+1) + (Ct+D)/(2t+1)2
とおいてもうまくいきません。

ご指導よろしくお願いします。


4603．はあ
名前：占星術師    日付：11月30日(土) 19時22分
(1/t)-(3/2/(2t+1))-(3/2/(2t+1)2))

4604．補足
名前：占星術師    日付：11月30日(土) 19時24分
この場合はA/t+B/(2t+1)+C/(2t+1)2でいいのです。

4607．Re: 有理関数の積分に帰着まではできたのですが…
名前：某大学1年    日付：11月30日(土) 20時44分
何故
A/t + B/(2t+1) + C/(2t+1)2
でいいのですか？

｢部分分数に分解する｣という行為には、ある程度の試行錯誤は必要ですか？
それとも、機械的に処理できますか？

4610．多項式の剰余
名前：占星術師    日付：11月30日(土) 22時28分
＞何故A/t+B/(2t+1)+C/(2t+1)2でいいのですか？
お書きになった
A/t+B/(2t+1)+(Ct+D)/(2t+1)2
で更にCt+D=E(2t+1)+Fとすれば判るでしょう。
一般的な部分分数分解定理の証明については本で調べてください。

あと、後半のご質問には私にはうまく答える自信がありません。
そのようなコツの類は、問題を解く訓練の中で自得するものだと思っています。

4597．角度計算！  
名前：ポゥ    日付：11月29日(金) 15時1分
Original Size: 959 x 719, 21KB

こんにちは。
図形の角度計算を教えて頂きたいのですが・・・。
答えはあっていますが、人に説明するとなるとうまくできません。
（ということは多分自分でもなんでその答えが出せたか、わからないということでしょうね・・・）

図を添付しますが、この図のＸ部分の度数が問題です。
解答は３０度だと思いますが、なぜ３０度か？といわれるとﾜｶﾗﾅｲ(T_T)

友人の子供から質問があって、それに答えなければならないのです・・・
簡単な問題で申し訳ないのですが、宜しくおねがいします。。。


4598．Re: 角度計算！
名前：ヨッシー    日付：11月29日(金) 15時47分

∠ＯＢＥ＝90°　∠ＤＢＥ＝15°　より、∠ＯＢＤ＝75°
ＯＢ＝ＯＤ　より　∠ＯＤＢ＝75°　∠ＢＯＤ＝30°

ここで、四角形ＡＢＯＣにおいて　∠Ｂ＝∠Ｃ＝90°
より、∠Ａ＋∠Ｏ＝180°
よって、∠Ａ＝∠ＢＯＤ＝30°　です。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

4596．内積　図形的意味  
名前：とりあへず高２    日付：11月29日(金) 11時57分
　内積の図形的意味ってなんですか？　よく、外積でできたベクトルとの内積を、平行六面体の体積（だったような気がする）だというふうに書いてあるのを見かけますが、もっと簡単に、平面で説明できないものでしょうか。立体で説明するにしても、外積が、絡んでくると、２つのスカラー積で、３つのベクトルを考えなければなりません。しかもそのうち２つは固定されないし...。２つのベクトルだけを使って図形的意味を説明することは不可能なのでしょうか？


4614．Re: 内積　図形的意味
名前：terry    日付：12月1日(日) 9時52分
答えになるかわかりませんが
どなたも　こたえていないので

ひとつの答えとして記してみます．

単位ベクトルを直交させて３本引く．

それぞれの単位ベクトルと
考察対象のベクトルのない積をとると

それぞれの方向へ投影した　考察対象のベクトルの
長さとなる．

4590．位置ベクトル？（4523の続きです）  
名前：受験生    日付：11月29日(金) 0時33分
下のスレッド4523の続きなのですが、お蔭様で内積は求められるようになりました。六角形ができるイメージも理解できました。でも、どうしてもそこからベクトルＡＥとベクトルＣＥをｂとｃの実数倍で表すことができません。参考書を見てみても、内積を成分どうしの掛け算の和で表したり、公式は載ってるのですが、そこから位置ベクトルへの発展がわかりません。例えばこの問題（4523の問題）でしたら、どのような解答になるのでしょうか？
よろしくお願いいたします。


4595．今回もベクトルを太字で表記
名前：占星術師    日付：11月29日(金) 9時35分
では、(2)の解答フルバージョンを書いてみましょう。
ポイントになる“公式”は、
　　p・p=|p|2および「内積と加法演算の分配法則」
です（ちゃんと本に載ってますよね）。
AE=sb+tc（s,tは実数）とおきます。
これとAB・AE=-2およびAC・AE=4から
　b・(sb+tc)=-2　かつ　c・(sb+tc)=4
上で赤く書いた部分の知識と、|b|2=4, |c|2=16, b・c=2*4*cos60°=4より、
　4s+4t=-2　かつ　4s+16t=4　これを解いて、s=-1, t=1/2
よって、AE=-b+(1/2)cで、CE=AE-c=-b-(1/2)c

4605．Re: 位置ベクトル？（4523の続きです）
名前：受験生    日付：11月30日(土) 19時51分
占星術師さま
なるほど。よくわかりました。似たような問題も、同じ手法で解けました。どうもありがとうございました。

4578．わからん！  
名前：なお    日付：11月28日(木) 21時32分
放物線ｙ＝ｘ２＋ｘとｘ軸で囲まれた部分の面積がはいくらか？
これは計算するとｘ＝１でｙ＝０とわかりますが、そこからわからないのですが？？？


4582．Re: わからん！
名前：たか    日付：11月28日(木) 22時3分
書き間違いではないでしょうか？

その場合は面積は０だと思うんですけど・・・

4587．Re: わからん！
名前：ヨッシー    日付：11月28日(木) 22時20分
まずグラフを描きましょう。
グラフを正確に描けば、どこからどこまで積分すればいいかわかります。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

4589．Re: わからん！
名前：なお    日付：11月28日(木) 23時17分
これはマイナスのところの面積になるからーｙ＝ーｘ２＋ｘになって
０～１まで積分するのはわかるんですが、積分のしかたがわかりません
って言うか基本がわかっていないと思います！わかりやすくお願いします。

4593．Re: わからん！
名前：小５ですけど    日付：11月29日(金) 1時17分
S = |∫{0,1} 0 - (x^2 + x) dx| = |[-(x^3/3 + x^2/2)]{0,1}| = ...

4594．Re: わからん！
名前：小５ですけど    日付：11月29日(金) 1時18分
絶対値はいらないですが、まぁ、勢いでつけてしまいました。
謝ります。

4599．Re: わからん！
名前：なお    日付：11月29日(金) 20時15分
小五のくせになかなかやるなー
なんでそんなにわかるんだよ？
俺はもうおじさんだからなー、公式とかわかりやすく頼むよ！！
なんせ何年も前の話しだからさー・・・・

4600．Re: わからん！
名前：知也    日付：11月29日(金) 22時28分
公式は∫（α→β）(x－α）（x－β）ｄｘ＝1/6(β－α）＾3というのがある。ここでα＝‐1　β＝0　とおけば1/6はすぐでますねえ。

4576．微分  
名前：walton    日付：11月28日(木) 14時5分
「逆さまにした円錐にある一定のスピードで水を入れていく。水深○○ｃｍのときの水深の瞬間の増加速度を求めよ」のような微分を使った形式で、ユニークな問題があったら教えて下さい。べつに円錐の問題じゃなくてもかまいません。よろしくお願いします。


4577．Re: 微分
名前：中川　幸一    日付：11月28日(木) 17時26分
旧課程の大学入試問題を調べてみてはいかがでしょうか？
微分方程式を用いた問題なら幾つか見つかるはずです。
東大の後期試験等も参考なさると良いと思います。
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

4571．数的推理  
名前：たかし    日付：11月28日(木) 3時48分
数的推理の問題を解いていて分からない問題があるので教えてください。

①濃度２０％の食塩水５００ｇがある。この食塩水から何ｇかを捨てて、同じ重量の水を補う。さらに最初に捨てた食塩水の５倍を捨てて、捨てた分だけ水を補う。このとき濃度が９％になった。最初に捨てた食塩水は何ｇか。

②A・B二人が封筒の宛名書きの仕事をするのに、それぞれ一人でやればAは６時間４０分、Bは４時間かかる。では、A・Bがいっしょにすると、何時間でこの仕事を終えることができるか。

③ある会社の前年度の総従業員は６００人未満で、男女の比は５：２だった。今年度、新入社員を男女同数採用したら、男女の比は１２：５になり、総従業員数は６００人を超えた。今年度の採用者数は何人か。

上の３つの問題です。問題集の答えを見ても、解説がなくどういう風に考えているのかが分からないので、考え方をやさしく教えてください。お願いします。


4575．Re: 数的推理
名前：ヨッシー    日付：11月28日(木) 9時42分
(1)最初に捨てた量をｘｇとすると、
　捨てた食塩水の中には 0.2ｘｇ の食塩が入っていて、この分が減るので、
　残りは　100－0.2ｘ ｇ
　実はこの式を変形すると、0.2(500-x) ｇ になるので、濃度自体は、
　(500-x)/500 倍になっていると考えられます。（下図参照）

　よって、２回目の操作では、(500-5x)/500 倍 になります。
　最初の濃度が 20% なので、
　0.2 × (500-x)/500 × (500-5x)/500 ＝ 0.09
　これを解いて、ｘ＝550, 50 ｘ≦500 より ｘ＝50　　５０ｇ

(2) 分で表すと　Ａは４００分、Ｂは２４０分なので、最小公倍数は１２００
全部の封筒を１２００枚とすると、１分間に、Ａは３枚、Ｂは５枚書きます。
２人だと、１分間に８枚書けるので、
　１２００÷８＝１５０　　答え　２時間３０分

文字を使うなら、全枚数をｘとおいて、ｘ÷(x/400 + x/240)=150 です。

(3)
男女の差は変わらないので、比の差も同じになるようにします。
　５：２　→　３５：１４
　１２：５　→　３６：１５
よって、
(前年男):(前年女):(採用男):(採用女)＝３５：１４：１：１
になります。
６００人の付近を調べると、
　６００÷(３５＋１４)＝１２．２・・・
　６００÷(３６＋１５)＝１１．７・・・
よって、比を１２倍して、
(前年男):(前年女):(採用男):(採用女)＝４２０：１６８：１２：１２
　前年総従業員：５８８人　採用後：６１２人
採用人数は　１２＋１２＝２４（人）
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

4567．数Ｂのド・モアブルの定理を用いた方程式の解き方について教えてください  
名前：まめじ    日付：11月28日(木) 0時41分
①ｚ＾3＝i

②ｚ＾4＝－１

上記の２問のとき方について教えてください。
よろしくお願いいたします。


4568．Re: 数Ｂのド・モアブルの定理を用いた方程式の解き方について教えてください
名前：ヨッシー    日付：11月28日(木) 1時31分
こちらも参考にして頂くとして、
　ｚ＝ｒ(cosθ＋ｉsinθ)
とおくと、別の複素数
　ｖ＝ｓ(cosφ＋ｉsinφ)
との積は、
　ｚｖ＝ｒｓ{(cosθcosφ－sinθsinφ)＋ｉ(sinθcosφ＋cosθsinφ)}
　　　＝ｒｓ{cos(θ＋φ)＋ｉsin(θ＋φ)}
と書けます。
よって、
　ｚ3＝ｒ3(cos3θ＋ｉsin3θ)＝i
より、ｒ3＝１、cos3θ＝０、sin3θ＝１
よって、ｒ＝１、3θ＝π/２、５π/２、９π/２
これより、θ＝π/６、５π/６、９π/６
これらを、　ｚ＝ｒ(cosθ＋ｉsinθ)　に代入すれば、３通りの解が得られます。

(2) も同様です。
　

　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

4616．Re: 数Ｂのド・モアブルの定理を用いた方程式の解き方について教えてください
名前：まめじ    日付：12月1日(日) 17時9分
どうもいつもありがとうございます。
参考にさせていただきます。
ありがとうございました。

4564．かけざんの意味について（小6の児童の母より）  
名前：せさみん    日付：11月28日(木) 0時19分
こんばんは
はじめて書き込みさせていただきます

こんなレベルの高いＢＢＳにこんな低次元のことをお尋ねして
たいへんおはずかしいのですが・・・

小学6年生の娘が持って帰ってきた、分数のかけざんの問題です

　1ｄｌで5/8㎡塗ることのできるペンキがあります
　ここに3ｄｌあります
　さて何㎡塗ることができるでしょう

娘は答えはあっていたのですが
3×5/8とやって、式はバツをもらいました
わたしは1単位（もとのかず）が5/8㎡per1ｄｌ　で
それが3単位（3dl）なのだから　
5/8×3　だと考え
娘のバツには納得し、娘も理解していました

しかし夫が
単位になる数が右側にくるのだといってききません

わたしは
○×△だったら
○がもとの数で△が倍にしていく数だと（小学校卒業以来す～っと）
思っていたのですが？

たとえば
時速4キロで歩く人が5時間歩いたら　4×5ですよね？

にさんがろく　と　さんにがろく　では
こたえはおなじでも、意味合いが違いますよね？

そこのところをわからずやの夫に説明するにはどうしたら
いいでしょうか？
（ちなみに商品のレシートの表示などは　単価×数量のものもあれば
数量×単価のものもあり、さんすうの考え方を説明するための
よい具体例にはならず・・・悩んでいます）

くだらなくってすみませんが
小学生をかかえる我が家としては切実な問題なのです
どうかよろしくお願いいたしますm(__)m


4565．(untitled)
名前：a    日付：11月28日(木) 0時29分
夫の気持ちとしては、
3x
x=5/8 という感じなんでしょうね。

ま、納得させる必要があるんでしょうか・・・。
そもそもどちらが正しいなどとはいえない問題だと思いますが。

n円のたこ焼きを10002363個買う。このとき、いくらかかるか。
小学生
n×10002363
中学1年生
10002363n

みたいな。かんじですか。ま、×をつけたのは、分からんでもないですけど。

4572．Re: かけざんの意味について（小6の児童の母より）
名前：terry    日付：11月28日(木) 8時5分
最近知りましたが
物理では　次元分析という
のだそうですが

　単位を考えると

この問題は

平米/ｄｌ　×　ｄｌ　＝　平米
ｄｌ　ｘ　平米/ｄｌ　＝　平米

ということになり　単位さえしっかりしていれば
どちらでも　順序はかまわない，というのが
大学レベルの話ではないかと思います．

しかし　小学生の場合は　この単位の組み合わせ
かける，わる　ということが　理解しにくいので
最初の単位　が　最後に　生きてくると　教えるのではないでしょうか．

本当は　平米/ｄｌ　なのですが
平米　とかんがえて　答えが平米になる，と教えるわけです．

4573．aさんありがとうございます
名前：せさみん    日付：11月28日(木) 8時14分
ａさんさっそくのレスありがとうございます

さんすうと数学は違うのだということが、
「たこやき」の例ですっきりと分かりました。

ｙ＝ａｘ　の　ａのところにたこやきの数量がくるんですね？

でもまあ「ペンキ」の問題はあくまでも小学生の[さんすう]のお話なので

○×△＝□

○が元になる数、△が倍にする数、□が積　と
と「小学生」である娘には「教えていい」でしょうか？

あまりにも低いレベルのお話でお恥ずかしいのですが。。。
(~_~;)

4574．ｔｅｒｒｙさんありがとうございます
名前：せさみん    日付：11月28日(木) 8時22分
いろいろレスがついてほんとにここにご相談にきて
よかったですｖｖｖ
ありがとございます

「次元分析」という概念を私はまったく知りませんが
似たようなことをゆうべ夫が私に申しておりました
夫はいちおう土木やなので、きっとそういう概念は知っていて
今回のような文章題で、
式を考える際の「小学生のさんすうの考え方」なんか
忘れちゃっているのかも知れませんね～？

なにしろ私は中学ですでに数学落ちこぼれでしたんで・・・
(^◇^;)

4563．(untitled)  
名前：アキーラ    日付：11月28日(木) 0時14分
リンゴが４箱、なしが５箱ある。それぞれ１箱に一定の数だけ入っている。今リンゴとなしをそれぞれ何人かの子供に分けたところ一人の子供が持っているリンゴとなしの個数の比は８：５になり、リンゴは１６個、なしは３０個余った子供の数は何人か。
すいません。問題をはっきり覚えてないんですけど、これだけでわかりますか。できれば過不足算をつかってといてほしいのですが


4569．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：11月28日(木) 1時46分

リンゴ一箱、なし一箱の個数は同じとします。

余った個数を１箱あたりに割り振ると、それぞれ、４個、６個となります。
実際に配った個数（図の斜線分）の、一箱分の比率は
　８÷４：５÷５＝２：１
です。この、２と１の差は、６個と４個の差なので、
丸１は２個分になります。

よって、一箱に入っている個数は８個。
配ったのは、リンゴ１６個、なし１０個　となり、
人数は、公約数で　１人または２人　となります。

過不足算では、ありませんが、こんな感じでどうでしょう？

「リンゴ一箱、なし一箱の個数は同じとします。」は勝手に付けた条件ですが、
これがないと、答えは出ません。
他の条件が付くのかも知れませんが。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

4562．(untitled)  
名前：浪人    日付：11月27日(水) 23時54分
放物線C:y=ax^2の、x=1/2aにおける接線を軸とし、y軸正の部分と接するCと合同な放物線の方程式を求めよ。

回転→平行移動　でやると、
計算が煩雑になって手に負えないんですけど、うまい方法はありませんか？


4566．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：11月28日(木) 0時36分


平行移動→回転
の順でやったらいいでしょう。
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

4561．愛知大かどっかの過去問ですが・・・答がなくて困っています  
名前：受験生    日付：11月27日(水) 23時44分
x>0,y>0,nは自然数
y=k(x2n-1-x)
x=k(y2n-1-y)
が、x≠yなる解をもつためのｋの範囲をｎをもちいて表せ。

全くどうしようもないんですけど。。。
これって難しいんでしょうか


4588．そりゃ、小学５年生には難しいでしょうな。
名前：est.    日付：11月28日(木) 23時6分
とりあえず２式の持つ図形的意味を考えてみましょう。

---

n=1,2あたりで実験してみて答えを出した、という回りくどい事をしてしまい、私には数学的センスが無いと再認識してしまいました(^^;

＃よって、上記のアドバイスも全くの回り道かも。

4601．(untitled)
名前：小５ですけど    日付：11月30日(土) 16時56分
図形的意味は分かりますが、答は出せません。
図形的に処理するのは不可能だとおもいます。
というわけで諦めました・・・。
ありがとうございました。
n=2ではk>2でしたが、それ以上は分かりません。

4625．Re: 愛知大かどっかの過去問ですが・・・答がなくて困っています
名前：GM    日付：12月2日(月) 17時2分
もうこのスレッドは見てないかな。
図を描いて考えると、条件を満たす交点は０と１の間にあることが分かります。
ｋは負なのでｎ＝２のときはｋ＜－２ですね。ｎ＝２のときどうやって解いたのかな。
微分を使えば一般のｎについて解くことができると思います。

4550．どうもわかりません！！至急  
名前：タッキー    日付：11月27日(水) 22時39分
ｙ＝ｘ２＋３ｘ＋１の頂点の座標を求めよ！
これは
ｙ＝（ｘ２＋３ｘ）＋１にして

ｙ＝（ｘ＋１．５ｘ）ー２．２５＋１になって

ｙ＝（ｘ＋１．５）二乗ー１．２５になりますよね。

ここまであっていますか？？


4552．Re: どうもわかりません！！至急
名前：ヨッシー    日付：11月27日(水) 23時5分
途中の
ｙ＝（ｘ＋１．５ｘ）ー２．２５＋１
は
ｙ＝（ｘ＋１．５）2－２．２５＋１
です。
最後は合ってます。
　
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4548．またまたです  
名前：まき    日付：11月27日(水) 20時45分
高二です。底の変換公式のとこの質問です。
ログ8の4って問題をとくときに、途中計算はログ2の8分のログ2の4って出てきますよね。なんでログ8のままいかずログ2にかわるんですか。


4549．Re: またまたです
名前：知也    日付：11月27日(水) 21時25分
できるだけ底はちいさい数のほうがいいのです。（素因数分解できる場合）

4555．Re: またまたです
名前：ヨッシー    日付：11月27日(水) 23時10分
「８＝２3、４＝２2 だから、
４は８の 2/3 乗だなぁ」とすぐ思いつける人は、別にこういう変形は必要ありません。

底を２にするのは、理由あってのことです。それは、この問題を最後まで解けば
わかります。
３でも５でもなく２です。
また、＜＜ログ2にかわる＞＞のではなく、意図を持って「変える」のです。
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4531．二次関数で解くのでしょうか・・・。  
名前：ゆうこ    日付：11月27日(水) 13時48分
△ＡＢＣがあり、ＡＢ、ＢＣ、ＣＡの長さがそれぞれ、5　8　7
であるときに、
ＢからＡに向かい点Ｐが、ＣからＢに向かい点Ｑが等速で動くとき、PQの最小値を求めよです。

がんばったのですが解けません　涙。

高校二年生


4532．Re: 二次関数で解くのでしょうか・・・。
名前：ヨッシー    日付：11月27日(水) 14時6分

実は、∠ＡＢＣ＝60°になるのは有名な話ですが、
余弦定理なり、三平方なりを使えば示すことが出来ます。

Ｂを原点とし、Ｃ方向をｘ軸、図の上方向をｙ軸とします。
ＢＰ＝ＣＱ＝２ｘ とおきます。（ｘでもいいですが分数になるので）
Ｐ、Ｑの座標は、Ｐ：(ｘ，√3ｘ)、Ｑ：(８－２ｘ，０) より、
ＰＱ2 をｘで表し、最小値を求めます。

答えは、ＢＰ＝ＣＱ＝４ のとき、ＰＱ＝４ が最小値。
　
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4540．Re: 二次関数で解くのでしょうか・・・。
名前：ゆうこ    日付：11月27日(水) 17時14分
解りました・・・。余弦定理を使えば良かった。
なんか、頭が重かったみたい！助かりました！

4526．複素数がよくわかりません。。  
名前：受験生    日付：11月27日(水) 2時2分
度々すいません。今度は複素数の問題で解答解説もあるのですが、それを読んでも、なんでそうなるのかどうにもわかりません。。。どうかよろしくお願いいたします。

(問) Ｚ1Ｚ2 = -1、Ｚ1^2/Ｚ2 = i を同時に満たす複素数Ｚ1,Ｚ2を求めよ。


4529．提言
名前：占星術師    日付：11月27日(水) 8時50分
そのような場合は、「なんでそうなるかをわからない」部分を書いた方が
より的確なアドバイスが得られるかも知れないと呟いてみるテスト。

4530．Re: 複素数がよくわかりません。。
名前：ヨッシー    日付：11月27日(水) 9時23分
考えられるのは、
１．Ｚ1＝ａ＋ｂｉ，Ｚ2＝ｃ＋ｄｉ とおいて、実部、虚部 を比較する。
２．Ｚ1＝ａｅｉθ、Ｚ2＝ｂｅｉφ とおいて解く。
の２通りですが、１．はたぶん、えらく大変なので、２．を使って解くのだと
思われます。
となれば、先にこちらを読んでおかれることをおすすめします。
　
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4537．Re: 複素数がよくわかりません。。
名前：受験生    日付：11月27日(水) 16時49分
下のスレッド4523と4525に、再び疑問点を挙げておきましたので、どうかお知恵を貸してください。あと、この複素数の問題ですが、この問題は解説があって、実際に計算していくところはなんとか理解できました。ですが、序盤にどうしてもわからない（というか、そんな考え方を思いつくことができない）部分がありますので、どうしたらそんな考え方ができるのか、教えてください。

解説に、「Z1Z2=-1･･･①、(Z1^2/Z2)=i･･･②とする。
　　　　　①ｘ②からZ1^3=-i」
とありまして、ここまではいいんです。このあと、
「ゆえに(Z1/i)^3 = 1 よって、Z1/iは１の3乗根である。」
と、続くんです。

確かに、そうなのかもしれませんが、このゆえにの後の式計算はどのようにして考えたらいいのでしょうか？
式自体は、①ｘ②の結果の両辺をi^3で割れば成り立っているのはわかります。でも、たとえば試験中にそんな3乗根の形にしようなんてひらめくのでしょうか？せいぜい、両辺にiを掛けて、右辺を１にするくらいのような。。もう、テクニックと割り切るしかないということですかね？

ちなみに、この後どう続くかというと、

「したがって、(Z1/i) = 1, (-1+√3i)/2, (-1-√3i)/2
　ゆえに、Z1 = i, (√3-i)/2, (-√3-i)/2
　①よりZ2 = (-1/Z1)であるから、
　(Z1,Z2) = (i,i),
　　　　　　{(√3-i)/2, (-√3-i)/2},
　　　　　　{(-√3-i)/2, (√3-i)/2}
　」
というのが解答で、この部分は納得できました。
あとの疑問点は、やはり上述した部分なのですが、良い考え方はありますでしょうか？

4544．Re: 複素数がよくわかりません。。
名前：ヨッシー    日付：11月27日(水) 18時12分
Z1^3=-i
から
「ゆえに(Z1/i)^3 = 1 よって、Z1/iは１の3乗根である。」
が得られるところに、絞ってお答えします。

まずは、-i＝i^3 であることに気付けば、
　 Z1^3=i^3　より、　Z1^3/i^3＝１ はすぐ得られます。

そうでなければ、上に書いた、複素平面を持ち出すか、
　Z1＝ａ＋ｂｉ　(ａ，ｂは実数)とおいて、
　Z1^3＝(ａ^3－３ａｂ^2)＋(３ａ^2ｂ－ｂ^3)ｉ＝－ｉ　より、
　ａ(ａ^2－３ｂ^2)＝０，　ｂ(３ａ^2－ｂ^2)＝－１
ａ＝０　のとき、－ｂ^3＝－１ より、ｂ＝１　Z1＝ｉ
ａ^2－３ｂ^2＝０ のとき、ａ^2＝３ｂ^2 より、
ｂ(９ｂ^2－ｂ^2)＝８ｂ^3＝－１　　ｂ＝-1/2　ａ＝±√3/2 より、Z1＝±√3/2－ｉ/2
などともできます。

技は技として覚えればいいですが、何がなんでも答えを出すということが大事です。　
　
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4591．Re: 複素数がよくわかりません。。
名前：受験生    日付：11月29日(金) 0時36分
どうもありがとうございました。納得いたしました！

4525．教えてください。  
名前：受験生    日付：11月27日(水) 1時53分
もう少し教えてください。今度は数列かなと思いきや、違うようです。。どうかよろしくお願いします。

（問）ａ1,ａ2,･･･,ａn およびｂ1,ｂ2,･･･,ｂn は1,2,･･･,n を任意の順序に並び替えたものとする。ａ1ｂ1+ａ2ｂ2+ ･･･ +ａnｂn が最大になるのはどんな場合か。また、最小になるのはどんな場合か。


4527．一般的にやっちゃう
名前：占星術師    日付：11月27日(水) 8時38分
一般に、
『p1≧p2≧……≧pnおよびq1≧q2≧……≧qnのとき、
積の和については、大きさの順番通りに掛けるときが最大すなわち
　Σ[k=1,n]pkrk≦Σ[k=1,n]pkqk
（ここで、{rk}(k=1,2,...,n)は{qk}の任意の置換で得られる数列）
片方を大きい順に、もう片方を小さい順に並べて掛けるときが最小、すなわち
　Σ[k=1,n]pkrk≧Σ[k=1,n]pkqn+1-k』
となることを予想した上で、数学的帰納法で『』を示します。
n=2のときは(p1q1+p2q2)-(p1q2+p2q1)=(p1-p2)(q1-q2)≧0でO.K.　
n≦m-1について『』の成立を仮定する。{rk}(k=1,2,...,m)を上と同様に定める。
r1=q1ならば、残りm-1個についての帰納法の仮定より、
　Σ[k=1,m]pkrk=p1q1+Σ[k=2,m]pkrk≦p1q1+Σ[k=2,m]pkqk　…[1]
が成立。r1=qs(s＞1) 、q1=rt(t＞1) ならば、n=2のときの結論より、
　p1r1+ptrt≦p1q1+ptr1
であるから、ちょこっと並べかえればr1=q1の場合に帰着し、[1]が成立。
r1=qmならば、残りm-1個についての帰納法の仮定より、
　Σ[k=1,m]pkrk=p1qm+Σ[k=2,m]pkrk≧p1q1+Σ[k=2,m]pkqm+2-k　…[2]
が成立。r1=qs(s＜m) 、qm=rt(t＞1) ならば、n=2のときの結論より、
　p1r1+ptrt≧p1qm+ptr1
であるから、ちょこっと並べかえればr1=qmの場合に帰着し、[2]が成立。

ご質問の問題は、上の結論の特別な場合にあたります。1,2,...,nであることを
利用してもっと手早く示すこともできるかも知れません。

4536．Re: 教えてください。
名前：受験生    日付：11月27日(水) 16時8分
うーむ。なんだか難しいです。やはりΣとかを使うしかないのでしょうか。Σって言ったら、数列の考え方ですよね。数列の知識は使わずに解ける、って聞いたのですが、無理なのかな。。。他にいい案がありましたら、ぜひご教授ください。よろしくお願いいたします。

4546．Re: 教えてください。
名前：nabeX    日付：11月27日(水) 18時52分
a=(a1,a2,…,an)　b=(b1,b2,…,bn)　
というn次元ベクトルを考えれば
その内積(ユーグリット内積)はa1b1+a2b2+…+anbn
となります。
schwarzの不等式より　a・b≦|a||b|
等号成立はa=bですから
二つの数列が一致するとき最大になります。
この議論だと最小値を求めるのは難しそうですが。

4592．Re: 教えてください。
名前：受験生    日付：11月29日(金) 1時9分
占星術師さん、nabeXさんありがとうございます。もう少し考えてみます。

4523．(untitled)  
名前：受験生    日付：11月27日(水) 1時23分
なんかすごく単純そうな気がするのですが、できそうでできません。。
教えてください。。。高３です。

長方形ABCDで、AB=2とする。対角線BDに関して、点Cと対称な点をEとすると、AE=2となるとき、
(1) BCの長さを求めよ。

→ →　→ →　　　　　　→　→　　　　　　→　→
(2) AB= b、AC= Cとするとき、AE、CEをそれぞれ、b、ｃ　で表せ。
　　（上の矢印はそれぞれ、ベクトルの記号を表しています）

よろしくお願い致します。


4524．Re: (untitled)
名前：受験生    日付：11月27日(水) 1時26分
あれえ。投稿したら、矢印がめちゃくちゃになっちゃいました。(2)の問題の上にある矢印は、その行にある全ての記号の上に乗せて考えてください。全部ベクトルです。よろしくお願いします。

4528．１つの方法
名前：占星術師    日付：11月27日(水) 8時47分
(ベクトルABをABのように太字で表記します)
(1)　図を自分で補いながら読んでください。
∠ABD=θ(0°＜θ＜90)とすると、対角線BDの長さは2/cosθ。
点A,Cから対角線BDにおろした垂線の足をそれぞれF,Gとすれば、BF=DG=2cosθ。
よって、FG=(2/cosθ)-4cosθとなるが、FGの長さはAEの長さに等しいので、
(2/cosθ)-4cosθ=2　ここからcosθ=1/2すなわちθ=60°故にBC=2√3
(2)　１つの方法の概略だけ（別解もあるかも知れない）。
AE=s*b+t*c（s,tは実数）とおき、これとAB・AE=-2および
AC・AE=4からs,tが決まる。なお、これらの内積の値は(1)から即解る。
ちなみにs=-1, t=1/2

4534．Re: (untitled)
名前：受験生    日付：11月27日(水) 15時18分
ありがとうございました。

(1)の方はよくわかりました。
しかし、(2)がよくわかりません。。。

あるベクトルを他のベクトルの和で表すとき、係数部分のｓとｔの合計が１になるようなやり方しかやったことがありません。また、内積の方もAC･AEが4になるのはわかったのですが、AB･AEがなんでｰ2になるのかわかりません。かなり初歩でつまづいていて申し訳ありません。ご教授お願いいたします。また、ベクトルＣＥをｂとｃを使って表す解答も教えていただけるとありがたいです。よろしくお願いします。

4543．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：11月27日(水) 17時49分
＞係数部分のｓとｔの合計が１になるようなやり方しかやったことがありません。
それは、直線を表す場合です。
こちらを参照してください。
平面上の任意の点は、平行でない２つのベクトルの一次結合で、係数を適当に
決めれば表すことが出来ます。


さて、この問題は、計算に入る前に、図形的にどうなっているかを確認すると、
見通しが良くなります。

△ＡＢＤ、△ＥＢＤはともに直角三角形なので、Ａ，Ｅともに、ＢＤを直径とする円上にあります。
さらに、ＢＡ＝ＡＥ＝ＥＤ＝２ なので、正六角形が見えてきませんか？
すると、角度などすべて明らかになるので、内積も簡単に求められます。
　
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4516．ごめんなさい  
名前：あき    日付：11月26日(火) 22時54分
Ｑ1は数式を使って証明する方法を教えていただきたいです！Ｑ2以降も自分では不安なので、できればお願いします！

　Ｑ2．√2が有理数でないことを示せ。
　　　　　　　Ａ.√2は2つの整数の商で表せない数なので無理数である。
　　　　　　　　　　　　・・・これでいいんでしょうか？

　Ｑ3．０＜ａ＜１のとき、以下の級数の値を計算しなさい。

　　　①１＋ａ＋ａ2＋ａ3＋...＋ａn＝
　　　
　　　②１＋ａ＋ａ2＋ａ3＋...＝

　　　　　　　　　　すみません１・２・３・ｎは乗数です。。。

　　高校のときは、数学がダイスキだったんですが、大学に入って全然勉強しない内に、簡単な問題も解けなくなったみたいです。お願いします！！！！！


4518．Re: ごめんなさい
名前：nabeX    日付：11月26日(火) 23時41分
Q1 √2が有理数であるなら互い素な自然数p,qを用いて√2=p/q　とかける。分母を払って両辺を二乗すると2q2=p2
これよりp2は2の倍数であることがわかる。p2が2の倍数ならpも2の倍数であるので
改めてp=2rと置くと　2q2=4r2　つまりq2=2r2
これよりq2は2の倍数でありよってqは2の倍数である。
これよりp,qはともに2の倍数であることになるが、これはp,qを互いに素とした仮定に反する。
故に√2は既約分数の形にかけないので有理数ではない。

Q2　S=1+a+a2+a3+…+an　とします。
aS=a+a2+a3+…+an+1　となるので
S-aS=(1-a)S=1-an+1　1-aは0でないので　両辺を1-aで割れば
s=(1-an+1)/(1-a)

Q3　求める級数の値はlim[n→∞]Sである。
S=1/(1-a)-an+1/(1-a)　とかける。
|a|＜1であるaに対し　lim[n→∞]an=0　を認めてよいなら
lim[n→∞]an+1/(1-a)=0　であるので
lim[n→∞]S=1/(1-a)

lim[n→∞]an=0　も示したほうが良いのでしょうか？

4519．ありがとうございます！！！
名前：あき    日付：11月27日(水) 0時4分
細かく答えていただいて本当にありがとうございます。

　lim[n→∞]an=0　からは自分でやってみます。

自分勝手でホント申し訳ないんですけど、もう1問わからないんです。

　　Ｑ、ｘｙ平面上に以下の式を図示せよ。

　　　　　　ｘｙ＝ｋ　(ｋ＝１，２，３）

　　　普通にｋを当てはめちゃ、ダメですよね？

4520．Re: ごめんなさい
名前：nabeX    日付：11月27日(水) 0時12分
K=1,2,3 それぞれ当てはめて描けば良いと思いますよ。

4522．バカ大学生でごめんなさい。。
名前：あき    日付：11月27日(水) 0時42分

　長々ありがとうございました！
　ほんと助かりました。感謝感謝です！！
　
　

4513．高2です  
名前：まき    日付：11月26日(火) 20時52分
じゃあ、ログ3分の1はなぜー1になるんですかね。


4515．高2ですか
名前：占星術師    日付：11月26日(火) 22時12分
3^-1（数学掲示板では3の-1乗を普通こう書きます）=1/3だから。
この説明と、教科書に書いてある対数の定義を合わせれば解るはず。
万一解らなかったら右上の「返信」をクリックしてから更に書き込んでください。

4512．大学生ですが。。。  
名前：あき    日付：11月26日(火) 20時28分
ゼミのクラス分けをするための選抜テストを出されてしまいました！高校の時の参考書をもう捨ててしまっていて、なかなか自分では難しいのでお願いします！

Ｑ1．任意の３点Ｐ，Ｑ，Ｒについて、ＰＱ，ＰＲ，ＱＲを線分の長さとすると、次の三角不等式が成り立つことを示せ。
　　ＰＱ＜ＰＲ＋ＱＲ
　　　　＝

　　
　　

　　　


4514．大学生ですか...
名前：占星術師    日付：11月26日(火) 22時8分
＞３点Ｐ，Ｑ，Ｒ
ということは、その３点をノートか何かに描いてみれば明らかじゃないですか！？
それともそういう趣旨の問題ではなく、何らかの“数式”による証明が
要求されているのでしょうか（もしそうならそうと書こう）

あと、Q2以降はないのかな？

4510．高2です  
名前：まき    日付：11月26日(火) 20時17分
次の値をもとめよ。
1,log3の27分の1のとき方で、27分の1がー3になるのはなぜですか。


4511．Re: 高2です
名前：terry    日付：11月26日(火) 20時28分
この問題は
　３の何乗が　1/27となるか，という問題ですね．

　3の３乗は3ｘ3ｘ3で27になりますよね．
３のマイナス３乗は，その逆数となりますから
1/27となります．

つまり３のマイナス３乗が　1/27ですから

マイナス３が　答えになります．

4508．十分性の確認？  
名前：けん    日付：11月26日(火) 15時27分
高校3年です。

(1)　任意の実数 x,y,z について
　　　(x+y+z)2≦3(x2+y2+z2)
が成り立つことを証明せよ。

(2)　実数 x,y,z,t が
　　　x+y+z+t=6,　x2+y2+z2+t2=12
を満たすとき，t の最大値と最小値を求めよ。

という問題で，(1)はできたのですが，(1)の証明した式に(2)での条件式を
代入して
　(6-t)2≦3(12-t2)⇔t(t-3)≦0⇔0≦t≦3
を得るので，最大値は 3，最小値は 0 としたのですが，どうやら
「代入したときに得られるtの範囲は必要条件に過ぎないから，十分性の
確認もしないといけない」らしいんです。これがどうもよくわからない
のですが，どういう意味なんでしょう？

すいませんが，どなたか教えていただけないでしょうか？


4509．Re: 十分性の確認？
名前：ヨッシー    日付：11月26日(火) 16時0分
よく、最小・最大値の問題の答え方で、
ｘ＝○○のとき最小値が××。
というふうにしますが、この「ｘ＝○○のとき」の部分が
十分性の記述ではないかと思います。
一応ｔの存在範囲として　０≦ｔ≦３ と絞り込めたものの、
本当にｔ＝０およびｔ＝３は存在するのか？という、疑いがあります。

具体的には、
　ｘ＝ｙ＝ｚ＝１ のとき、最大値３
　ｘ＝ｙ＝ｚ＝２ のとき、最小値０
としておけばいいのではないでしょうか？
　
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4570．Re: 十分性の確認？
名前：けん    日付：11月28日(木) 1時53分
なるほど。確かに t の値の範囲は求まったが、それは(0≦t≦3 が)
条件を満たすために最低限"必要"なだけで、t が 0 や 3 など、
「その範囲の数をとるときの実数 x, y, z が存在するかどうかまでは
保証してない」ということですね？

普通自動車の免許証を取得するには18歳以上であることが"必要"だが、
18歳だからといってみんなが免許を持っているわけではない。

と同じ理屈でしょうか。

4504．お願いします。  
名前：某大学1年    日付：11月25日(月) 17時56分
解析学の中間テスト対策をしていたのですが、次の問題がどうしてもできません。ご指導よろしくお願いします。

【問題】次の関数を積分せよ。
(1) 1/{x+√(x2+x+1)}
(2) (x+sinx)/(1+cosx)


4505．Re: お願いします。
名前：nabeX    日付：11月25日(月) 20時17分
(1)　この手の問題の常套手段はt-x=√(x2+x+1)と置いて置換積分することです。
すると両辺二乗してt2-2tx+x2=x2+x+1となるから
x=(t2-1)/(1+2t)　となり有理関数の積分に帰着します。

(2)少々トリッキーですが、半角公式から1+cosx=2cos2(x/2)
またsinx=2sin(x/2)cos(x/2)　より
(x+sinx)/(1+cosx)=x/{2cos2(x/2)}+tan(x/2)
これより∫1/{2cos2(x/2)}dx=tan(x/2)　を利用すると
∫(x+sinx)/(1+cosx)dx
=∫x/{2cos2(x/2)}dx+∫tan(x/2)dx
=xtan(x/2)-∫tan(x/2)dx+∫tan(x/2)dx　←部分積分をしました。
となります。

4521．Re: お願いします。
名前：某大学1年    日付：11月27日(水) 0時16分
早速の回答ありがとうございます。
(1)
√(x2+x+1)=t-xとおくと
x2+x+1=t2-2tx+x2
⇔x=(t2-1)/(2t+1)
⇒dx={(2t2+2t+2)/(2t+1)2}dt
　√(x2+x+1)=t-(t2-1)/(2t+1)=(t2+t+1)/(2t+1)
∴∫[1/{x+√(x2+x+1)}]dx
=∫[{(2t+1)/(t2+t+1)}*{(2t2+2t+2)/(2t+1)2}]dt
=∫{2/(2t+1)}dt
=ln|2t+1|
=ln|2(x+√(x2+x+1))+1|...(Ans.)
というような感じでしょうか。
置換の仕方はあっていたのですが、何故か(今思うと不思議…)できませんでした。

4542．横レス申し訳ないですが…
名前：おおさわ    日付：11月27日(水) 17時38分
(2)は、
xtan(x/2)-∫tan(x/2)dx+∫tan(x/2)dx　
より、「-∫tan(x/2)dx+∫tan(x/2)dx」が消えますから、
解はxtan(x/2) になるのでは？
http://simfan.cn1.jp/mathmarks/

4545．Re: お願いします。
名前：nabeX    日付：11月27日(水) 18時38分
＞∴∫[1/{x+√(x2+x+1)}]dx
＞=∫[{(2t+1)/(t2+t+1)}*{(2t2+2t+2)/(2t+1)2}]dt
ここの変形おかしくないですか？　x+√(x2+x+1)=t　ですよ。

＞おおさわさん
いや、流石にそれは気付いてます。明らかなんで書かなかっただけです。
そのための部分積分ですし。

4503．良い問題集  
名前：とりあへず高２    日付：11月25日(月) 17時26分
　今年はIMOでもやってみようかと思い、今日申し込んできました。
　とりあへず１月１３日にJMO予選があります。そこで、推薦する問題集や参考書がありましたら、是非、教えてください。
　「数学オリンピック財団」のページに少しは載っているようですが......。


4506．Re: 良い問題集
名前：repunit    日付：11月25日(月) 20時54分
過去５年分くらいの問題集が、日本評論社からでてるよ。

4497．順列  
名前：ｍｉｙｕｋｉ    日付：11月24日(日) 23時17分
ｎ個の異なったボールをｍ個の異なった箱に
どの箱の中にも少なくとも１つのボールが入る
ように入れる。このような方法の総数をＮ（ｎ，ｍ）とする。
ｎ≧３のとき、Ｎ（ｎ，３）を求めよ。
この問題の解説が良く分かりません。
解説では、３つの箱をＡ，Ｂ，ＣとするとＡだけが空になるのは
２ｎ－２通り。Ｂ，Ｃが空になる場合も同様。（ここが
分かりません・・）また、ＡとＢが空、ＢとＣが空、ＣとＡが空
となる場合が１通りずつあるので、求める場合の数は
　３ｎ－３（２ｎ－２）－３
＝３ｎ－３・２ｎ＋３（通り）
とあるのですが・・よろしくお願いします。


4498．Re: 順列
名前：ヨッシー    日付：11月25日(月) 0時1分
Ａだけが空の場合。
ｎ個のボールそれぞれについて、Ｂに入れるかＣに入れるかなので、
　２ｎ 通りの入れ方があります。
ただし、この中には、
「すべてＢに入れる」「すべてＣに入れる」の２通りが含まれるので、
　２ｎ－２
です。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

4500．Re: 順列
名前：ｍｉｙｕｋｉ    日付：11月25日(月) 11時37分
それだとＡが空だという事を許していませんか？
ｍ個の異なった箱にどの箱の中にも少なくとも
１つのボールが入るように入れる、とあるので
一つでも箱が空になってはいけないのでは・・？

4502．Re: 順列
名前：ヨッシー    日付：11月25日(月) 15時10分
じゃあ、はじめから。

すべての入れ方は、ｎ個のボールそれぞれについて、Ａに入れるかＢに入れるかＣに入れるかなので、
　３n　通りです。
ただし、この中には、いずれかの箱が空になっている場合が含まれるので、それらを引かないといけません。

１つの箱が空になるのが、　３×(２n－２)　通り、
２つの箱が空になるのが　３通り
なので、それらを引いて、
　３n－３(２n－２)－３
　　＝３n－３・２n＋３　通り、　　です。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

4507．Re: 順列
名前：ｍｉｙｕｋｉ    日付：11月25日(月) 21時19分
わかりました！
ありがとうございました。

4492．二次関数  
名前：しん    日付：11月24日(日) 20時31分
y=x^2とy=2x+15のグラフが二点Ａ，Ｂで交わりy=x^2上を原点Ｏから出発し、点Ｂまで動く点Ｐがある。（１）点Ｐのx座標が２のとき、三角形ＡＰＢの面積を求めよ（２）直線y=-2x-1とy=x^2の交点を求めよ（３）点ＰがＯからＢまで動くとき三角形ＡＰＢの面積の値が自然数となるような点Ｐは何個あるか。中学数学の問題なんでその範囲で解きたいのですが（２）が簡単すぎるのも気になるんですが（３）につながる問題なのでしょうか？誰か解き方のほうよろしくお願いします


4494．Re: 二次関数
名前：ヨッシー    日付：11月24日(日) 22時6分
私のページの「御質問に答えるコーナー」に解答を載せました。

（２）はもちろん（３）で使います。
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

4533．Re: 二次関数
名前：ゆう    日付：11月27日(水) 14時43分
一つ質問させていただきたいのですがなぜ接するときに面積が最大なんでしょうか？なんとなくはわかるのですが・・・。中学数学の範囲で証明できますか？

4547．Re: 二次関数
名前：ヨッシー    日付：11月27日(水) 20時25分
証明は難しいですが、理解は出来ます。
直線ＡＢを放物線のＯからＢの部分と共有点を持ちながら、
出来るだけＡＢとの間隔が大きくなるように平行移動すればいいのです。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

4487．(untitled)  
名前：あき    日付：11月24日(日) 17時48分
(１)サファイヤが４個、ダイヤが２個、ルビーが１個ある。これを使ってネックレスを作るときなんとうりあるか。
(２)１２３４５６７というように７列あってその下が８９１０１１１２１３１４またその下が１５１６１７１８１９２０２１以下同じように続いているこのような表で１３０は何行何列にあるか。
(１)はさっぱり分かりません(２)は１３０を７で割って１８あまり４となり１８行目の４列目と思うのですが間違ってますか？
　　


4489．(2)
名前：花パジャ    日付：11月24日(日) 19時2分
4は4を7で割って、0あまり4だけど、1行目の4列目ですね
11は11を7で割って、1あまり4だけど、2行目の4列目ですね

4490．(1)
名前：花パジャ    日付：11月24日(日) 19時58分
どんなネックレスなのかなぁ?
繋ぎ目があるのか、ないのか?
表裏があるのか、外周に沿って付いていて表裏のないのか?

繋ぎ目がない場合は
まず、ルビーの位置を固定して
ルビー　A　ダイヤ　B　ダイヤ　C
のA,B,C三箇所にサファイアが
　1箇所4個2箇所0個
　3個と1個と0個
　2箇所2個1箇所0個
　1箇所2個2箇所1個
と分れるケースをAとCとの対称性(があるかないかも含め)に注意して数える
繋ぎ目がある場合は、サファイアに関して数え上げる時に
対称性に注意しながら繋ぎ目の位置も数え上げるか、
最初に繋ぎ目を固定してやるか...

4485．何度考えてもわかりません。教えてください（＞＜）  
名前：ゆう    日付：11月24日(日) 13時17分
平面上に３点Ａ，Ｂ，ＣがありＡＢ＝ＢＣ＝ＣＡ＝１である。点Ｂを中心に半径１の弧ＡＣをかく、このとき線分ＢＣ，弧ＣＡ、線分ＡＢに内接する円の半径を求めよという問題でおうぎ形の内接円の半径の求め方ってありますか？ またさらに点Ｃを中心に半径１の弧ＡＢをかく。
このとき線分ＢＣ、弧ＣＡ、弧ＡＢに内接する円の半径を求める問題、そして点Ａを中心に半径１の弧ＢＣをかいてこのとき弧ＢＣ，弧ＣＡ，弧ＡＢに接する内接円の半径はどうやって求めればいいでしょうか？


4488．Re: 何度考えてもわかりません。教えてください（＞＜）
名前：花パジャ    日付：11月24日(日) 18時47分
弧CAと円との接点をP、円の中心をOとする
弧の中心BとO,Pとの3点は一直線上に並ぶので
円Oの半径をr、BO=xとすると
　x+r=1
である
∠OBC=θとする
円と辺BCとが接しているときは
　xsinθ=r
なので
　r=sinθ/(1+sinθ)
1)円と辺BC,ABとが接している時
この図形は直線BOに関して対称なので
　θ=60°/2=30°
　r=1/3
2)円と辺BC,弧ABとが接しているとき
この図形は直線AOに関して対称なので
　r=(1/2)*tanθ
　2cosθ=1+sinθ
2乗して、cos2=1-sin2θを使って
　5sin2θ+2sinθ-3=(5sinθ-3)(sinθ+1)=0
θ<180°なので
　sinθ=3/5
　r=3/8
2)円と弧BC,弧ABとが接しているとき
この図形は直線AO,BO,COに関して対称なので
点Oは△ABCの内接円の中心と一致
　θ=60°/2=30°
で
　xsinθ=x/2=(√3/2)/3
　x=1/√3
　r=1-x=1-1/√3

4491．Re: 何度考えてもわかりません。教えてください（＞＜）
名前：ゆう    日付：11月24日(日) 20時23分
ありがとうございます。一つ質問なのですがなぜ弧の中心BとO,Pとの3点は一直線上に並ぶんでしょうか？？

4493．Re: 何度考えてもわかりません。教えてください（＞＜）
名前：ヨッシー    日付：11月24日(日) 21時22分
私のページの「御質問に答えるコーナー」に解答を載せました。

＞なぜ弧の中心BとO,Pとの3点は一直線上に並ぶんでしょうか？？
一般に２円の接点と、２つの中心は一直線上にあります。
もし、ＢＯＰが折れ曲がっていたら、２円が接せず、２点で交わる等の
ことを示すことが出来ます。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

4495．Re: 何度考えてもわかりません。教えてください（＞＜）
名前：しん    日付：11月24日(日) 22時45分
ご丁寧な回答本当にありがとうございます。もう一つ質問なのですが（２）でなぜ対称だったら内接円の中心はＢＣの垂直二等分線上にあるんでしょうか？なにか証明法とかありますか？また（３）でもなぜ対称だったら内接円の中心は三角形の重心になるんでしょうか？

4499．Re: 何度考えてもわかりません。教えてください（＞＜）
名前：ヨッシー    日付：11月25日(月) 0時10分

ある点Ｄが内接円の半径だとすると、上の図においてＤＥ＝ＤＦ
となり、必然的にＢＤ＝ＣＤとなり、ＤはＢＣの垂直二等分線上にあります。

同じことを２回言えば、(3) の中心が、重心に限られることも言えます。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

4535．Re: 何度考えてもわかりません。教えてください（＞＜）
名前：ゆう    日付：11月27日(水) 15時50分
対称の軸が円の中心をとおりＢＣを二等分するという説明でもいいんでしょうか？

4559．Re: 何度考えてもわかりません。教えてください（＞＜）
名前：ヨッシー    日付：11月27日(水) 23時18分
むむむ？
対称というのは、上の釣り鐘型の図のことでしょうか？

対称軸とＢＣの垂直二等分線が同じものというのは、ほぼ自明です。
とすると、上の質問「なぜ対称だったら内接円の中心はＢＣの垂直二等分線上にあるんでしょうか？」は、
「なぜ、内接円の中心が、対称軸上にあるか？」ということでしょう。
なら、「対称の軸が円の中心をとおり」はまずいでしょう。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

4477．教えてください  
名前：タッキー    日付：11月23日(土) 21時18分
ｘ２＋２ｘ－１＝０の２つの解をA、BとしA>BのときA2－２B+1の値について正しいのは？

１、６　２、５　３、４　４、３　５、２


4478．Re: 教えてください
名前：タッキー    日付：11月23日(土) 21時32分
> ｘ２＋２ｘ－１＝０の２つの解をA、BとしA>BのときA2－２B+1の値について正しいのは？
>
> １、６　２、５　３、４　４、３　５、２



　地上から真上に３９ｍ毎秒の速度で投げ上げられたボールのｔ秒後の高さｙ（ｍ）はｙ＝３０ｔ－５ｔ二乗の式で与えられるという。このとき、ボールは地上何ｍまであがるのか。

１　３０ｍ　２　４５ｍ　３　６０ｍ　４　７５ｍ　５　９０ｍ


放物線ｙ＝ｘ２ーｘとｘ軸で囲まれた部分の面積が、正しいのはどれか。

１　１/２　２　１/３　３　１/５　４　１/６　５　１/７

やり方も、お願いします。

4482．Re: 教えてください
名前：ヨッシー    日付：11月24日(日) 5時42分
ｘ2＋２ｘ－１＝０ の解が、Ａ，Ｂ ということは、
たとえば、Ａについて、
　Ａ2＋２Ａ－１＝０
が成り立つと言うことです。よって、
　Ａ2＝－２Ａ＋１
よって、
　Ａ2－２Ｂ＋１＝－２（Ａ＋Ｂ）＋２
解と係数の関係より、
　Ａ＋Ｂ＝・・・・・・（以下略）
答えは　６


３０ｔ－５ｔ2 の最大値を調べれば、わかります。
私のページの「ミニ講座」に二次関数の最大・最小があります。
答えは４５ｍ


ｘ2－ｘ＝０　の解はｘ＝０，１ なので、
ｙ＝ｘ2－ｘ のグラフは、ｘ軸と（０，０）（１，０）で交わる。
－ｙ＝－ｘ2＋ｘ を０から１まで積分して、
答えは　１／６
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

4517．Re: 教えてください
名前：タッキー    日付：11月26日(火) 23時30分
ホントに恐縮ですが、積分ってどうやるんですか？

4476．高２です★  
名前：まり    日付：11月23日(土) 20時59分
次の関数のグラフを、凹凸、変曲点まで調べてかけ。
①y=xe＾（-x^2/2)
②y=x^2logx
③y=2x-1/x^2
お願いします(ﾟ-ﾟ)


4483．Re: 高２です★
名前：ヨッシー    日付：11月24日(日) 11時39分
私のページの「御質問に答えるコーナー」に解答を載せました。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

4473．再度質問なんですが・・  
名前：ｍｉｙｕｋｉ    日付：11月23日(土) 19時11分
正四面体の４面を赤、青、黄、緑の４色で塗り分ける方法は
何通りあるか。
という問題の解説には以下の様にあるんですが・・
「底面をある特定の色に決めて、残り３面の円順列を考える。
　よって（３－１！）＝２通り」
この問題の意味を私は良く理解してないみたいなんですが、
正四面体の、全部で６面のうちの４面を塗るんですよね？
側面は４面なので、側面だけを塗るとしたら底面は塗らないのでは？
この解説の意味がいまいち良くわかりません。
詳しい説明をよろしければお願いします。


4474．一言
名前：占星術師    日付：11月23日(土) 19時36分
正四面体と立方体（正六面体）を混同していますね。

4496．Re: 再度質問なんですが・・
名前：ｍｉｙｕｋｉ    日付：11月24日(日) 23時8分
こういう勘違いはしちゃいけなかったですね・・
ありがとうございました。

4472．ちょっと長くて面倒かもしれません・・・。  
名前：joan of arc    日付：11月23日(土) 18時1分
ａを定数とする。二次関数ｙ=（X－ａ）2＋４（１≦X≦３）の最大値をM、最小値をｍとした時、Mとｍをａの式で表せ。　

１、軸が定義域の左側にある場合
　　　　ａ＜１のとき

２、軸が定義域の中にあり左よりにある場合
　　　　１≦ａ＜２のとき

３、軸が定義域の中にあり右寄りにある場合
　　　　２≦ａ＜３のとき

４、軸が定義域より右側にある場合
　　　　ａ≦３のとき

この順でといていきますよね？答えは出せるんです。が、この符号の意味が解りません。何でこうなるのか、なんでこのように書かれているのかが解りません。解りやすく説明して頂けないでしょうか。


4475．Re: ちょっと長くて面倒かもしれません・・・。
名前：ゆうこ    日付：11月23日(土) 20時18分
みていたら　わかりましたので
　書かせていただきます．

グラフの移動でイメージすると
よくわかるのではないでしょうか．

与えられた式は
頂点が　（a，４）である　二次関数のグラフを表しています．

aの値によってグラフが移動していくので
ｘが1から3の範囲を　どうグラフが　横切るか
で　最大最小の値が決まります．

頂点が　1--3の範囲内にあるときには

これは下に凸のグラフですから　頂点が最小値　で４　になります．
頂点が　その　外側にあれば　右端か左端の　1，３に対応する
数値が　最小値になりますよね．

　このグラフは　aの値によらず　同じ形ですから
　自分で　グラフを動かしてみると
　よくわかるのではないでしょうか．

　グラフをうごかしても
　ｘｙ軸をうごかしても　同じことですね．

4469．個数の処理から  
名前：ｍｉｙｕｋｉ    日付：11月23日(土) 16時14分
１から２ｎ－１までの奇数の和は
１＋３＋５＋・・・＋（２ｎ－１）＝ｎの２乗
という公式について、これはどう活用すればよいのでしょうか。
例えば１から５７までの奇数和を求めるとき、ｎはどうやって
求めればいいのかわかりません。
よろしくお願いします


4470．Re: 個数の処理から
名前：INA    日付：11月23日(土) 16時34分
2n-1=57とすればn=29、というのではどうでしょう。

4471．Re: 個数の処理から
名前：ｍｉｙｕｋｉ    日付：11月23日(土) 16時55分
あー！簡単なことですね・・。
ありがとうございます。

4468．質問です。  
名前：おおさわ    日付：11月23日(土) 14時50分
えっと、フレッシェ微分のところで出てきたんですが、
f(x)と導関数f'(x)は、
lim[h→x]||f(x)-f(h)-f '(x)(x-h)||/||x-h||
を満たしますが、
x∈Ra , f(x)∈Rbのとき、
f '(x)∈Rn とすると、
一般にnの値は何になるのでしょうか？
ただし、∀a,b∈N; n∈N です。

よろしくお願いいたします。
http://simfan.cn1.jp/mathmarks/


4479．根本的な誤解が１つありそうです
名前：占星術師    日付：11月23日(土) 22時29分
書き込まれたFrechet微分可能の定義はちょっとおかしいです。=0では？
それはさておき、一般的なaffine-norm空間でのFrechet微分の定義については
例えばこちらを参照していただくとして、
f:Ra→Rbなる写像fのFrechet導写像は、
Ra→Rbの連続線形作用素になります。
つまり、Rnの要素にはなりません（ここに大きな誤解あり）。
a×bの行列として表すことは可能なはずです。

4484．Re: 質問です。
名前：おおさわ    日付：11月24日(日) 12時17分
あ、=0を入れ忘れていました。すみません。（汗
R^nにはならないのですね。
行列になるということは、想像する限りでは、
例えば、f(x,y)=z (x,y,z∈R^1)のときは、
f'(x,y) =(f[x](x,y) , f[y](x,y))
と表せそうですね。

占星術師さん。ありがとうございました。m(-_-)m
http://simfan.cn1.jp/mathmarks/

4467．元利均等償還率について質問です。その２  
名前：一太太一    日付：11月23日(土) 14時28分
4454でヨッシーさまにお世話になった者です。
再び元利均等償還率について質問です。
{r*(1＋r)^n}/{(1+r)^n-1}が元利均等償還率です。
ここで
r:年利率
n:借入期間（年）
です。
借入期間n年より小さいk年後の借入元本返済率を知りたいとしたとき、その算式は
{(1＋r)^k-1}/{(1+r)^n-1}になることまでヨッシーさんのおかげでわかりました。
したがって、k年後の借入残高は
1-{(1＋r)^k-1}/{(1+r)^n-1}……(ア)
になりますよね（1－残高＝借入返済率より）。

さて、ここからが問題なのですがk年後の借入残高について、別の書籍によれば次の3通りの方法で求められるとしています。
(1)（n年の元利均等償還率）＊（(n-k)年の複利年金現価率）
(2)（(n-k)年の複利年金現価率）／（n年の複利年金現価率）
(3)（n年の元利均等償還率）／（(n-k)年の元利均等償還率）
なぜそうなるのですか？
k年後の借入残高は1-{(1＋r)^k-1}/{(1+r)^n-1}
(1),(2),(3)がすべて(ア)と等しいことがわかればよいのですが…。
その仕組み・考え方を算式で証明していただけないでしょうか？
なお　複利年金現価率とは
{(1＋r)^n-1}/{r*(1+r)}
または
1/[r+{r/(1+r)^n-1}]
もしくは
1/r*[1-{1/(1+r)^n}]
です。ここでnには最終年のnか、(n-k)が代入されることになります。
より詳しい説明が必要ならばその由もお願いします。


4501．Re: 元利均等償還率について質問です。その２
名前：一太太一    日付：11月25日(月) 13時39分
> その仕組み・考え方を算式で証明していただけないでしょうか？
> なお　複利年金現価率とは
> {(1＋r)^n-1}/{r*(1+r)}
としていましたが
{(1＋r)^n-1}/{r*(1+r)^n}
でした。書き間違えてしまいました。
自力で頭をしゃっきりさせて数式を整理していったところ理解できました。
どうも指数計算が苦手だけだったようです。

4459．助けてください！  
名前：タッキー    日付：11月22日(金) 17時11分
袋の中に６個の白玉と４個の黒玉がはいってる。この袋から３個の玉を同時に取り出すとき、１個が白玉で２個が黒玉である確率は？

１，５／２４　２，１／６　３、１／５　４、２／３　５、３／１０

根拠もお願いします！


4460．Re: 助けてください！
名前：ヨッシー    日付：11月22日(金) 17時25分
３個の玉の取り出し方は　10Ｃ3＝[ア]
６個の白玉から１個を取り出す取り出し方は、6Ｃ1＝[イ]
４個の黒玉から２個を取り出す取り出し方は、4Ｃ2＝[ウ]
合計の組み合わせは、[イ]×[ウ]＝[エ]
よって、求める確率は、
　[エ]/[ア]＝３／１０
です。
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

4480．Re: 助けてください！
名前：タッキー    日付：11月23日(土) 23時1分
ありがとうございます！！わかりましたよ

4457．(untitled)  
名前：けん    日付：11月22日(金) 15時51分
男子3人，女子6人の合計9人を一列に並べることを考える。
(1) 男子どうしが隣り合わない場合は何通りあるか。

という問題で、「全体から男子が隣り合うものをひく」と考えて

男子3人が並ぶのが (男男男) をひとまとまりと考えて 3!×7! 通り。
男子2人が並ぶのが (女男男女) をひとまとまりと考えて 6!×(3P2)×(6P2) 通り。
また、全体の並べ方が 9! 通りなので，求める並べ方は

9!-3!×7!-6!×(3P2)×(6P2)=203040 (通り)

としたのですが，答えが違うのです。どこがおかしいのでしょうか？
解説では「隣り合わないものはあとから入れる」とあってそちらの解法は
理解できたのですが・・・・・・


4458．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：11月22日(金) 16時55分
とりあえず、第一報。

どこがおかしいか？と言えば、
＞男子2人が並ぶのが (女男男女) をひとまとまりと考えて
の部分で、男が２人いたとしても、その両隣に女がいるとは限らない（男２人が端の場合）
でしょう。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

4465．そうでした！
名前：けん    日付：11月23日(土) 11時31分
言われてみれば「あーそっか！」という感じですね(笑)
男子2人だけが隣り合う並び方で，右端とその左隣に男子が並ぶのは

3P2×6×6! (通り)

であり，左端とその右隣に男子が並ぶのも同様な数だけあるから
求める並べ方は

9!-3!×7!-6!×(3P2)×(6P2)-2×(3P2×6×6!)=151200(通り)

ですよね。まぁ，こんなんだったら素直に男子を両端または女子の間に
入れるって考えたほうがミスもないし，ラクですよね(笑)

ヨッシーさん，どうもありがとうございました。

4454．元利金均等償還率について質問です。  
名前：一太太一    日付：11月22日(金) 13時36分
元利金均等償還率について質問です。
{r*(1＋r)^n}/{(1+r)^n-1}が元利均等償還率です。
ここで
r:年利率
n:借入期間（年）
です。
この説明は以下のようにしてつけられます。
借入金元本をA円とします。求める元利均等償還率をc円とおきます。

返済直前の借入金元利合計 返済直後の借入金元利合計
1年目 A*(1+r) A*(1+r)-c
2年目 {A*(1+r)-c}*(1+r) {A*(1+r)-c}*(1+r)-c
3年目 [{A*(1+r)-c}*(1+r)-c]*(1+r) [{A*(1+r)-c}*(1+r)-c]*(1+r)-c

ここで借入期間3年と仮定すると3年目の返済直後の借入金元利合計はゼロになっているはずです。そして、その式を展開してみます。
[{A*(1+r)-c}*(1+r)-c]*(1+r)-c=0
{A*(1+r)^2-c*(1+r)-c}*(1+r)-c=0
A*(1+r)^3-c*(1+r)~2-c*(1+r)-c=0
-cでくくって
A*(1+r)^3-c*(1+(1+r)+(1+r)^2)=0
これより期間nとしたときの算式は
A*(1+r)^n-c*{1+(1+r)+(1+r)^2+…+(1+r)^(n-1)}=0
{ }は初項1、公比(1+r)、項数nの等比級数だから
A*(1+r)^n-c*[{(1+r)^n-1}/{(1+r)-1}]=0
A*(1+r)^n-c*[{(1+r)^n-1}/r]=0
c*[{(1+r)^n-1}/r]=A*(1+r)^n
c=A*(1+r)^n/[{(1+r)^n-1}/r]
c=A*(1+r)^n*[r/{(1+r)^n-1}]
c=A*(1+r)^n*r/{(1+r)^n-1}
c=A*{(r*(1+r)^n}/{(1+r)^n-1}
∴Aを1円とすると元利金等償還率cは{(r*(1+r)^n}/{(1+r)^n-1}です。

さてここからが問題です。借入期間n年より小さいk年後の借入元本返済率を知りたいとしたとき、その算式は
{(1＋r)^k-1}/{(1+r)^n-1}になるそうです。
しかし私はなぜそうなるのかわかりません。どなたかその仕組み・考え方を算式で証明していただけないでしょうか？


4463．Re: 元利金均等償還率について質問です。
名前：ヨッシー    日付：11月22日(金) 18時1分
＞Aを1円とすると
という考え方はいいですね。どうせ、率だけの話なので、最初からそれで、考えましょう。
さらに、1+r が何度も出てくるので、これを R とおきます。

途中にある、
＞A*(1+r)^n-c*[{(1+r)^n-1}/{(1+r)-1}]=0
の左辺は、最終年以外にも適用できて、k年後の返済後の残高は、
　Rk-c*(Rk-1)/r
です。(A=1 と置いています)
借入元本返済率は、どれだけ返したか、なので　１－残高　で、
　1 - Rk + c*(Rk-1)/r
これに、c = (r*Rn)/(Rn-1)
を代入して整理すると、
　(Rk-1)/(Rn-1)
が得られます。
　
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

4464．Re: 元利金均等償還率について質問です。
名前：一太太一    日付：11月22日(金) 22時15分
ヨッシーさまへ
ありがとうございます。早速自分でもアドバイスにしたがって計算してわかりました。またこれに関連した問題を出させていただいてもよろしいでようか？よろしくお願いします。
ちなみに私は30過ぎのものですが数学が少々苦手です。

4452．お願いします。わからないです。  
名前：とし    日付：11月22日(金) 9時26分
問1:次の行列A を下三角行列L と上三角行列U に三角分解せよ．またこのときの乗算回数が20
回であることを示せ．ただし，乗算回数には，U の対角要素の逆数をとる演算は含めない．
また，A の要素のうち，+1 および− 1 の演算にかかわる乗算は含める．
A =1 ,−1, 2 ,1
2 ,1 ,−1 ,3
1 ,3 , 2,−2
−3 ,0 , 1 ,4
問2:次の連立1 次方程式を，行列の三角分解を用いて解法せよ．
x1 − x2 +2x3 + x4 =5
2x1 + x2 − x3 +3x4 =11
x1 +3x2 +2x3 − 2x4 =0
−3x1 + x3 +4x4 =10(x1はxの1という意味です)
問3:次の行列A およびB の行列式を求めよ．ただし，行列B はn 次の正方行列であるとする．
A =1 0 0 x
1 0 x 1
1 x 1 0
1 1 0 0
B=a + b ,a ··· a
a , a+ b ··· a
a , a ··· a + b

4451．置換の問題  
名前：信徒類    日付：11月21日(木) 23時34分
今この問題でつまずいています。大学一年です。誰か分かる人お願いします。む、むずい、、、

n≧２とする。
１、σが奇置換ならば(1 2)σは偶置換であり、
　　σが偶置換ならば(1 2)σは奇置換であることを示せ。
２、n次の置換のうち偶置換と奇置換の数が等しいことを示せ。
３、n次の置換のうち偶置換と奇置換の数がn!/2であることを示せ。


4455．ほい
名前：占星術師    日付：11月22日(金) 15時18分
1.　奇(偶)置換の定義は、「奇(偶)数個の互換の積で表される置換」だから、
偶(奇)置換に互換(1,2)を施せば奇(偶)置換になるのは当たり前のように思えます。
（ただ、上記定義の無矛盾性を認めない立場なら、もう少し準備が必要か）
2.　置換群Gにおける偶置換全体の集合をA、奇置換全体の集合をBとする。
Aの元aに対し(1,2)aを対応させる写像f:A→Bは、1.の結論より全単射。
よって、AとBの元の個数は等しい。
3.　n次の置換の個数がn!であることと2.の結果より。

4450．大学１年です。  
名前：K.H.    日付：11月21日(木) 19時0分
(問い)
n2+1個の相異なる自然数a1, a2, ... , an2+1がある。
このとき、長さn+1の増加列か減少列が必ず存在することを示せ。

上の問題の解答・解説をお願いします。詳細に教えて頂けるとありがたいです。

4448．２元２次連立方程式  
名前：けん    日付：11月21日(木) 17時34分
高校３年です。

問題を解いていて

3a2-4ab-2b2+5=0……(1)
26a2+12ab+b2-10=0……(2)

という連立方程式が出てきたんですけど、定数を消去すると a,b について
同次式になることから、(b/a)=t などと置いて解く方法以外にスッキリと解くやり方はないのでしょうか？

いろいろやってみたのですが、なかなかうまくいかないので・・・
よろしくお願いします。


4449．Re: ２元２次連立方程式
名前：ヨッシー    日付：11月21日(木) 18時36分
スッキリかどうかはわかりませんが。
(1)×３＋(2) で ab の項を消去し
　35a2－5b2＋5 = 0
　b2＝7a2＋1
　b＝±√(7a2＋1)・・・(3)
(1) より、
　4ab＝3a2-2b2+5
(3) を代入して
　±4a√(7a2＋1)＝-11a2＋3
両辺２乗して整理すると
　9a4 - 82a2 + 9 = 0
a2 について解くと、
　a2＝(41±40)/9
よって、a=±3, ±1/3
あとは、ｂとの符号を調整すれば、解が得られます。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

4453．Re: ２元２次連立方程式
名前：花パジャ    日付：11月22日(金) 11時9分
>...同次式になることから、(b/a)=t などと置いて解く...
因数分解で　(8a+3b)(4a-b)=0　を得る、の意?
これが一番スッキリしてそう...

4456．Re: ２元２次連立方程式
名前：けん    日付：11月22日(金) 15時42分
＞ヨッシーさん
うーん，やはり1回√を使わないといけませんかぁ・・・
ともあれ、別解ありがとうございました。

＞花パジャさん
そうでした。別に (a/b)=t と置かなくても因数分解できますね。
ご指摘ありがとうございました。

4441．教えてください。  
名前：高校2年    日付：11月20日(水) 23時10分
xの3次式f(x)が　d/dx∫f(t)dt=-3x²＋5x＋3　(∫の上端はx＋1、下端はxです。),f(1)=3 を満たす時、次の各問いに答えよ。
(1)f(x)を求めよ。
(2)xy平面上の曲線y=f(x)上の、原点以外の点における接線が原点を通る時、この接線と、もとの曲線とで囲まれる図形の面積を求めよ。


4447．Re: 教えてください。
名前：ヨッシー    日付：11月21日(木) 9時35分
(1)
f(x) の原始関数をF(x)とすると、
　dF(x)/dx＝f(x)　dF(x+1)/dx＝f(x+1)　　(d(x+1)/dx=1 なので)
なので、
　d/dx∫x～x+1f(t)dt = f(x+1) - f(x)
f(x)=ax3+bx2+cx+d　(a≠0) とおくと、
　f(x+1) - f(x) ＝ 3ax2 + (3a+2b)x + a+b+c
　　＝ -3x2＋5x＋3
よって、3a=-3, 3a+2b=5, a+b+c=3
一方 f(1) = a+b+c+d = 3 も含めて、これらを解くと、
　a=-1, b=4, c=0, d=0
よって、　f(x) = -x3 + 4x2

(2)
　y = f(x) = -x3 + 4x2
のグラフ上の、点(m,-m3 +4m2) における接線の傾きは
　f'(m) = -3m2 + 8m
なので、接線の式は、
　y = (-3m2+8m)(x-m)-m3 +4m2
これが原点を通るので、
　-m(-3m2+8m)-m3 +4m2 = 0
これをｍ≠０の条件下で解いて、ｍ＝２
よって、接線の式は、　y = 4x
求める面積は、
　∫0～2{4x - f(x)}dx
　　=∫0～2(x3 - 4x2 + 4x)dx
　　= 4/3

　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

4439．教えてください。  
名前：受験生    日付：11月20日(水) 18時24分
２つわからない質問させていただきたい問題があるのですが、
どうかよろしくお願いします。
放物線と、数列の問題で、数列は自分の答えが解答と合わず、
放物線の方は、（１）の問題で行き詰まり、しかも解答がない
ので、どうしていいのかよくわかりません。

どうか教えてください。
まずは放物線からお願いします。
この問題はマーク式で、カタカナで表記されている部分を埋める
問題です。


ｘｙ平面上において、放物線Ｃ：ｙ＝－ｘ＾２／ａ＾２　＋　（ａ＋６）ｘ／３ａ　　　（ａ＞０）とｘ軸とで囲まれる部分をＤ１とし、４点Ｏ(0,0),Ａ(4,0),Ｂ(4,4),Ｃ(0,4)を頂点とする正方形の内部と周をＤ２とする。

（１）放物線Ｃはａの値によらず直線ｙ＝アｘ／イ　＋　ウに接する。

（２）Ｄ１⊆Ｄ２となるようなａの範囲は、０＜ａ＜＝√（エオ）　－　カ　である。

（３）Ｄ１∩Ｄ２の面積Ｓ（ａ）はａ＝キ／クのとき、最大値ケコ／サをとる。


という問題です。よろしくお願いします。
数列の方は、これとは別で、またすぐに送信します。


4440．Re: 教えてください。
名前：受験生    日付：11月20日(水) 18時38分
すいません。数列のプリント忘れてしまいました。数列の方は、また明日質問させてください。この放物線の問題だけお願いします。それから、学年を書き忘れてしまいました。高３です。よろしくお願いします。

4445．Re: 教えてください。
名前：ヨッシー    日付：11月21日(木) 1時40分
私のページの「御質問に答えるコーナー」に解答を載せました。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

4446．Re: 教えてください。
名前：受験生    日付：11月21日(木) 2時20分
どうもありがとうございました。よくわかりました。
またぜひ、力を貸してください。

4433．微分の問題について教えてください。  
名前：まめじ    日付：11月20日(水) 1時46分
①関数ｆ（ｘ）＝ｘ＾2＋３ｘにおいて、次の値を求める。
　　　　ｌｉｍ ｈ→０　ｆ（１＋ｈ）－ｆ（１）／ｈ

②導関数の公式を用いて、ｆ（ｘ）＝ｘ＾2＋２ｘの導関数ｆ´（ｘ）を求める。

この２問について教えてください。
初期の問題なのですが、いまいち理解できずに悩んでいます。
よろしくお願いします。


4435．Re: 微分の問題について教えてください。
名前：ヨッシー    日付：11月20日(水) 2時8分
(1) の方は、分子が
　(1+h)2+3(1+h)－12－3・1
　　＝h2＋5h
　hで割ると、　h+5
　h→0 のとき　５　になります。

(2) も同様に、分子が
　(x+h)2+3(x+h)－x2－3x
　＝h2＋(2x+3)h
以下略です。
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

4486．Re: 微分の問題について教えてください。
名前：まめじ    日付：11月24日(日) 17時19分
返信が遅くなってしまいすいませんでした。
とても参考になりました。
どうもありがとうございました。

4431．微分方程式  
名前：タッチおばさん    日付：11月20日(水) 0時52分
3つやり方が分からない問題があるので教えてほしいのです。
1・　原点を通る直線と常に一定の角αで交わる曲線の式を求めよ。（Ans：r=ce＾θcotα）
2・　温度ｘの物体が温度ｙの媒体に囲まれているとき、物体の冷却速度　　　　dx/dtは（ｘ-ｙ）に比例する。いま、30℃の空気中にある温度120℃の物　　体が75℃まで冷却されるまでに20分かかる。この物体が40℃に冷却され　　るまでに何分かかるか。　
　　微分方程式は　ｄｘ/ｄｔ＝ｃ（ｘ-ｙ）　　ｃ：比例定数
　　Ans：40log3/log2
3・　培養中のバクテリアの繁殖速度はその時点のバクテリア数に比例する。　　二日間で三倍に繁殖するとき、t日後の数を求めよ。　
　　微分方程式は　ｄｘ/ｄｔ＝ｋｘ　　ｋ：比例定数
　　Ans：ｘ＝ｘ（0）*3＾（ｔ/2）

できれば途中の式もお願いします。3は微分方程式を使わなくても解けますが使った場合どうやるかがわかりません。教えてください。


4437．Re: 微分方程式
名前：ヨッシー    日付：11月20日(水) 15時52分
１．

極座標の、もっと良い方法があるかも知れませんが、とりあえず、こう考えました。
点Ａ（ｒ，θ）のθが微小角 dθ 増えたときｒが dr 増えたとします。
このとき、原点を通る直線ＯＡとＡＣが角αをなすので、
　∠ＣＡＢ＝α
となります。
ここで、△ＡＢＣを∠Ｂ＝90°の直角三角形と考え、
　cotα＝ＡＢ/ＣＢ＝dr/ｒdθ
※厳密には、分母は(ｒ＋dr)dθ ですが、微小量の２乗 drdθは無視しています。
よって、dr/ｒ＝dθ・cotα　両辺積分して、
　logｒ＝θcotα＋Ｃ1　（Ｃは積分定数）
　ｒ＝ｅθcotα+C1＝Ｃ2ｅθcotα

２．ｄｘ/ｄｔ＝ｃ（ｘ-ｙ）より、
　dx/(x-y)＝ｃdt　両辺積分して
　log(x-y)＝ct＋d　（d は積分定数）
y=30 より、
　x-30＝ｅct+d＝ａ・ｂt　　ただし　ａ＝ｅd、ｂ＝ｅc
時刻ｔのときのｘの値をｘ(t) と表すとすると、ｘ(0)＝120 より、
　ｘ(0)＝ａ＋30＝120　より　ａ＝９０
　ｘ(20)＝ａ・ｂ20＋30＝75
　　90ｂ20＝45　　ｂ20＝1/2
　　ｂ＝２-1/20
　ｘ(t)＝40 となるｔを求めると、
　　ｘ(t)＝90・２-t/20＋３０＝４０
　　２-t/20＝1/9
　　-t/20＝log21/9＝-2log３/log２
　　ｔ＝40log３/log２

３．ｄｘ/ｄｔ＝ｋｘ　より、　dx/x＝ｋdt
　両辺積分して
　　logｘ＝ｋｔ＋Ｃ　よって、ｘ＝ａ・ｂt
　　ｘ(0)＝ａ　より、ａ＝ｘ(0)
　　ｘ(2)＝ａ・ｂ2＝３ｘ(0) より、
　　ｂ2＝３　　ｂ＞０ より　ｂ＝√３＝３1/2
　　ｘ＝ｘ(0)３t/2
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

4429．(untitled)  
名前：呆け人    日付：11月20日(水) 0時7分
近似値で、log(x+1)≒xとなっていますが
これはどうしてですか。
sinx≒xというのはlimx→０sinx/x=1から
出してるんでしょうか．


4436．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：11月20日(水) 9時54分
マクローリン展開ということをやります。
　f(x)=log(1+x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+・・・
と表せたとします。
　　f(0)=0=a0 より a0=0
　f'(x)=1/(1+x)=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+・・・
　　f'(0)=1=a1 より a1=1
　f"(x)=-1/(1+x)2=2a2+3・2a3x+4・3a4x2+・・・
　　f"(0)=-1=2a2 より a2=-1/2
これを繰り返すと、a3,a4・・・が決まります。(一般化も可能)
すると、
　log(1+x)=x-x2/2+x3/6-・・・
となります。x が微小量のとき x2 の項以降は無視できて
　log(1+x)≒x
となります。

sinｘ≒ｘ も同様のことをしています。
　
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4443．Re: (untitled)
名前：呆け人    日付：11月20日(水) 23時38分
そうなんですかぁ。よくわかりました。

4427．実はあと三問…高３です。  
名前：林檎    日付：11月19日(火) 23時23分
２、ａ二乗＋ｂ二乗＞（ａ－１)(b＋１）を証明せよ。
３、ガラス玉で赤色のものが６個、青色のものが２個、透明なものが１個ある。玉には中心に穴が開いているとする。これらの玉に糸を通して指輪を作る方法は何通りあるか？　　Ａ．１６通り。
４、数列ａ1，ａ2，…ａｎの初項から第ｎ項までの和がＳｎ＝３ｎ二乗＋５ｎとする。数列{ａｎ二乗}の初項から第ｎ項までの和をｎで表せ。　　Ａ．Ｓｎ＝2n(6n二乗＋15n＋11)

解き方すら分かりません。よろしくお願いします。


4430．ちょっと分かりにくいかも…
名前：林檎    日付：11月20日(水) 0時25分
求める数列｛ａｎ二乗｝は｛(ax)2｝のことです。

4434．Re: 実はあと三問…高３です。
名前：ヨッシー    日付：11月20日(水) 2時2分
私のページの「御質問に答えるコーナー」に解答を載せました。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

4442．(untitled)
名前：林檎    日付：11月20日(水) 23時24分
ありがとうございました。

4426．高三ⅠＡの問題です…  
名前：林檎    日付：11月19日(火) 23時6分
１．abc≠０　　a＋b＋c＝０の時
a(1/b＋1/c)＋b(1/c＋1/a)＋c(1/a＋1/b)　の値を求めよ。答えは－３らしいのですが…お願いいたします。


4432．Re: 高三ⅠＡの問題です…
名前：ヨッシー    日付：11月20日(水) 1時19分
私のページの「御質問に答えるコーナー」に解答を載せました。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

4466．Re: 高三ⅠＡの問題です…
名前：高橋　道広    日付：11月23日(土) 14時9分
テクニックを使うと...
a(1/b＋1/c)＋b(1/c＋1/a)＋c(1/a＋1/b)
=a/b＋a/c＋b/c＋b/a＋c/a＋c/b
=(b+c)/a+(c+a)/b+(a+b)/c
=-a/a-b/b-c/c
=-1-1-1=-3
ずるいでしょ"^_^"
まずヨッシーさんのやり方が基本ですけどね(~_~;)

4423．楕円形の面積の求め方  
名前：わかんにゃい    日付：11月19日(火) 21時45分
はじめて来ました！
長辺Aセンチ短辺Bセンチの楕円形の面積を求める公式
ってありますか？ああ教えてーーーー


4425．Re: 楕円形の面積の求め方
名前：ヨッシー    日付：11月19日(火) 22時16分

半径ａの円を縦に ｂ/ａ 倍すると、右のような楕円になります。
面積も、ｂ/ａ 倍になります。

ちなみに、周の長さは、きれいな形では出ません。
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

4428．Re: 楕円形の面積の求め方
名前：わかんにゃい    日付：11月19日(火) 23時56分
ありがとうございました！
問題が解けてすっごく嬉しいです。
本当にありがとうございました。

4417．０で割る？  
名前：けん    日付：11月19日(火) 16時24分
高校３年のけんです。

ふとギモンに思ったのですが

x=2+√5 のとき，P=x4-23+x2-2x の値を求めよ。

といった問題では

x=2+√5 より，x2-4x-1=0……(1)

として，Pを(1)で割ることにより次数下げを行うのが定石ですが，
これって"0"で割ってることになりますよね？良いのでしょうか？
テストの答案でも，もしかしたら「ちょっとした書き方の違いにより
大幅な減点がされはしないだろうか？」と不安になってしまいます。

この点について，どなたか教えてはいただけないでしょうか？


4418．Re: ０で割る？
名前：ヨッシー    日付：11月19日(火) 17時16分
x2-4x-1 は x=2+√5 を代入すれば０というだけで、
式自体が恒常的に０になるわけではないので、割っても良いのです。
また、割った結果、

　x4-2x3+x2-2x=(x2-4x-1)(x2+2x+11)-44x-11
のように、掛け算の形にするので、これも問題ありません。

もし、
(x4-2x3+x2-2x)/(x2-4x-1)
のような分数式があって、この分母を０にするような x の値を代入することは、
御法度です。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

4444．Re: ０で割る？
名前：けん    日付：11月21日(木) 1時2分
なるほど。掛け算の形に表すために「一時的に」割り算を実行するだけで
割る式(の値)が０であるかどうかというのは問題ではない、ということ
ですね？

ヨッシーさん、どうもありがとうございました。

4413．非線形数学の本に載っていたのですが…  
名前：おおさわ    日付：11月18日(月) 19時56分
はじめまして（こちらでは）。おおさわと申すものです。
質問があってやってきました。

用語の質問なんですけど、
非線形数学の、連続写像の項で、
「プレ・コンパクト」とあったのですが、
この意味は何なのでしょうか？
コンパクト集合か何かと関係があるのでしょうか？
http://simfan.cn1.jp/mathmarks/


4424．Re: 非線形数学の本に載っていたのですが…
名前：INA    日付：11月19日(火) 22時5分
プレコンパクトは全有界とも言い、松阪「集合・位相入門」などにも説明が載ってます。定義とは少し違うのですが、その同値表現としてわかりやすい（とわたしが思う）のは、
「距離空間（S,d)がプレコンパクトであることは、Sにおける任意の点列がコーシー列を部分列として持つことと同値である」
という表現です。

4438．Re: 非線形数学の本に載っていたのですが…
名前：おおさわ    日付：11月20日(水) 17時8分
全有界ですか。なるほど。解りました。
ありがとうございますm(-_-)m
http://simfan.cn1.jp/mathmarks/

4412．外積はなぜ垂直か？  
名前：とりあへず高２    日付：11月18日(月) 17時14分
　外積はなぜ垂直なのですか？
　外積がなぜ垂直かを考えるために、外積の存在について考えた。
ベクトルは、力学（物理）のために考えられたものである。同じように、外戚も物理のためにうまれたのではないか。外積は、力のモーメントのために考えられたのだろう。しかし、それだけなら垂直である必要はない。……いったいなんのために垂直なのか？
　誰か正確な答えを教えてください。


4414．Re: 外積はなぜ垂直か？
名前：ヨッシー    日付：11月18日(月) 20時25分
物理の中に、事例を求めるならば、
電流と磁界と力の関係です。
電流ベクトルと磁界ベクトルの外積を取ると、力ベクトルになります。
電流ベクトルと磁界ベクトルのなす角が、直角の時が最大で、
一直線になると０です。
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

4416．あらたに質問！
名前：とりあへず高２    日付：11月19日(火) 16時14分
それではさらに外積についての質問。
外積で出現する「平行四辺形の面積」と「垂直なベクトルの大きさ」は等しい。等しくする必要はあるのですか。

4419．Re: 外積はなぜ垂直か？
名前：花パジャ    日付：11月19日(火) 18時57分
上記の電場と磁場と力との関係においては、
その量が面積に比例してます。
物理現象の中にはその他にも、
その量が2つのベクトル量に起因し(ていると見られ)
方向が2ベクトルに垂直で
(また、2ベクトルが入替った関係の時には、向きが逆で)
量が2ベクトルで作られる平行四辺形の面積に比例するような
現象がいくつか出てきてます。
で、外積の定義において
面積と等しくする必要はないですが、等しくした方が簡単です。
直交する単位ベクトル同士の外積の大きさも1となったり...

4408．最小ニ乗法  
名前：にし    日付：11月18日(月) 11時7分
最小ニ乗法の解き方を教えてください


4420．Re: 最小ニ乗法
名前：花パジャ    日付：11月19日(火) 19時40分
xの測定値をxi、yの測定値をyi　(i=1..N)とし、
理論上、xとyとの間には　y=ax+b　の関係があると考えられ、
測定誤差εiの程度はxやyの依らず均等であると考えられ、
測定値は理論値を中心としてガウス分布に従ってばらつくと想定できる時、
aとbとは
　yi=axi+b+εi
において、εiの平方和
　S=Σεi2
を最小にする値と推定される
　Exx=Σxi2
　Exy=Σxiyi
　Eyy=Σyi2
　Cx=Σxi
　Cy=Σyi
とすると
　S=Eyy-2aExy+a2Exx-2bCy+2abCx+b2N
であり、Sが最小になるには
　∂S/∂a=0,∂S/∂b=0
なので
　-2Exy+2aExx+2bCx=0,-2Cy+2aCx+2bN=0
　aExx+bCx=Exy,aCx+bN=Cy
　a=(NExy-CxCy)/(NExx-Cx2),b=(ExxCy-ExyCx)/(NExx-Cx2)

ただし、実際には、こうしたa,bもNが大きければ精度が良くなり、Nが小さければ実際の値に近い確率も低い筈...てな話もあったり...統計学なり誤差論なりを勉強して下さいませ、てな感じ

4404．(untitled)  
名前：呆け人    日付：11月17日(日) 23時53分
また計算問題です
x/(1-x3)にx=-1/3√2を代入すると答えは？
あー、-2/(33√2)からどう変換して-3√4/3にしているんですか。

それから－π/3+√3とπ/3-√3(ラジアン使用）の大小は
どうやってわかるんですか。この場合ラジアンにはsinなどがついてないから
わかりやすい数にはならないですよね？


4405．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：11月18日(月) 0時41分
分母の 2 は
　2= 3√2 × 3√2 × 3√2
となります。

π≒3.14159　√3≒1.73205 なので、
π/3≒1.04719＜√3
なので、－π/3+√3＞０＞π/3-√3
です。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

4409．Re: (untitled)
名前：呆け人    日付：11月18日(月) 13時50分
ああ、π＝３．１４…でしたね(苦笑）ありがとうございました。

4403．線形写像の問題について  
名前：眼鏡髭    日付：11月17日(日) 22時23分
問、一
U,VをK上のベクトル空間、T：U→Vを線形写像とするとき
　　　　　
　　　T:全射⇔Im(T)=V

T:単射⇔Ker(T)={０｝

を示せ。

問、ニ
一次変換T:V→Vが（Tの二乗）＝idを満たすとき、
　　　　VはW1とW2の直和
　　　　W1={x|xはVの元、Tx=x}
W2={x|xはVの元、Tx=-x}
となることを証明せよ。さらに、dimW1=r,dimW2=sとすると、適当に基底に関し、Tは行列
| E 0 |
| 0 -E |
で表現されることを証明せよ。
（ちなみに、
　　　｜　　｜
　　　｜　　｜
は行列のつもりです。）


これらの問題がまったくわかりません。せめて、問い、一だけでも教えてください。（火曜日がテストなもので）


4406．Re:線形写像の問題について
名前：ＫＩＮ    日付：11月18日(月) 1時7分
線形写像、全射、単射、Im、Kerの定義は大丈夫でしょうか？

問い１はその定義を書けばそれより明らかです。
ということで、まず定義をしっかり書いてみてください。
まぁ、問い１だけ。
http://kin.kissweb.jp/

4400．場合の数  
名前：Ｔｏｓｈｉ　　　中３です    日付：11月17日(日) 18時53分
それと4399.の続きなのですが、

・x+y+z=10、x≦0、y≦0、z≦0を満たす格子点の数を求めよ
…なら3Ｈ10=12Ｃ2=66　でよろしいでしょうか？

それと↓のように、
・x+y+z=-3、x≦5、y≦2、z≦-1
・x+y+z≦12、x≧0、y＞0、z≧2
・x+2y+3z=12、x＞0、y＞0、z＞0
・y≦3x+2、Y≧-x+2、x≦10
など発展して行った問題はわかりません。
どのように考えればよいのでしょうか？


4407．Re: 場合の数
名前：ヨッシー    日付：11月18日(月) 9時59分
x+y+z=10、x≦0、y≦0、z≦0
は無理ですね。不等号が逆じゃないですか？

x+y+z=-3、x≦5、y≦2、z≦-1 をやってみますので、それで理解して下さい。
x+y は最大でも 7 にしかならないので、z は -10 以上である必要があります。
z=-10 のとき、(x,y)=(5,2) の１通り
z=-9 のとき、(x,y)=(5,1), (4,2)の２通り
・・・・
z=-1 のとき、(x,y)=(5,-7), (4,-6), ・・・ (-4,2) の12通り
よって、1+2+3+・・・+12=78 個

x+y+z≦12、x≧0、y＞0、z≧2 ・・・ なぜ y≧1 ではなく、y＞0 なのでしょう？
一応、y≧1 として解きます。
x+y は最小 1 なので、z は最大 11 です。
z=11 のとき、(x,y)=(0,1) の１通り
z=10 のとき、(x,y)=(0,1)(0,2)(1,1) の３通り
以下、z=2 まで、n(n+1)/2 ・・・ 1～n までの自然数の和　を、
n = 1～10 まで足すので
　Σn=1～10(n2+n)/2 = 220 個

以下、とりあえず略です。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

4421．Re: 場合の数
名前：Ｔｏｓｈｉ　　　中３です    日付：11月19日(火) 20時40分
いつもありがとうございます！
不等号の位置は逆でした…すみませんでした。

4399．順列の問題なのですが…  
名前：Ｔｏｓｈｉ　　　中３です    日付：11月17日(日) 18時44分
お久しぶりです…ですがまたよろしくお願いします。m(__)m

赤玉２個、白玉２個、青玉４個の計８個の玉を机の上に円形に並べる。
この時円の中心に対して対称な円順列は何通りか。また円順列の個数は
いくつか。

この問題がわかりません。
円順列でないのなら後半の問題はわかりそうなのですが…
よろしくお願いします。


4410．Re: 順列の問題なのですが…
名前：ヨッシー    日付：11月18日(月) 14時8分
中心について対称なのは、例えば、赤２個を固定して
そこに白２個をどう置くかを考えます。
白２個は中心について対称なので、置き方は３通りです。
残りの４個が自動的に青となって、
中心について対称な円順列は　３通り　です。

それ以外のものも含め、すべての円順列は、
赤２個の置き方が決まれば、残りの６個の場所に白２個青４個を置くのは、
　6Ｃ2＝15 通り
なので、赤の置き方４通り（隣り合わせ、間に１個、２個、３個）より
　４×１５＝３０　通り
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

4411．後半は…
名前：占星術師    日付：11月18日(月) 15時23分
中心に関して対称な円順列３通りは、こんな風に
１通りの円順列に対し４通りの異なる（円順列でない）順列が対応します。
すなわちこのような“４周期型”の順列は3*4=12通り。
一方、円順列でないの順列の総数は、8!/(2!*2!*4!)=420通りで、このうち先に述べた
12通りを除いた408通りについては、８通りの順列が１つの円順列に対応します。
ゆえに、円順列の総数は3+(408/8)=54通り。

＞４×１５＝６０通り
とすると、このような同一の円順列をダブルカウントすることになるのでは？

4415．Re: 順列の問題なのですが…
名前：ヨッシー    日付：11月18日(月) 20時44分
了解、了解。
訂正します。
赤の置き方４通りのうち、間に３個(要するに直径の両端)の場合は、
最初に求めた３通り以外の１２通りは１８０°回転すると一致するペアが
２つずつあるので、並べ方は３＋６＝９
よって、
　３×１５＋９＝５４
でした。

ご指摘ありがとうございます。
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

4422．Re: 順列の問題なのですが…
名前：Ｔｏｓｈｉ　　　中３です    日付：11月19日(火) 20時41分
ヨッシー さん、占星術師 さん、ありがとうございました！

理解できました！

4398．複素数平面の問題なのですが・・・  
名前：ナオ    日付：11月17日(日) 14時34分
3次方程式x^3-ax^2+ax+a+5=0(aは実数の定数)は、x=-3を解に持つ。
a=(アイ)
であり、x=-3以外の解は
x=(ウ)±√(エ)i/(オ)である。
この解のうち、虚部が正である解をαとする。αを極形式で表すと
α=cos(カキ)°+isin(カキ)°
であり
2α^8=(クケ)+√(コ)iである。
次に、複素数平面において、円|z-2a^8|=1上の点をzとする。
β=z+3-√3iとするとき、|β|のとりうる値の範囲は
(サ)≦|β|≦(シ)である。
また、γ=iβとするとき、γの偏角θのとりうる値の範囲は
(スセ)°≦θ≦(ソタチ)°
である。ただし、0°≦θ≦360°とする。

失礼します。m(__)m
↑の問題がわかりません・・・
a=-2
x=1±√3i/2
α=cos60°+isin60°
2α^8=-1+√3i

ここまでわかるのですが、その後の円のところがさっぱり・・・
かなり理解力が悪いのでご迷惑おかけすると思いますが
助言をいただけると嬉しいです・・・(>_<)


4401．Re: 複素数平面の問題なのですが・・・
名前：nabeX    日付：11月17日(日) 20時32分
β=z+3-√3i　ですからz=β-3+√3i　これを|z-2a^8|=1　に代入すると
|β-2|=1　となるからβは中心が2半径が1の円周上にある。
その図を書いてみれば1≦|β|≦3と分かります。
またこの図からβの偏角は-30°～30°と分かりますから
これにiをかけた、つまり(cos90°+isin90°)をかけたγは
βを90°回転させた点なので60°≦θ≦120°です。

4397．数列  
名前：高校１年    日付：11月17日(日) 14時28分
Σk^4,Σk^5,Σk^6・・の値と求め方とその値を教えて下さい.


4402．Re: 数列
名前：ヨッシー    日付：11月17日(日) 21時0分
私のページの「御質問に答えるコーナー」に解答を載せました。

Σｋ6 は、自分でやってみて下さい。
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

4393．３次関数について  
名前：高校2年生    日付：11月16日(土) 22時27分
f(x)=axの３乗+bxの２乗+cx+d(aノットイコール０)がf"(x)（←xで２回微分）で点対称するのを証明せよ。
という問題なのですがだれか教えてください。お願いします。


4395．Re: ３次関数について
名前：花パジャ    日付：11月17日(日) 14時19分
f"(x)=0となるxをpとすると
　p=-b/(3a)
で、
　f(x)=a(x-p)3+(c+bp)(x-p)+f(p)
今、
　y=f(x)
のグラフを
　u=x-p,v=y-f(p)≡g(u)
と平行移動すると
　g(u)=au3+(c+bp)u
なので
　g(-u)=-g(u)

4392．負の符号について  
名前：arai    日付：11月16日(土) 20時8分
-(-1)=1　どうしてこうなるの誰か簡単に教えて下さい。
中１の娘の質問に上手に答えられません。宜しくお願いします。


4394．Re: 負の符号について
名前：ヨッシー    日付：11月16日(土) 22時28分
いろんなアプローチがありますが、数字の最初に「－」が付くということは
１．その数に －１ を掛けること
２． その数を０から引くということ
と考えられます。すると、-1×(-1) とか 0-(-1) とかの話に置き換えられます。
これらの話は、いろんな所で、説明がされていますので、省きますが、
試しにこちらのような、解釈はどうでしょうか？
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

4382．最小二乗法  
名前：大学生    日付：11月15日(金) 10時15分
最小二乗法についてわかりやすく教えてください


4389．Re: 最小二乗法
名前：知也    日付：11月15日(金) 17時45分
僕は大学生3年生ですがうるおぼえです。化学系の学生なので最小自乗法はコンピュ－ターでよく計算させます。直線の場合を説明します。大雑把な話あるｓ個の点（2点では直線になる）があったとして（A1　B1）（A2　B2）（A3　B3）…でax+by=cがあったとします。点と線との公式を使って、点と線との距離をLiとして全体の距離L＝Σ（1～ｓ）Li
3点の距離の和をa、bの関数としてL=f(a，b)として算出して偏微分してf(a,b)の最小値となるaとbを求めます。つまり点が多ければ多いほど直線だけではなく良い近似曲線（直線）が書けますね。

4390．Re: 最小二乗法
名前：知也    日付：11月15日(金) 17時46分
訂正です。3個の距離の和ではなくｓ個の距離の和です

4391．Re: 最小二乗法
名前：花パジャ    日付：11月16日(土) 14時38分
最小二乗法でしたら、距離の二乗の和ですね。

ところで、最小二乗法の何が知りたいのでしょう?
どう計算するか?
何故そうするのか?
生立ち?適用範囲....

4378．極形式  
名前：高2    日付：11月14日(木) 23時27分
2直線l,mがθの角度で交わっている。点αをlに関して対称に移動し、続いてmに関して対称に移動した点zは、lとmの交点の周りに2θだけ回転した点であることを証明せよ。
　l,mの交点を原点に、lを実軸にとって証明しようと思ったのですが、どうもうまくいきません。教えてください。


4379．Re: 極形式
名前：ヨッシー    日付：11月15日(金) 0時18分
図形的に示せばいいのでは？


http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

4385．「l,mの交点を原点に、lを実軸にとって」に従うと…
名前：占星術師    日付：11月15日(金) 14時41分
一般に、点zを実軸対称移動した点はz~（z~はzの共役複素数）です。
また、原点および点β=cosθ+isinθを通る直線に関して点zを
実軸対称移動した点はβ^2*(z~)と表せます。
（万一初耳ならば、理由をご自分で考えると勉強になります）
以上を本問のαに適用すると、移動後の点は次のように表せます。
β^2*(α~)~=β^2*α

4376．二次関数の場合わけについて  
名前：みか（高３です）    日付：11月14日(木) 20時5分
はじめまして。つまらない質問だと思うのですが、問題集を見ても良く分からなくて質問させていただきます。
二次関数の場合わけをするとき、例えば
０≦ｘ≦２のとき、関数ｙ＝（ｘ－ａ）２乗－ａ２乗＋４
の最小値を求めるために場合わけするとしますと、
ｉ）ａ＜０　とｉｉ）０≦ａ＜２　とｉｉｉ）２≦ａ
となるのか、
ｉ）ａ≦０　とｉｉ）０＜ａ≦２　とｉｉｉ）２＜ａ
となるのか、どちらなのか迷っています。
どちらでも良いような気もするのですが、気になって集中できません。
こういう場合には上のようになる、という条件とかがあるのなら教えてほしいです。よろしくお願いします。


4377．Re: 二次関数の場合わけについて
名前：ヨッシー    日付：11月14日(木) 21時53分
切れ目のところ（この場合は０と２）で連続であれば、
ａ＜０　０≦ａ＜２　２≦ａ
ａ≦０　０＜ａ≦２　２＜ａ
ａ＜０　０≦ａ≦２　２＜ａ
ａ≦０　０＜ａ＜２　２≦ａ
のいずれでも良いですし、極端な話、
ａ≦０　０≦ａ≦２　２≦ａ
でも、間違いではありません。ただし、
ａ＜０　０＜ａ＜２　２＜ａ
は厳密さを欠きますし、
ａ≦０　０≦ａ＜２　２≦ａ
のように、意味ありげに無意味なことをするのも、良くありません。

私も、気分次第と、解答の書きやすさ（たまに、０をａ＜０ に入れるより、
０＜ａ＜２ に入れた方がやりやすい時（またはその逆）があります）
によって、決めたりします。
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

4380．Re: 二次関数の場合わけについて
名前：みか（高３です）    日付：11月15日(金) 1時48分
ヨッシーさん、どうもありがとうございました。
別にどちらでもよかったんですね。
すごく助かりました。すっきりです（＾－＾）

4372．大１　　解析の方向微分係数  
名前：ロダン    日付：11月14日(木) 11時29分
こんにちは。
方向微分係数の問題なんですが、自分でやってみたところ答えと違うものが出てきたんでなぜなのか質問しにきました。

[問題]　f(x,y,z)=(x+y)^2+(y+z)^2+(z+x)^2とする。点(2,-1,2)におけるこの関数の最大増加の向きは何か。またこの点におけるその向きのfの方向微分係数は何か。

[自分の解答]gradf=(4x+2y+2z,2x+4y+2z,2x+2y+4z)
よってgradf(P)=(10,4,10)
また方向微分係数は||gradf(P)||=(100+16+100)^1/2=6・6^1/2

[解答]最大増加の向き1/54^1/2(5,2,5)
方向微分係数6・6^1/2

方向微分係数は合ったんですが、向きの方で1/54^1/2が付いてる意味が分からないです。どこから出てきたんでしょうか？
よろしくおねがいします。


4374．Re: 大１　　解析の方向微分係数
名前：ヨッシー    日付：11月14日(木) 11時46分
この辺は、私の守備範囲外なのですが、
見たところ、単位ベクトルで答えてる見たいですね。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

4386．Re: 大１　　解析の方向微分係数
名前：ロダン    日付：11月15日(金) 16時14分
すいません。
でもお答えありがとうございました。
僕も昨日一人で悩んでると、あ！これ単位ベクトルでやってるんや。って気づきました。こういう問題は単位ベクトルで書くことがあるんですね。
ありがとうございました。

4371．中学３年数学マニアです。  
名前：中学３年です。    日付：11月14日(木) 10時48分
お姉ちゃんが使ってた数学の教科書を押入から引っ張り出して、問題を解いてます。それで今、二次関数の最大、最小の場合分けで悩んでいます(@_@)私の解答で良いのか採点して下さい。よろしくお願いします。

（問題）
ｆ(χ)＝２χ2乗－２ａχ＋ａ2乗＋１（０≦χ≦２）の最大値を求めよ

まず平方完成して頂点、軸をだす。

χ＝１／２ａ、(χ，ｙ)＝(１／２ａ、１／２ａ2乗＋１)

それで中点の前後で場合分けする。
２＝１／２ａ→ａ＝４、１／２ａ＝０→ａ＝０よって平均をとって２の前後で場合分けする。

①ａ＜２のときχ＝２で最大となる。
ｆ(２)＝ａ2乗－４ａ＋９

②ａ＝２のときχ＝０，２で最大となる。
ｆ(０)＝ｆ(２)＝－４

③２＜ａのときχ＝０で最大となる。
ｆ(０)＝ａ2乗＋１

求める最大値は
①(ａ＜２)ａ2乗－４ａ＋９
②(ａ＝２)－４
③(２＜ａ)ａ2乗＋１

以上この解答で良いんでしょうか？模範解答よろしくお願いしまーす!!


4373．Re: 中学３年数学マニアです。
名前：ヨッシー    日付：11月14日(木) 11時38分
場合分けのところの判断と、その後の進め方はＯＫです。
ただし、ａ＝２ のとき ｆ（０）＝ｆ（２）＝－４ にはなりません。
たぶん計算間違いでしょう。
※こういうのは、たいてい、ａ＜２の値と、ａ＞２の値が　ａ＝２で一致するはずです。
　その点を検算の１つにしましょう。

あとは、掲示板では描きにくいのですが、グラフを描いておけば、
場合分けの根拠が一目瞭然です。

この問題は、最大値だけですが、最小値も聞かれたものとして
出してみて下さい。もう少し細かい場合分けになります。

また、最大値をｂとして、ａとｂの関係をグラフに描く、なんていう問題も
あり得ます。

２次関数の最大・最小のページ
同様の質問のページ、新作１、新作２
も見てみて下さい。
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

4375．Re: 中学３年数学マニアです。
名前：中学３年です    日付：11月14日(木) 17時39分
ヨッシーさん♪♪採点ありがとうございます。

＞ただし、ａ＝２ のとき ｆ（０）＝ｆ（２）＝－４ にはなりません。
＞たぶん計算間違いでしょう。
そうですね、私の計算間違いでした。
ａ2乗＋１＝ａ2乗－４ａ＋９
４ａ＝８
ａ＝２でした。(@_@)

＞この問題は、最大値だけですが、最小値も聞かれたものとして
＞出してみて下さい。もう少し細かい場合分けになります。

この場合はχ軸で場合分けする。

①１／２ａ＜０つまりａ＜０のときχ＝０で最小となる。
ｆ(０)＝ａ2乗＋１

②０≦１／２ａ≦２つまり０≦ａ≦４のときχ＝１／２ａで最小となる。
ｆ(１／２ａ)＝１／２ａ2乗＋１

③２＜１／２ａつまり４＜ａのときχ＝２で最小となる。
ｆ(２)＝ａ2乗－４ａ＋９

求める最小値は
①(ａ＜０)ａ2乗＋１
②(０≦ａ≦４)１／２ａ2乗＋１
③(４＜ａ)ａ2乗－４ａ＋９

こんな場合分けで良いのかな？

あとヨッシーさん、一つ聞きたいことがあります。高校数学では中学校での数学にはない「論理」を使わなければならない点があって難しいと聞いたんですが、論理を勉強するのに何か良い本があれば教えて下さい。よろしくお願いします。

4383．Re: 中学３年数学マニアです。
名前：ヨッシー    日付：11月15日(金) 10時32分
最小値は、これで良いでしょうね。
問題によっては、最小値と最大値ペアで聞かれることがありますので、
その時は、
　ａ＜０　０≦ａ＜２　２≦ａ＜４　４≦ａ
に分けることになります。

あと、１／２ａ という書き方は、「２ａ分の１」とも読まれるので、
(１／２)ａ と書くか、元の表現とちがっても、ａ/２ と書くのが良いでしょう。

「論理」ですか？
どれのことを、言ってるのかなぁ？
というくらい、そのものだけが取りざたされていた記憶はないです。
各単元で、チョイチョイ出てくるくらいでしょうか？

あと、中学の頃の話が、一般化されることが多いですね。
　ｘ2＝－４　の解とか、（中学では右辺は０または正）
　２-1/2　とか。（中学では、指数は自然数）
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

4384．例えばこんな問題です。
名前：中学３年です    日付：11月15日(金) 14時40分
（問題）
等式４χｙ＝（χ＋ｙ）2乗－（χ－ｙ）2乗が成り立つ
これを用いて、ａ＞０、ｂ＞０、ａｂ＝１のとき２ａ＋ｂの最小値を求めよ

（解答）
恒等式(Ｘ＋Ｙ)^2＝(Ｘ－Ｙ)^2＋４ＸＹにおいて
Ｘ＝２ａ，Ｙ＝ｂとすることにより
　　　(２ａ＋ｂ)^2＝(２ａ－ｂ)^2＋８ａｂ
　　　　　　　　　＝(２ａ－ｂ)^2＋８　　　(∵　ａｂ＝１)
　　　　　　　　　≧８　　　　　　　　　　(∵　(実数)^2≧０)
等号は，ａｂ＝１の条件のもとで２ａ－ｂ＝０のとき
すなわち，ａ＝１／√２，ｂ＝２／√２のとき確かに成立する．
よって　(２ａ＋ｂ)^2はａ＝１／√２，ｂ＝２／√２のとき，最小値８をとる．
ここで，ａ＞０，ｂ＞０より　２ａ＋ｂ＞０であるから(２ａ＋ｂ)^2が最小になるとき，２ａ＋ｂも最小になる．
したがって，２ａ＋ｂも最小値は√８＝２√２　　　

解答見ても平方完成してから以降が、理解しずらいです(泣)お手上げ状態です＼(*_*)／

4387．Re: 中学３年数学マニアです。
名前：ヨッシー    日付：11月15日(金) 16時21分
(２ａ＋ｂ)2＝８ａｂ＋(２ａ－ｂ)2
　　　　　　　　　＝８＋(２ａ－ｂ)2
ここまでの変形は良いですか？
意味ありげに示された、
　４ｘｙ＝（ｘ＋ｙ）2－（ｘ－ｙ）2
に、ｘ＝２ａ、ｙ＝ｂ を代入しただけです。
で、求めたいのは ２ａ＋ｂ の最小値なのですが、２ａ＋ｂ は正の数なので、
２ａ＋ｂ の最小のときは、(２ａ＋ｂ)2 も最小になる性質を使って、
解いています。（途中でａｂ＝１ を使っています）
　(２ａ＋ｂ)2＝８＋(２ａ－ｂ)2
は、(２ａ＋ｂ)2 は、８にある数の２乗を足した数です、という意味です。
８は決まった数ですから、この「ある数」が出来るだけ小さいときが、最小になります。
ある数の２乗は、通常０以上ですから、０のときが最小で、実際それは
２ａ－ｂ＝０ つまり、２ａ＝ｂ のときであり、
ａｂ＝１ に ｂ＝２ａ を代入すると、 ２ａ2＝１
　ａ2＝１／２
ａ＞０ の範囲でこれを解くと、ａ＝１／√２　ｂ＝２ａ＝√２
のとき、(２ａ＋ｂ)2 は最小値となり、２ａ＋ｂの最小値は
√８＝２√２ です。

もう次のページに行きましたが、同じ問題が質問されています。
ご覧下さい。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

4388．Re: 中学３年数学マニアです。
名前：中学３年です    日付：11月15日(金) 17時12分
ヨッシーさん♪♪解説ありがとう!!この問題はチャートの参考書に載ってた問題です。やっぱり、こういった問題を解くのは慣れですかね～？これからも、この掲示板を利用させていただきますぅ～(^O^)よろしくお願いします。

4369．Re:動点問題  
名前：こんにちわ！    日付：11月13日(水) 23時50分
中学のレヴェルの知識で
解くことはできないのでしょうか？
楕円の面積の求め方は分かりません！
高校１年ですが、、、


4370．Re: Re:動点問題
名前：ヨッシー    日付：11月14日(木) 9時24分
この問題にはヤマが２つあります。
１つは、軌跡が楕円であることを説明すること、
もう１つは、楕円の面積を求めること、です。
楕円の面積は、円の面積をｘ軸方向に何倍か伸ばした（縮めた）という説明で
いけるでしょうが、前者の方はどうでしょう？
そもそも、楕円とは何か？の話自体、中学を超えてますので．．．
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

4364．算数の質問です。  
名前：Yue    日付：11月13日(水) 20時30分
Original Size: 393 x 301, 16KB

小学5年生の娘が持ってきた宿題に、この問題がありました。
お恥ずかしいハナシですが、、、、、解りませんでした。（汗）
解説、どうぞ宜しくお願い致します。

しかし、この問題って、小学5年生算数のレベルなのでしょうか？
焦ってしまいます、、、、、


4365．Re: 算数の質問です。
名前：ヨッシー    日付：11月13日(水) 20時36分
Original Size: 393 x 301, 13KB

２つの三角形に分けます。
９cm の部分を底辺とすると、高さは？
２２cmの部分を底辺とすると、高さは？

答えは２８７cm2 です。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/


4366．あぁ！
名前：Yue    日付：11月13日(水) 21時17分
解りました～！
二つの三角形に分けるところまでは合ってました。（笑）
あともうちょっとだったのですね、、、
もう一度、娘と勉強し直します！
ヨッシーさん、ありがとうございました。ｍ（＿＿）ｍ

4361．長方形を辺に沿って2cm縮めたい。  
名前：yasu    日付：11月13日(水) 16時50分
Original Size: 305 x 267, 4KB

現在アドビのイラストレーターというソフトを使ってフォントなどを作っているものです。

図形問題が昔から苦手で、問題ではなくて質問になってしまいますが、宜しくお願いします。


下の図の用に斜めの長方形を辺に沿って2cm縮めたい。
その時のピンクのx.yとブルーのx.yを求めるにはどのようにすれば良いのでしょうか？

何となく、縦線を引いて一つの角度が90°の三角形をつくってやって行けば良いのかななんて思っていますが方程式とかド忘れしてしまっているので正確な求め方が分からないんです。


どうぞ宜しくお願いいたします。


4362．Re: 長方形を辺に沿って2cm縮めたい。
名前：ヨッシー    日付：11月13日(水) 17時59分

図のように、元の２つの頂点をＡ:(x1,y1)、Ｂ:(x2,y2) とし、
直角三角形ＡＢＣを作ります。
このとき、ＡＣ＝y2-y1、ＢＣ＝x1-x2 です。
△ＡＢＣを90°回転させて、△ＡＥＤを作ると、ＡＥ＝√(ＡＣ2＋ＢＣ2) となりますので、
これを長さ２の位置Ｆまで縮めます（または伸ばします）。
つまり、２/ＡＥ 倍します。

つまり、点Ａおよび点Ｂから
ｘの負の方向に(y2-y1)×２/ＡＥ
ｙの負の方向に(x1-x2)×２/ＡＥ
だけ移動すれば、求める点に行き着きます。

なお、座標の正負は、長方形の置き方によって変わります。
　
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4363．Re: 長方形を辺に沿って2cm縮めたい。
名前：yasu    日付：11月13日(水) 19時17分
分かりやすい説明ありがとうございました。

解決いたしました。

4358．動点問題  
名前：こんにちわ！    日付：11月13日(水) 11時20分
半径４の円０に内接している
半径２の円０’があり、その中心０’から１の距離にある
定点Ｐがあります。円０’が円０に内接しながらころがるとき、
点Ｐが動く図形によって囲まれる部分の面積の答えを、中学レヴェル
の知識で求められませんか？


4360．Re: 動点問題
名前：ヨッシー    日付：11月13日(水) 13時59分

小円が図のＡで接する位置から角度θ先のＢで接する位置まで動いたときの、点Ａの
移動先をＡ’とすると、△Ｏ’ＯＡ’は、二等辺三角形であるので、
∠Ｏ’ＯＡ＝∠Ｏ’Ａ’Ｏ＝θ　（頂角Ｏ’の外角が２θより）
一方、条件より∠ＡＯＢ＝θ　なので、Ａ’はＯＡ上にあります。
よって、点ＡはＯＡを含む直径上を動きます。こちら参照

一方、最初Ｏにあった点も、直径ＣＤ上を動きます。

よって、このページの一番下の図のような状態になり、点Ｐは軸が３：１の楕円上を動きます。
（ここの所をどう説明するかですが）

あとは、楕円の面積さえ理解できれば、面積は求められます。
　
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4381．Re: 動点問題
名前：C-D    日付：11月15日(金) 8時3分
いつだかの広中杯（言わば算数オリンピックの中学版）に出た問題ですね。

公式な解説を見たのですが、厳密にはやはり楕円の知識がないと解けないと思います。

4352．(untitled)  
名前：呆け人    日付：11月12日(火) 21時53分
そういえばタグを自分のＰＣ自体でも有効にするにはどうしたらいいんでしょうか。ＰＣは詳しくないので教えてください。誰か。


4356．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：11月13日(水) 6時58分
ご質問の意味が、つかめませんが、
現状どのようになっているのを、どのようにしたいのでしょうか？
　
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4368．Re: (untitled)
名前：呆け人    日付：11月13日(水) 23時17分
すみません。どう説明すればいいのか…
質問取りやめにします。誠にもうしわけありませんが

4350．(untitled)  
名前：呆け人    日付：11月12日(火) 21時49分
数Ⅲでの導関数の公式はたくさんありますが、
あの公式にぴったりあてはまらなければ全部合成関数とみなしてよろしいのでしょうか。
それから次の関数を微分する仕方がわかりません。
y=32x-1
解答y'=32x-1log3・(2x-1)'
ですが、後ろの方のlog3・(2x-1)'というところがよくわかりません。


4351．Re: (untitled)
名前：呆け人    日付：11月12日(火) 21時50分
あ、解答はまだつづいていましたが省略してます。

4353．Re: (untitled)
名前：SHARUL    日付：11月12日(火) 22時33分
基本的に導関数の微分の公式はご存知でしょうか？
それ次第で話の方向が変わってきますが…

4354．Re: (untitled)
名前：SHARUL    日付：11月12日(火) 22時34分
間違えました。。。
合成関数の微分の公式です

4355．Re: (untitled)
名前：知也    日付：11月12日(火) 23時6分
(a^x)'=a^x*loga は公式かな？　y=3^(2x-1) 2x-1=t とおくとdy/dx=dy/dt*dt/dx(合成関数の微分法)　dy/dt=3^t*log3 dt/dx=2 よってdy/dx=3^t*log3*2=3^(2x-1)*2*log3となります

4367．あら
名前：呆け人    日付：11月13日(水) 23時14分
今日見返してみますとどうして解答のようになるのかわかっていました（驚）
合成関数の微分公式とは昨日質問後も格闘していたので今日は理解できます☆
もう一度確認できました！ＳＨＡＲＵＬさん、知也さん、レスありがとうございました。

4345．確率()  
名前：Optimista    日付：11月12日(火) 12時15分
教えてください。
（１）さいころをｎ回投げ、２の目が投げた回数の２０％を超えたとき勝利となる場合、６０回投げたときと６００回投げたとき、どちらのほうが勝つ確率が高いのか？
（２）では、２の目がでた回数が１５％～２０％のとき勝利となる場合,
６０回投げたときと６００回投げたとき、どちらのほうが勝つ確率が高いのか？
（４）では、２の目がでた回数がちょうど16.67%のとき勝利となる場合,
６０回投げたときと６００回投げたとき、どちらのほうが勝つ確率が高いのか？


4346．高校３年です
名前：Optimista    日付：11月12日(火) 12時15分
私の学年は、高校３年です

4347．Re: 確率()
名前：ヨッシー    日付：11月12日(火) 18時40分
６０回投げて２がｎ回出る確率は、(1/6)n(5/6)60-n×60Ｃn です。
例えば、２０％を超えるとなれば、ｎ＝１３～６０ までの和を取ればいいのですが、
これは大変ですね。
何かで近似するんでしょうか？

グラフから読み取る限りでは、
(1) ６０回（２）６００回（４）６００回
ですが。

グラフはあとで（深夜に）描きます。
　
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4357．Re: 確率()
名前：ヨッシー    日付：11月13日(水) 9時22分

こんなグラフです。
面積を揃えるために、600回の方は高さを10倍しています。

よって、(4) １点だけの確率 は、６０回の方が高いようです。
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4343．(untitled)  
名前：モジ    日付：11月11日(月) 23時17分
初めてです。
質問ですが、cos90°やsin90°などの値を求める方法を教えてくれませんか?


4344．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：11月12日(火) 0時12分
求め方というより、どのように決めるかということになりますが、
こちらのページの「ｘ座標がcosθ、ｙ座標がsinθ」のあたりを、見てみて下さい。
　
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4341．代数です（高２）  
名前：まり    日付：11月11日(月) 20時37分
Ａ＝（a b (0＜a＜1)において、Ａ＾2＝Ａであるための
　　　b c)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　必要十分条件は　a＋c＝1,ac-b^2＝0 であることを証明せよ。

p,q,r,sはps-qr ＝1を満たす定数、行列Ａ，Ｂは
Ａ＝（a1 a2 Ｂ＝（b1 b2
a3 a4) b3 b4) であるとき、
次の方程式を満たす行列Ｘ，Ｙを求めよ。
pX+qY=A , rX+sY=B


4342．Re: 代数です（高２）
名前：ヨッシー    日付：11月11日(月) 21時58分
(1)＝最初の方
Ａ2＝Ａ を計算して要素を比較すると、
　ａ2＋ｂ2＝ａ　・・・(1)
　ｃ2＋ｂ2＝ｃ　・・・(2)
　ｂ（ａ＋ｃ）＝ｂ　・・・(3)
ｂ＝０とすると、(1) より、ａ＝０，１ となり0＜a＜1 に不適。よって、ｂ≠０。
よって(3)より、　ａ＋ｃ＝１　・・・(4)
(1) を変形して ｂ2＝ａ（１－ａ）＝ａｃ
よって、　ａｃ－ｂ2＝０・・・(5)
逆に、(4)(5)が成り立つとき、(1)(2)(3) は成り立つ。
例：ａ2＋2＝
　　ａ2＋ａｃ＝ａ（ａ＋ｃ）＝ａ

(2)＝あとの方
Ｘだけ示しておきます。
　ｐＸ＋ｑＹ＝Ａ　・・・(1)
　ｒＸ＋ｓＹ＝Ｂ　・・・(2)
(1)×ｓ－(2)×ｑ　より、
　(ｐｓ－ｑｒ)Ｘ＝ｓＡ－ｑＢ
　ｐｓ－ｑｒ＝１　より、
　Ｘ＝ｓＡ－ｑＢ
　
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4339．(untitled)  
名前：りんちゃん    日付：11月11日(月) 18時30分
解答ありがとうございます。
問題は、ｆ（ｘ）＝∫｜ｘ－ｔ｜ｄｔ（積分範囲は0から1まで）について、以下の質問に答えよ。
①ｆ（ｘ）を求め、ｙ＝ｆ（ｘ）のグラフをかけ。
②ｆ（ｘ）の導関数を求め、ｙ＝ｆ’（ｘ）のグラフをかけ。
というものです。
これって、ｔで積分するってことですよね？


4340．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：11月11日(月) 19時58分
あ、そういう問題ですか。
積分した結果が、ｘの関数になると言うことですね。
これもほぼ同様に、
ｘ≦０ のとき　f(x)＝∫0～1(ｔ－ｘ)dt
0≦t≦1 のとき　f(x)＝∫0～x(ｘ－ｔ)dt＋∫x～1(ｔ－ｘ)dt
ｘ≧１ のとき　∫0～1(ｘ－ｔ)dt
答えのグラフは(1)(2)の順に


です。
　
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4336．(untitled)  
名前：りんちゃん    日付：11月11日(月) 16時10分
はずかしながら、大学3回です。場合わけの方法がよくわからなくて・・・
以下の問題の解答をお願いします。
問、次の関数をｔで積分せよ。
ｆ（ｘ）＝｜ｘ－ｔ｜
積分範囲は0から1までです。


4338．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：11月11日(月) 17時6分
ｔで積分せよ、というのはおかしな感じですが、ｘで積分、ではないですか？
以下、そうだとして．．．

グラフを描くとこんな感じです。式で書くと、
f(x)＝－ｘ＋ｔ　（ｘ＜ｔ）
　　＝ｘ－ｔ　　（ｘ≧ｔ）
です。問題は、この式が切り替わる境目となる　ｘ＝ｔ が積分範囲に
入っているかどうか、という点です。

(1)t≦0 のときは、ｙ＝ｘ－ｔ を０から１まで積分します。
(2)0＜t＜1 のときは　ｙ＝－ｘ＋ｔを０からｔまで、
　ｙ＝ｘ－ｔ をｔから１まで積分したものを足します。
(3)t＞1 のときは、ｙ＝－ｘ＋ｔ を０から１まで積分します。
　
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4333．(untitled)  
名前：にゃお♪    日付：11月11日(月) 13時23分
因数分解です。答えを教えてください（＞。＜）①5ⅹy+10ⅹ②3ａb-9b③ⅹ3＋ⅹ2ｰ2ⅹ④3ⅹ2－30－9ⅹ⑤2ⅹ3－2ⅹ2－12ⅹ⑥ⅹｙ +ⅹ＋ｙ+1⑦（ｘ+ｙ）2－2（ⅹ－y）－24⑧ⅹ2+2ⅹy+y2－9z2⑨ｙ4－ｙ4


4335．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：11月11日(月) 15時52分
①②などの丸付き数字は、読めない人がいますので、なるべく使わないようにして下さい。
「ⅹ」にいたっては、どこの文字コードかわかりませんが、同様に読めない人がいます。
「y」はＯＫです。

さて、これらの質問に答える前に、次の問題に答えて下さい。
これが、出来るか出来ないかで、回答方法が変わりますので。
問題：次の式を因数分解せよ
　ａｂ＋ａｃ

なお、(9) ｙ4－ｙ4＝０
ですが、問題が違ってませんか？
　
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4348．Re: (untitled)
名前：知也    日付：11月12日(火) 20時19分
1 5x(y+2) 2 3b(a-3) 3 x(x-1)(x+2) 4 3(x-5)(x+2) 5 2x(x-3)(x+2) 6 (x+1)(y+1) 7は(x＋y)＾2－2(x＋y)－24＝(x+y-6)(x+y+4)では？8 (x+y-3z)(x+y+3z) 9は彼と同じで？？？です。答えを追い求めるのではなくちゃんと自分でできるようになりましょう。中３なら因数分解ができないと最後まで数学ができなくなります。答えの確認できくのならいいですが、それだけでは一時凌ぎにしかなりません。１ができないのを見ると因数分解を分かっていないと見うけられるので。

4349．Re: (untitled)
名前：知也    日付：11月12日(火) 20時21分
ちなみに僕も中3の因数分解習った時も全然分かりませんでした。でも今は理系の学生です。

4330．不定積分  
名前：大１    日付：11月10日(日) 20時50分
以下の問題の解答をお願いします。
次の関数を積分せよ．
(1) tan-1x
(2) xsin-1x

(1)は tan-1x=tと(2)は sin-1x=tとおいて
計算してみたんですが、できませんでした。
答えは
(1) xtan-1x-(1/2)log(x2+1)
(2) (1/4){(2x2-1)sin-1+x√(1-x2)
です。


4331．Re: 不定積分
名前：ヨッシー    日付：11月10日(日) 21時30分
(1) は部分積分で、
∫(x)’tan-1ｘdx＝ｘtan-1ｘ－∫ｘ(tan-1ｘ)’dx
とすれば出来ます。
ちなみに、(tan-1ｘ)’＝1/(1+x2) です。

(2) も部分積分で
∫(x2/2)’sin-1ｘdx
を解いていけばいいでしょう。
　
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4324．教えてください☆高２です  
名前：まり    日付：11月9日(土) 23時57分
積分の問題なんですが、『曲線y＝x＋2sinxとx軸、および直線x＝2πで囲まれた部分の面積・x軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求める』という問題と、『自然数nに対し、In＝∫（e～1)(logx)*n dxとおく。部分積分法を使ってIn＝e－nIn-1を示せ。またI1 I2 I3 I4を求めよ』という問題が分かりません。e～1というのは定積分の範囲で*は乗です。
お願いします


4326．Re: 教えてください☆高２です
名前：ヨッシー    日付：11月10日(日) 10時15分
積分の範囲は １～ｅ ですね(下が１で上がｅ)。
また、べき乗は　^ で表すのが一般的です。(今回はことわり書きがあるので良いですが * は普通、掛け算の意味です。２＊３＝２×３)

私のページの「御質問に答えるコーナー」に解答を載せました。
　
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4327．(untitled)
名前：まり    日付：11月10日(日) 11時46分
詳しい説明ありがとうございます☆
別の問題なんですが、『f(x)＝（logx）＾２－log(x)で、lim(x→0＋0)f(x)・lim(x→∞）f(x)を求めよ。』という問題が分かりません(^_^;)あと、『y＝6x/x^2＋2と点（1,2)での接線で囲まれた部分の面積を求めよ。』という問題がわかりません・・・度々すいませんが教えてください

4328．Re: 教えてください☆高２です
名前：知也    日付：11月10日(日) 16時45分
前者は∞じゃないかと思うんですけど。後者は接線がf’(1)＝2/3だから接線はy＝2/3x+4/3で　2/3x+4/3=6x/(x^2+2) x=1 -4だから∫（‐4～１）（2/3x+3/4-6x/(x^2+2))dx=5/3+3log6 になったんですが…計算間違いおおありですね

4329．(untitled)
名前：まり    日付：11月10日(日) 17時56分
ありがとうございます☆
∞というのは、x→0＋0とx→∞のとき両方ですか？？？

4332．Re: 教えてください☆高２です
名前：ヨッシー    日付：11月11日(月) 9時4分
後者の方は、計算間違いないです＞＞知也さん
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4322．微分  
名前：π    日付：11月9日(土) 23時28分
微分のところで、y=e^(-x^2)を一回微分と、二回微分しないといけないところがあって、y'=-2xe^(-x^2)でｙ'=0よりｘ＝0となり、ｙ''=-2e^(-x^2)
y''=0よりｘ＝±1/√2 という答えになるんですが、どうして0と±1/√2になるのか、その途中計算がわからないんです・・・教えてください


4323．Re: 微分
名前：ヨッシー    日付：11月9日(土) 23時41分
y'=-2xe^(-x^2) において、e^(-x^2)＞0 なので、
　y'=0 となるのは、 -2x=0 よって、　x=0
y" は、正確には、
　d"=-2e^(-x^2)+4x2e^(-x^2)
　　=-2e^(-x^)(1-2x2)
より、(1-2x2)=0 より、x=1±1/√２
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

4321．(untitled)  
名前：アパシー    日付：11月9日(土) 16時59分
球を任意の点で切り取ったとき，切り取った半球の重心を和算によって求めるやり方を教えてください．面白そうなので手を出したはいいのですが三角形や半円のやり方がわかってもやはり球はわかりません．やっぱり細かく分割してΣして，極限を求めるんでしょうか？


4325．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：11月10日(日) 7時32分
どの範囲までの方法を和算と言われているかわかりませんが、
たとえば、三角形や半円の方法を紹介して下さい。
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4319．複素数平面  
名前：キング(高2)    日付：11月9日(土) 14時44分
(1)点αが点0に移る平行移動に続いて、実軸に関する対称移動をし、さらに点0が点αに移る平行移動をする時、点zが移る点をα、zを用いて表せ。
(2)点1を通り虚軸に平行な直線に関する対称移動によって、点zが移る点をzを用いて表せ。


4320．(2)で(1)を利用する解法
名前：占星術師    日付：11月9日(土) 15時16分
以下、zの共役複素数をconj(z)と表すことにします。
(1)　文章のままに式を作れば容易。答えはconj(z-α)+α
(2)　まず、全体を原点中心に90度回転します。すると、
zはizに移り、対称軸は点iを通り実軸に平行な直線に移ります。
続いて点izを-iだけ平行移動して実軸対称移動してiだけ平行移動して
（ここでは(1)の結果が利用できる）
さらに-90度回転して元に戻せばO.k.　以上より、式と答えは
(conj(iz-i)+i)*(-i)=2-conj(z)

(2)は、(1)にこだわらずz=x+yi（x,yは実数）と直交座標表示で考える手もあります。

4315．質問  
名前：三角    日付：11月8日(金) 23時6分
行列の問題の質問です。
「n を正の整数とするとき、A^n = 0 を満たす行列Aは正則でないことを証明せよ。」
ヨッシーさん、この問題の解き方を教えて下さい。
やはり A^n={A^(n-1)}･A を使うのでしょうか？


4316．Re: 質問
名前：ヨッシー    日付：11月8日(金) 23時28分
Ａが正則なら逆行列Ａ-1 が存在するはずですが、
これを　Ａn＝０ の右でも左でも、ｎ回掛けてやれば
どうでしょう？
　
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4303．平方根のもとめかた  
名前：てる（高校２年）    日付：11月8日(金) 15時23分
どうやって√2＝1.41421356...という答えを出しているんですか？公式があるんですか？
電卓に「√」のボタンがありますが、これは、電卓内でどういう計算をしているのですか？まさか、全通りの答えをプログラムしているんではないですよね。8桁表示電卓なら、小数点の位置も7箇所ずれるとして、999,999,999,999,999通りもの答えを入力しているということになりますね。電卓ってコンピューターと同じく、基本は加算と減算しかできないと思うので、例えば2の平方根を求める時、「2」と「√」というボタンしか押してないので、その入力情報の「2」という数字と加算と減算だけで、1.41421356...を導きだすことができるんですか？


4304．近似
名前：占星術師    日付：11月8日(金) 15時40分
正確な値ではなく、近似値でいいわけです。８桁表示電卓ならば、
小数第７位まで正確であればいいのかな。そのための方法として、
例えばニュートン法が知られています。単純な四則演算の反復のみで
近似値を求めるプログラムを組めます。微分法をご存知ならば、
例えばこちらのPageが参考になるかも。

4307．Re: 平方根のもとめかた
名前：SHARUL    日付：11月8日(金) 19時11分
手で求めることもできますよ。
例えば√２なら

<src="http://www4.synapse.ne.jp/sharul/kaihei.jpg">

このようにやります。(分かりにくくてごめんなさい^^;)

まず赤線のように小数点を中心に2桁ずつに区切ります。

次に一桁の整数のうち□*□をして、つまり
二乗して2を超えないもので最も大きいものを立てます。
左にも1を書きそのしたにも1を書きます。
図のように1と1をかけたものを2の下に書き、
普通の割り算と同じように引き算をします。
左に書いた1と1は足します。


次に2□*□を計算したとき100をこえない最も大きいものを立てます。
24*4=96となり100を超えないので4を立てます。
2の右にも4を書き下にも4を書きます。
24*4を計算したものを100の下に書きます。


どうようにして次のくらいには1が立ちます。


もし分からなければ聞いてください。

4309．Re: 平方根のもとめかた
名前：SHARUL    日付：11月8日(金) 19時16分

こんどこそどうだ!?

4310．Re: 平方根のもとめかた
名前：SHARUL    日付：11月8日(金) 19時18分
ごめんなさお。赤線で区切ってないですね...^^;忘れてました。
実際やるときは2桁ごとに区切ったほうがやりやすいです。

もし負担になるときは消してください＞管理人さん
勝手なことをしてすいません。

4311．Re: 平方根のもとめかた
名前：SHARUL    日付：11月8日(金) 19時19分
ああああ～もうめちゃくちゃだ。。。
ごめんなさお→ごめんなさい
の間違いです。

4314．Re: 平方根のもとめかた
名前：ヨッシー    日付：11月8日(金) 22時59分
私のページの「覚え書きコーナー」に「平方根の筆算」があります。
「立方根の筆算」もあります。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

4296．誰か教えて下さい  
名前：AIBO    日付：11月8日(金) 0時14分
(-2)の3乗　-　(-3の2乗)　÷　(-1)の3乗　＝?

(-5A)の2乗　×　(2A)の4乗　＝？


4297．Re: 誰か教えて下さい
名前：ヨッシー    日付：11月8日(金) 0時33分
(-2)3＝(-2)×(-2)×(-2)＝－８
-32＝-(3×3)＝－９
(-1)3＝(-1)×(-1)×(-1)＝－１

(-5A)2＝(-5A)×(-5A)＝25A2
(2A)4＝(2A)×(2A)×(2A)×(2A)＝16A4
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

4291．高校2年生です  
名前：アパシー    日付：11月7日(木) 17時1分
球を任意の点で切り取ったとき，切り取った半球の重心の求め方を教えてください．どうしてもわかりません．また半球の重心はどのように求めるのかもわかりません．おねがいします．


4298．Re: 高校2年生です
名前：ヨッシー    日付：11月8日(金) 1時18分
私のページの「御質問に答えるコーナー」に解答を載せました。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

4306．Re: 高校2年生です
名前：アパシー    日付：11月8日(金) 18時35分
詳しい説明をしていただきありがとうございました．
数学を勉強していて日本の和算のことを知りました．
和算でもこの問題を解くことができるらしいのですがまたしても解き方がわかりません．どのようにして解くのでしょうか．

4318．Re: 高校2年生です
名前：アパシー    日付：11月9日(土) 1時50分
> 球を任意の点で切り取ったとき，切り取った半球の重心を和算を使って求めるやり方を教えてください．面白そうなので手を出したはいいのですが三角形や半円のやり方がわかってもやはり球はわかりません．やっぱり細かく分割してΣして，極限を求めるんでしょうか？

4284．軌跡教えてください。  
名前：あっこ    日付：11月7日(木) 14時46分
平面上に定点A、Bが与えられているとする。点Pを、点Bから直線APに下ろした垂線の足をQとする時AP=BQとなるようにとるとき、点Pの軌跡は何か


4285．Re: 軌跡教えてください。
名前：ヨッシー    日付：11月7日(木) 16時17分

∠ＡＱＢ＝90°なので、ＱはＡＢを直径とする円上にあります。
図のように、Ａを原点、Ｂをｘ軸上に取り、ＡＢの垂直二等分線に対し
点Ｑと対称な点をＱ’とすると、ＡＱ’＝ＡＰ です。
一方、∠ＱＡＢ＝θとして、いろいろ調べると∠ＣＡＱ’＝θが導けます。
つまり、ＰはＱ’をｙ＝ｘに対して対称な点になるので、半円を描きます。

下半分についても同様です。


　
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4286．Re: 軌跡教えてください。
名前：ヨッシー    日付：11月7日(木) 16時21分
あと、ここで求めた点Ｐを、点Ａに対して対称に移動した点も、
条件を満たすので、結局、上下２つの円（ただし、点Ａを除く）が、
最終的な答えとなります。
　
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4312．Re: 軌跡教えてください。
名前：あっこ    日付：11月8日(金) 21時59分
なるほどー。自分でも考えてみます。どうもありがとうございました。

4283．二次関数の問題です。  
名前：ＫＡＮＡ高校２です。    日付：11月7日(木) 13時44分
（問題）
等式４χｙ＝（χ＋ｙ）2乗－（χ－ｙ）2乗が成り立つ
これを用いて、ａ＞０、ｂ＞０、ａｂ＝１のとき２ａ＋ｂの最小値を求めよ

どのようにして考えれば良いんでしょうか？詳しい解法をよろしくお願いします。


4287．Re: 二次関数の問題です。
名前：ヨッシー    日付：11月7日(木) 16時30分
１行目さえなければ、a=1/b より、2a+b=2/b+b≧2√2 （相加相乗平均より)　なのですが．．．
もう少し考えます。
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4289．Re: 二次関数の問題です。
名前：ヨッシー    日付：11月7日(木) 16時35分
あ、わかった。
（２ａ＋ｂ）2－（２ａ－ｂ）2＝８ａｂ＝８
とするんですね。
（２ａ＋ｂ）2＝８＋（２ａ－ｂ）2
であり、２ａ－ｂ＝０ のとき、（２ａ＋ｂ）2が最小。
すなわち、２ａ＋ｂ（＞０） が最小。
　
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4280．よろしくお願いします♪♪  
名前：美穂（高１です）    日付：11月7日(木) 11時55分
（問題）
定数ａは３／４＜ａ＜１である。ａ≦χ≦ａ＋１における二次関数ｆ(χ)＝－χ2乗＋４ａχ－４ａ＋１の最大値、最小値をａを用いて表せ。

定数ａは３／４＜ａ＜１である；条件が付いた場合の場合分けはどのようにして考えれば良いんでしょうか？詳しい解答よろしくお願いします。


4290．Re: よろしくお願いします♪♪
名前：ヨッシー    日付：11月7日(木) 16時50分
ａ＝３／４　と　ａ＝１　はｘの定義域に含まれていないところがミソです。
試しに、ａ＝３／４のときの　y=f(x) のグラフと ａ≦χ≦ａ＋１ の位置、
ａ＝１ のときの　y=f(x) のグラフと ａ≦χ≦ａ＋１ の位置を描いてみましょう。
３／４＜ａ＜１ はその間になるわけですが、最大値、最小値の現れ方は
１通りであることがわかります。
つまり、「場合分け不要」です。

ヒント　－ｘ2＋４ａｘ－４ａ＋１＝０ はきれいに解けます。
　　　　　→グラフが描きやすい
　
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4278．逆行列の求め方  
名前：大学1年    日付：11月7日(木) 1時11分
　1　1　　　1　　　―①　
A=1　ω　　ω＾2　　―②
　1　ω＾2　ω　　　―③
（ω＾3＝1　　ω≠1）
の3次正方行列の逆行列を求めよという問題がわかりません。
ωはｘ＾3-1＝0の解の一つで、（ｘ-1）（ｘ＾2+ｘ+1）＝0と因数分解でき、ω≠1よりｘ＾2+ｘ+1＝0の解がωなので、ω＾2+ω+1＝0
①+③、②+③として
　　　　　1　1　1　　　1　　0　　0　　　
（A,E）＝1　ω　ω＾2　　0　　1　　1
　　　　　1　0　0　　1/3　1/3　1/3
となったんですがここからどうやっても左側のωを消すことができません。
どうすればいいのか教えてください。


4282．とりあえず一言
名前：占星術師    日付：11月7日(木) 13時35分
左側が単位行列になるように基本変形をしなければいけないのに、
3×3成分を0にするような操作をするのは無意味でしょう。

4292．Re: 逆行列の求め方
名前：ヨッシー    日付：11月7日(木) 17時13分
よそのページですがこんなの見つけました。
　
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4294．Re: 逆行列の求め方
名前：大学1年    日付：11月7日(木) 22時21分
3×3成分を0にしても入れ替えて1×1成分に持ってくればいいじゃないですか。
基本的なやり方は分かってるんですがωがなかなか左側から消えてくれずに困っています。

4295．Re: 逆行列の求め方
名前：大学1年    日付：11月7日(木) 22時24分
1行目と3行目を入れ替えるということをすれば1行目は　1　0　0
になるでしょう。

4299．Re: 逆行列の求め方
名前：諏訪冬葉    日付：11月8日(金) 4時16分
丁度(1 0 0)の行があることですし

100
0ab
0cd

の形に変形すればいいのでは？

4300．Re: 逆行列の求め方
名前：あや    日付：11月8日(金) 6時35分
＞ωはｘ＾3-1＝0の解の一つで、（ｘ-1）（ｘ＾2+ｘ+1）＝0と因数分解で
＞き、ω≠1よりｘ＾2+ｘ+1＝0の解がωなので、ω＾2+ω+1＝0

って言うのを引用しまして，強引に解いてみました．ωは消えませんけど，一応逆行列を満たしていると思います．

解
1/3　1/3　1/3
1/3　1/3ω ω/3
1/3　ω/3　1/3ω

行列Aが対称行列でしたんで，強引にやってみました．

4301．Re: 逆行列の求め方
名前：大学1年    日付：11月8日(金) 10時1分
答えは
　　　　1　　1　　1
1/3*　　1　ω＾2　ω
　　　　1　　ω　ω＾2
になるらしいんです。
左にωがどうしても一つだけ残ってしまうんです。

4302．すみません＆他の方法なら…
名前：占星術師    日付：11月8日(金) 15時18分
なるほど。それなら、行を入れ替えた形で経過を書いて欲しかったとは
思いますが、4282の表現は不適切だったかもしれません。失礼しました。
掃き出し法でやる場合は、地道に、まずは“左側”を三角化、
次いで対角化するのが原則だと思います。基本変形が正しくできれば、
左はちゃんと([1,0,0][0,1,0][0,0,1])になり、
右側にはちゃんと答えの逆行列が現れるはずなので、「残ってしまうんです」
と言われても、「ちょっとしたミスがあるのでは？」としか言えないです。

なお、本問は対称行列なので、掃き出し法よりも余因子行列を使う方が
楽ではないかと個人的には思います。
（あやさんはどんな方法で正解を出されたのでしょうか）

4305．>占星術師さん
名前：あや    日付：11月8日(金) 16時38分
う～ん．対称行列だから，逆行列も対称行列じゃなかったっけな～て感じでAA^-1＝Iを満たすように解きました．掃き出し法ですね．でも，ωが分母にあっちゃいけないんでしたっけ．不正解ですわ．

ps　占星術師さんって線形代数や行列に関して詳しいんですか？

4317．ωは
名前：諏訪冬葉    日付：11月9日(土) 1時39分
あやさんの解答の一部を

1/3ω＝ω^2/3ωω^2=ω^2/3

と変形すればいいのでは？
（ω^3=1 を利用して有理化）

4276．空間の位置ベクトル  
名前：高校2年生    日付：11月6日(水) 23時12分
4点A(3,1,2),B(4,5,4),C(7,3,10),D(5,13/3,6)について、ADは△ABCの∠Aの2等分線であることを証明せよ。


4277．Re: 空間の位置ベクトル
名前：ヨッシー    日付：11月7日(木) 0時37分
角の二等分線の定理を使えばどうでしょう？
ＡＢ＝√21、ＡＣ＝2√21 なので、
ＢＣを１：２に分ける点Ｅを考えて、ＡＥとＡＤが一直線上にあることを言えばいいです。

でもって、解いていくうちに、あら不思議．．．

ベクトルで解くなら内積を使って、cos∠ＢＡＤとcos∠ＣＡＤを比較するんでしょう。
その前に点ＤがＡＢＣと同一平面にあることを言わないといけませんが。
　
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4255．(untitled)  
名前：知也    日付：11月5日(火) 21時20分
箱の中に赤玉が3個、白玉が7個ある。この箱から中を見ないで1個取り出し、赤玉が出たらそこでやめ、白玉が出たらまた1個取り出す。この試行を赤玉が出るまでくりかえします。（１）ｎ-1回目まで白玉が出てｎ回目に赤玉が出る確率Pnは？（２）その操作で赤玉をとりだすまでの回数の期待値Nは？


4264．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：11月6日(水) 9時32分
(1) たとえば、
n=6 だと、(7/10)(6/9)(5/8)(4/7)(3/6)(3/5)
n=7 だと、(7/10)(6/9)(5/8)(4/7)(3/6)(2/5)(3/4)
のように調べれば、規則性が見つかります。
答えは、7Ｐn-1×３/10Ｐn

(2) 「ｎ-1回目まで白玉が出て」という表現が、n=1 を許すのか微妙ですが、
「n回目に初めて赤が出る」と解釈します（すなわち n=1 を許す）。
すると、ｎは１～８ですから、(1)で求めた確率を、１つ１つ計算すれば出ます。
答えは　11/4
　
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4271．別の考え方（お初です）
名前：占星術師    日付：11月6日(水) 14時1分
(1)「赤球が出たらそこでやめ」に拘らず、10個の球を全部取る順に左から
１列に並べる方法は同種の球を区別せずに10C3通り。
このうち、n-1個目まで白でn個目が赤でさらに右の10-n個のうち２個に
赤が並ぶ場合は10-nC2通り。
よって確率は(10-n)(9-n)/240（もちろんヨッシーさんの答えと一致）

(2) Σ_[k=1,8]k(10-k)(9-k)/240を普通に計算。因みに、"平均的"には
こうなるはず、と考えれば計算抜きで答えの11/4を推測可能。

4253．(untitled)  
名前：知也    日付：11月5日(火) 21時14分
２×２の行列AがありA=(a,b) とするAの転置行列B=(a,c)
(c,d) (b,d)
においてAB=BAがなりたつようなAを全てもとめよ


4254．Re: (untitled)
名前：知也    日付：11月5日(火) 21時15分
すみません下の前者の上の前者。後者が後者で対応しています。

4258．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：11月5日(火) 21時50分
実際に掛けて要素を比較すると
　a2＋b2＝a2＋c2・・・(1)
　c2＋d2＝b2＋d2・・・(2)
　ac＋bd＝ab＋cd　・・・(3)
を得ます。(1)および(2)より　b＝±c
b=c のとき、(3) は常に成り立つ。
b=-c のとき　(3) より、c(a-d)＝c(d-a)　
よって、2c(a-d)　より　c=0 または a=d
以上より、
（ａ　ｂ）　（　ａ　ｂ）
（ｂ　ｄ）　（－ｂ　ａ）　のような形をした任意の行列。
　
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4252．(untitled)  
名前：知也    日付：11月5日(火) 21時11分
正の実数ｘ、ｙ、ｚがｘ＋ｙ＋ｚ＝１をみたすときx＾2+y＾2+z＾2≧1/3を示しなさい。という問題なんですが僕は偏微分でしか解けませんでした。高校の範囲ではどうとくのでしょうか？


4260．代数幾何的な証明（？）
名前：中川　幸一    日付：11月6日(水) 6時16分
x+y+z=1 と x2+y2+z2=1/3
を図示して考えてみてはどうでしょうか？

x+y+z=1 は x,y,z軸上の切片がそれぞれ 1 の平面の方程式を表している。
x2+y2+z2=1/3 は 原点を中心とした半径 1/√3 の球の方程式を表している。

また、x+y+z=1 の法線ベクトルは(1,1,1)=(1/3,1/3,1/3)であり、
これは x2+y2+z2=1/3 をみたすので、この平面と球は (1/3,1/3,1/3) で接していることが分かる。

よって、領域を図示すればこの不等式は明らかに成り立つ。
http://8318.teacup.com/math/bbs

4263．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：11月6日(水) 8時51分
結局
「平面 ｘ＋ｙ＋ｚ＝１ 上の任意の点（ｘ、ｙ、ｚ）と原点との距離の最小値は 1/√3 であることを示せ」
ということですね。
でも、これだと 正の数である必要なさそうですね。
　
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4267．対称性を崩してみたり...
名前：花パジャ    日付：11月6日(水) 10時42分
x2+y2+z2=x2+y2+(1-(x+y))2=2x2+2xy-2x+2y2-2y+1=2(x+(y-1)/2)2+3y2/2-y+1/2=2(x+(y-1)/2)2+3(y-1/3)2/2+1/3≧1/3　等号は...

4268．正の数である必要はないでしょうね
名前：花パジャ    日付：11月6日(水) 11時14分
x,y,zを解とする3次方程式　f(t)=t3-at2+bt-c　を考える
a=x+y+z=1であり、今
S=x2+y2+z2
とすると
S=(x+y+z)2-2(xy+yz+zx)=1-2b
より
b=(1-S)/2
となり
f(t)=t3-t2+(1-S)t/2-c
f'(t)=3t2-2t+(1-S)/2
である
f(t)の解がすべて実数であるためには少なくとも
f'(t)=0の判別式が負でないことが必要、つまり
4-4*3*(1-S)/2≧0
S≧1/3

等号に関しては、c=1/27とすれば、f(t)=(t-1/3)3から...

4269．Re: (untitled)
名前：1729    日付：11月6日(水) 11時54分
x2+y2+z2 = (x-1/3)2+(y-1/3)2+(z-1/3)2+(2/3)(x+y+z)-1/3
= (x-1/3)2+(y-1/3)2+(z-1/3)2+1/3
≧1/3

4270．エレガントな解答
名前：中川　幸一    日付：11月6日(水) 12時0分
3(x2+y2+z2)-(x+y+z)2=(y-z)2+(z-x)2+(x-y)2≧0 より
x2+y2+z2≧(1/3)(x+y+z)2=1/3
(等号は x=y=z=1/3のとき)
http://8318.teacup.com/math/bbs

4274．Re: (untitled)
名前：知也    日付：11月6日(水) 21時38分
x+y+z=1 f(x,y)=x^2+y^2+(1-x^2-y^2)=2(x^2+y^2-x-y+xy)+1とする。∂ｆ/∂ｘ＝２（２ｘ－１＋ｙ）　∂ｆ/∂ｙ＝２（２ｙ－１＋ｘ）でそれぞれが０になるときx=1/3 y=1/3 よってｚ＝1/3　（∂ｆ/∂ｘ∂ｙ）＾2－（∂ｆ/∂x∂ｘ）（∂ｆ/∂ｙ∂ｙ）＜０より極小値をとることはあきらか。ｆ（1/3,1/3)=1/3となるので不等式は成立する。等号はx=y=z=1/3　ではいけませんか？いまさら極小値≠最小値と言うことに気付いたのですが

4281．この問題の一般化について
名前：中川　幸一    日付：11月7日(木) 13時19分
この問題を一般化すると以下のようになります。
Σ[k=1,n]_ak=1
の条件の時
Σ[k=1,n]_(ak)2≧1/n
を証明せよ。

n=3までなら図形的解法やラグランジュ等の偏微分を用いた方が簡潔に早く解けますが、一般化させてしまうと厄介になってしまいます。

一般化した問題についての解法はコーシー・シュワルツの不等式を用いればすぐに分かります。

解答は
コーシー・シュワルツの不等式より
(Σ[k=1,n]_12)(Σ[k=1,n]_(a)2)≧(Σ[k=1,n]_1･ak)2=1 (∵条件よりΣ[k=1,n]_ak=1)
iff Σ[k=1,n]_(ak)2≧1/n
http://8318.teacup.com/math/bbs

4251．(untitled)  
名前：知也    日付：11月5日(火) 21時8分
次の連立方程式のすべての解をもとめよ。ｘ√（1‐y＾2）＝1/2√（１－x＾2*y＾2）　ｙ√（1-x＾2）＝√｛(1-x＾2*y＾2）/2}をお願いします


4262．Re: (untitled)
名前：中川　幸一    日付：11月6日(水) 6時51分
x√(1-y2)=1/2 √(1-x2y2)……(1)
y√(1-x2)=1/√2 √(1-x2y2)……(2)

(1), (2) の両辺を 2 乗して整理すると,
3x2y2-4x2+1=0……(3)
x2y2-2y2+1=0……(4)

(3), (4) より,
2x2-3y2+1=0……(5)

(3), (5) より,
3y4-5y2+2=(y+1)(y-1)(3y2-2)=0 iff y=-1, 1, -√(2/3), √(2/3)

ここで, (2) より x≠0 のとき y>0 なので,
y=-1, 1, √(2/3)
となる. これと (5) より求める解は,
(x,y)=(-1,-1)
=(-1,1)
=(1,-1)
=(1,1)
=(-√(1/2),√(2/3))
=(√(1/2),√(2/3))
となるが, (1) より y≠0 のとき x>0 なので,
(x,y)=(-√(1/2),√(2/3)) は不適になる。

∴
(x,y)=(-1,-1)
=(-1,1)
=(1,-1)
=(1,1)
=(√(1/2),√(2/3))
http://8318.teacup.com/math/bbs

4249．(untitled)  
名前：知也    日付：11月5日(火) 21時4分
３つのさいころA,B,Cがありでた目をそれぞれa、b、cとする。2次方程式ax^2+bx+c=0が(1)重解をもつ確率（２）２つの異なる実数解を持つ確率（２）解を持たない（虚数解をもつ）確率をもとめよ。を教えて下さい。


4257．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：11月5日(火) 21時40分
b2-4ac の正負(または０)を調べればいいのですが、
並べ立てるのが早いでしょう。
ｂが１～６それぞれについて、ａ×ｃの３６通りの中で何通り、正，０，負になるか調べます。
以下、b2-4ac が(正，０，負)の順に場合の数を表します。
ｂ＝１のとき：4acは最低でも４なので、すべての場合において負　(0,0,36)
ｂ＝２のとき：a=c=1 のとき０，他は負　(0,1,35)
ｂ＝３のとき：(a,c)=(1,1)(1,2)(2,1) のとき正、他は負　(3,0,33)
ｂ＝４のとき：(a,c)=(1,4)(2,2)(4,1) のとき０，それ未満の５通りで正、他は負　(5,3,28)
ｂ＝５のとき：(14,0,22) 説明省略(数えるだけです)
ｂ＝６のとき：(16,1,19)
合計 (38,5,173)
それぞれ、216で割って、約分すればＯＫです。設問の順序に注意！！
　
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4247．(untitled)  
名前：呆け人    日付：11月5日(火) 20時46分
また極限の問題です
lim[x→∞](√(x2+x-1)+ax+b=-1となるように
a,bの値を求めよ。
解答
a≧0のとき、…
a<0のとき、…
と場合分けをしていますがどうしてしているんですか。

lim[x→2-0](x-a)/(x2-4)の極限を求めよ
解答
a>2のとき（分子）＜０、分母→－０より　∞
a<2のとき（分子）＞０、分母→－０より　－∞
a=2のとき1/4
aを場合分けするということはピンと来ましたがその後（分子）と(分母）の説明がよくわかりません。


4265．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：11月6日(水) 10時24分
「場合分けをしていますがどうしてしているんですか。」と言われても、よくわかりません。
なぜなら、私はそうはしないからです。
第一、見るからに　a=-1 が必要条件のようですし。
　√(x2+x-1)+ax+b = x(√(1+1/x-1/x2)+a+b/x)
より、ｘ→∞ のとき √(1+1/x-1/x2)+a+b/x → 1+a
ですが、これが０でない値になると、それにｘを掛けたものは、必ず発散します。
よって、1+a=0 より、a=-1

以下は、のちほど。

２番目の問題は、例えばｘ→２ と言っても、
　1.9 1.99 1.999 1.9999 1.99999 のような近づき方と、
　2.1 2.01 2.001 2.0001 2.00001 のような近づき方があります。
ｘ→2-0 は上のような近づき方です。
で、分母→－０ というのは、「０に近づくけれども常に負の数である」つまり、
-0.1 -0.01 -0.001 -0.0001 -0.00001 のような近づき方をすると言うことです。
　
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4266．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：11月6日(水) 10時37分
なぜ、「のちほど」にしたかというと、上では、a=-1 を示すために簡略化した変形をしましたが、
実際には、極限値が -1 と与えられているので、それに向けた変形をする方が良いのです。
（その過程で a=-1 も示されます）
　√(x2+x-1)+ax+b の分子分母（分母は１）に
　√(x2+x-1)-(ax+b) を掛けて
　{(x2+x-1)-(ax+b)2}/{√(x2+x-1)-(ax+b)}
＝{(1-a2)x2+(1-2ab)x-(1+b2)}/{√(x2+x-1)-(ax+b)}
分母子 x で割ると
　{(1-a2)x+(1-2ab)-(1+b2)/x}/{√(1+1/x-1/x2)-(a+b/x)}
ｘ→∞ のとき 分母→ 1-a であり、この式自体がある値に収束するには分子の x の係数 (1-a2) が ０でなければなりません。
よって、1-a2=0 より a=±1 ですが、a=1 は分母が０になり不適です。
a=-1 および 1/x→０ のときの上式の極限値を求めると
　(1+2b)/2 = -1
よって、　b=-1.5
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

4275．Re: (untitled)
名前：呆け人    日付：11月6日(水) 21時49分
なるほど。よくわかりました。胸のつかえが取れました。
ありがとうございます♪

4243．(untitled)  
名前：呆け人    日付：11月5日(火) 17時53分
lim[x→1](x+2)/(x-1)2＝∞
簡単に出てますがこれはいかに。


4244．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：11月5日(火) 18時8分
一般に分数の形 A(x)/B(x) で、ｘ→ｎ のとき、
(1) A(n)≠0, B(n)≠0 → A(n)/B(n) に収束
(2) A(n)＝0, B(n)≠0 → ０に収束
(3) A(n)≠0, B(n)＝0 → 発散
(4) A(n)＝0, B(n)＝0 → いろいろな場合がある
です。
この場合、(3) に当たります。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

4246．Re: (untitled)
名前：呆け人    日付：11月5日(火) 20時38分
どうしてそうなるんですか？
lim[x→-1]x/(x+1)とかいうのならグラフを自分でも書けるのですが
この問題もグラフを書かなきゃわかりにくいんでしょうか。
それとも発散すると覚えた方がいいのかな？（できれば理解したいのですが）
グラフを書くとなればどう書けばいいのか教えてください。

4250．Re: (untitled)
名前：SHARUL    日付：11月5日(火) 21時7分
分母がゼロに近づくと言うことはそれだけ大きな数になるということです。
分子が０でない定数に近づく場合は。
たとえば
２/２→２/１→２/0.5→２/0.1→２/0.01→…→２/0.000000000001と
考えていくとどんどん∞に発散しますね。

4273．Re: (untitled)
名前：呆け人    日付：11月6日(水) 21時33分
あああそうか。わかりました。

4239．お久しぶりです　解けなくて困っています。  
名前：melonpan    日付：11月4日(月) 23時22分
<問題>nを正の整数とする,xy平面上の点の集合　Dn=｛(x,y)|x,yはともに整数で,不等式x/n＋y≦3,x≧0,y≧0をみたす｝が与えられ,Dnの要素の個数とf(n)と表す。次の各問いに答えよ。
(1)f(1)を求めよ。
(2)f(n)をnで表せ。
(3)Dnの各点(x,y)に対して、座標の積xyの総和をSnとするときSnをnで表せ。


4241．Re: お久しぶりです　解けなくて困っています。
名前：ヨッシー    日付：11月5日(火) 1時47分

図より、
(1) f(1)=10
(2) n が１増えると点の数は６増えるので
　f(n)=6n+4
(3) y=1 と y=2 のところだけ考えればいいので、
　Sn=1×(1+2+3+・・・2n)＋2×(1+2+3+・・・2n)=n(3n+2)
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

4259．Re: お久しぶりです　解けなくて困っています。
名前：melonpan    日付：11月5日(火) 22時43分
ありがとうございました。参考になりました。

4237．図をかかなくて面倒だとは思いますが教えてください・・。  
名前：おれんじ☆（中３）    日付：11月4日(月) 21時19分
x2+x-1=0を満たすx（ただしx>0）の長さの線分ＡＢを下記の直線ＡＰ上（５cmの直線）に作図したい。どのようにしたらいいか考え方や作図の手順をのべ、作図せよ。ただし４，５cmを１とする。


4240．Re: 図をかかなくて面倒だとは思いますが教えてください・・。
名前：ヨッシー    日付：11月5日(火) 1時28分
ｘが２次方程式で与えられているということは、これを解いて
　ｘ＝(√5－１)/２
を作図せよということでしょうか？
それなら、

このように、１×２の長方形の対角線が√５であることを利用して
ＡＤ＝√５、ＤＥ＝１となるように取り、
ＡＥの中点Ｆを作図すれば、ＡＦが求める長さになるので、それをＡＰ上に
移します。

ただーし！
たぶん、２次方程式を解くのではなく、図形的にｘの長さを求めるという意図なので、
点Ｐで線分ＡＰに接する半径0.5（直径１）の円を描き、円の中心ＣとＡを結び、
直線ＡＣと円との交点（Ａに近い方）をＥとすると、ＡＥが求める長さｘになります。


考え方は、ｘ^2＋ｘ＝１　より、ｘ（ｘ＋１）＝１＝１2　を、
方べきの定理に当てはめれば、
　ＡＥ＝ｘ、ＥＤ＝１、ＡＰ＝１
なので、ＡＥ（ＡＤ）＝ＡＰ2 が成り立ちます。
　
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4313．Re: 図をかかなくて面倒だとは思いますが教えてください・・。
名前：おれんじ☆（中３）    日付：11月8日(金) 22時45分
ありがとうございました。とっても役に立ちました(*^_^*)

4236．はじめまして  
名前：SHARUL    日付：11月4日(月) 20時46分
ここすごいですね...
ハイレベルだ…あまりにむずかしそう…
面白そうだけどあまり時間とれないので受験がすんだらゆっくり
拝見させていただきます☆

それで、別の数学サイトでも質問したことがあるんですが、
ベクトルの内積の定義の出所っていうか、
内積ってものの意味がよくわからなくて...
ベクトルの式の展開をスカラーと同じようにできるっていう
道具...みたく考えていればいいのでしょうか？

あ、学年は高3です。


4242．Re: はじめまして
名前：ヨッシー    日付：11月5日(火) 2時0分
いらっしゃいませ。
メールアドレスからすると、ＳＭ関係の方でしょうか？
違ってたらごめんなさい。

内積の出所ということはわかりませんが、物理などで出てくるのは
床面とθの角度でＦの力で引っ張ったときの仕事量などで使いますね。
また、電解中を移動する電荷の受ける力とか（曖昧）

（図はイメージです）
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

4248．Re: はじめまして
名前：SHARUL    日付：11月5日(火) 21時4分
...Kanonの月宮あゆからとっているんですが…
SMみたいですか？ははは、、、

物理についてはきいたことありました。
やっぱり内積ってどうも捕らえどころの難しいものみたいですね。。。

4256．Re: はじめまして
名前：ヨッシー    日付：11月5日(火) 21時22分
あ、そっち方面のページから来た人でなければ、ＳＭと言われると
びっくりしますよね？
ちなみにここでいうＳＭは Sailor Moon のことです。

↓こちら参照
http://www.geocities.co.jp/Playtown-Dice/5061/

4272．Re: はじめまして
名前：SHARUL    日付：11月6日(水) 19時18分
セーラームーンでしたか...
なるほどなるほど。。。
わたしの勘違いでした(^_^;)

4279．Re: はじめまして
名前：花パジャ    日付：11月7日(木) 8時31分
ベクトル同士の積では、内積(スカラー積)と外積(ベクトル積)とがありますが、内積は捕らえどころの(ない)難しいものに感じます?

ベクトルaとbとの積について
例えばaの側から考えて、bの自分と同じ方向の成分(射影)に関する積が内積です。
ヨッシーさんの絵を利用すると、重い物に綱を繋いで引っ張る時に、θが大きな状態で引っ張るより、θを0に近づけて引っ張った方がいいのは、経験上明らかかと思います(極端には上に持ち上げる力をかけても前には進まない)。そうした経験を数値化する際に、射影成分を抽出した積の考え方が出て来た、ちゅうことかと思います。

外積の方がわかりにくいように思うけど...

4293．Re: はじめまして
名前：SHARUL    日付：11月7日(木) 19時56分
外積もあまりよくわかりませんが。。。(笑)
外積は平面のベクトルでは定義されないんでしょうか？
空間のベクトルの外積は知ってるんですが。。。

4229．この問題の解き方（証明方法も）教えて下さい  
名前：桜（高2）    日付：11月3日(日) 15時30分
【ベクトル】

四角形ＡＢＣＤの２辺ＡＢ、ＢＣの中点をそれぞれＭ、Ｎとし
３つの線分ＡＢ、ＭＮ、ＤＣを２：３の比に内分する点をそれぞれＰ、Ｑ、Ｒとすると、
３点Ｐ、Ｑ、Ｒは同じ直線上にあることを証明せよ。


4230．Re: この問題の解き方（証明方法も）教えて下さい
名前：ヨッシー    日付：11月3日(日) 21時50分
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの位置ベクトルをａ，ｂ，ｃ，ｄ とし、
Ｍ，Ｎ，Ｐ，Ｑ，Ｒ の位置ベクトルを ａ，ｂ，ｃ，ｄ で表します。

最終的に３点Ｐ、Ｑ、Ｒは同じ直線上にあることを示すには、
　ＰＲ＝ｋＰＱ　（ｋは実数）
の形になることを言えばいいのですが、具体的には
　ＰＲ＝２ＰＱ
が示せるはずです。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

4227．糸口だけでも教えて欲しいです。  
名前：とし    日付：11月3日(日) 11時4分
二次元平面において、線形変換f をｙ 軸への正射影、線形変換g を直線 x y = に対する対
称移動、とする。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) 線形変換 f 、および線形変換 g を表す行列を示せ。
(2) 合成変換 f g o を表す行列を示せ。また、この合成変換によって点 (1, 2) が写像され
る点を求めよ。
(3) 合成変換 f g i o + を表す行列を示せ。ただし、i は恒等変換 (恒等写像) を表す。ま
た、この合成変換によって点 (1, 2) が写像される点を求めよ。


4228．Re: 三角関数について
名前：ＫＩＮ    日付：11月3日(日) 11時58分
問題を正確に書きましょう。
直線の式があやふやです。
合成写像(fоg)なのか(gоf)なのかがわかりません。

行列ということをまず考えずに、点(a,b)はfによりどのように移るか、
gによりどのように移るかを書いて見ましょう。

正射影、恒等写像の意味は大丈夫ですよね。
まぁ、しっかり調べてください。
図を描くことも大事です。
http://kin.kissweb.jp/

4222．(untitled)  
名前：あき    日付：11月2日(土) 23時12分
(１)１，２，３，４，５の５枚のカードがある。この中から３枚を選んで３桁の整数を作る。このようにしてできる３桁の整数を加えるといくらになるか。
(２)５本のマッチ棒を平面状に並べてひし形を作る。マッチ棒のむきをかえることにより、全部で何通りできるか。ただし、回転して同じになるものは一通りとする。
(１)、(２)ともにさっぱり分かりません。教えてください。


4231．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：11月3日(日) 22時6分
(1) このような整数は　５×４×３＝６０ 個できる。
　一の位だけを見ると、１，２，３，４，５ が同じ数ずつ現れるので、
　一の位だけを足すと、（１＋２＋３＋４＋５）×１２＝１８０
　同様に十の位の合計１８００、百の位の合計１８０００
　１８０００＋１８００＋１８０＝１９９８０

(2)

このような置き方でしょうか？
Ｅのマッチ棒を図の向きに固定し、Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ それぞれ２通りの置き方があるので、
　２×２×２×２＝１６（通り）
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

4217．その2  
名前：トンボちゃん    日付：11月2日(土) 19時17分
OAベクトル=(2,-1,2),OBベクトル=(4,1,8)のなす角を2等分する単位ベクトルを求めよ。
(答え)　(√3/3、－√3/15、7√3/15)


4221．Re: その2
名前：ヨッシー    日付：11月2日(土) 21時20分
ＯＡと同じ方向の単位ベクトルＯＡ’を求める。
ＯＢと同じ方向の単位ベクトルＯＢ’を求める。
ＯＣ＝ＯＡ’＋ＯＢ’　とし、ＯＣと同じ方向の単位ベクトルが
求めるベクトルです。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

4225．Re: その2
名前：トンボちゃん    日付：11月3日(日) 7時28分
解けました。

4213．解き方を教えてくたさい。  
名前：トンボちゃん    日付：11月2日(土) 13時3分
3つの単位ベクトルaベクトル、bベクトル、cベクトルがあり、bベクトルとcベクトルは垂直、aベクトルとbベクトル、aベクトルとcベクトルのなす角はともに60°である。aベクトル＋xbベクトル＋ycベクトルの大きさが最小になるように実数x,yの値を定めよ。
(答え)x=-1/2,y=-1/2


4215．Re: 解き方を教えてくたさい。
名前：ヨッシー    日付：11月2日(土) 13時23分
|ａ＋ｘｂ＋ｙｃ| が最小
　←→|ａ＋ｘｂ＋ｙｃ|2 が最小
　←→(ａ＋ｘｂ＋ｙｃ)・(ａ＋ｘｂ＋ｙｃ) が最小

事前に |ａ|2、|ｂ|2、|ｃ|2、ａ・ｂ、ｂ・ｃ、ｃ・ａ を求めておきましょう。

太字はベクトル、「・」 はベクトルの内積を表します。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

4216．Re: 解き方を教えてくたさい。
名前：トンボちゃん    日付：11月2日(土) 16時36分
|aベクトル|²、|bベクトル|²、|cベクトル|²、aベクトル・bベクトル、cベクトル・aベクトルはどうやって求めたらいいんですか。
bベクトル・cベクトル=0っていうのはわかりますが。

4219．Re: 解き方を教えてくたさい。
名前：ヨッシー    日付：11月2日(土) 20時35分
内積の性質
　ａ・ｂ＝|ａ||ｂ|cosθ
　θはａとｂのなす角。

ひょっとして、こんなことは知っていて、単位ベクトルということを
見落としてるのかも。
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

4224．Re: 解き方を教えてくたさい。
名前：トンボちゃん    日付：11月3日(日) 7時15分
単位ベクトルっていうのを見落としていました。単位ベクトルだっていうのを考えるとちゃんと解けました。

4205．自作問題ですが・・・  
名前：かのん    日付：11月1日(金) 23時55分
左上の頂点がAの凸四角形ABCDがあります。
（Aから反時計回りにBCDです。）
AD=3,DC=8です。
今、辺BCの中点Eと頂点Dを結んだところ
ED=9となりました。
またEF=3 となるような点Fをとると
∠BFA=∠ADCとなりました。
凸四角形ABCDの面積はいくらですか？


4210．Re: 自作問題ですが・・・
名前：ヨッシー    日付：11月2日(土) 6時48分
点Ｆはどこに取りますか？
　
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4218．Re: 自作問題ですが・・・
名前：かのん    日付：11月2日(土) 20時9分
すみません。DE上です。

4232．Re: 自作問題ですが・・・
名前：ヨッシー    日付：11月3日(日) 23時11分
Ｆは△ＢＣＤの重心なので、ＢＦの延長はＣＤの中点Ｇを通る。
また、∠BFA=∠ADC より、四角形ＡＦＧＤは円に内接します。

逆に、半径６以上の円の円周上の一点Ｄから、同じ円周上の３点Ａ，Ｆ，Ｇを
　ＤＡ＝３，ＤＦ＝６，ＤＧ＝４
となるように取り、四角形ＡＦＧＤを作ると、条件に合う四角形ＡＢＣＤは
いくらでも作れ、面積も一意に決まりません。


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4238．Re: 自作問題ですが・・・
名前：かのん    日付：11月4日(月) 22時43分
ほんとだ。ありがとうございます。

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