問題は以下の通りです。
数列{A(n)}は以下の条件を満たす。
(1)初項 A(1)=1
(2)A(n)<A(n+1)
(3){A(n)}のどの３つを選んでも、それらが等差数列とならない。
このときの数列{A(n)}の一般項を求めよ。
1,2,4,5,7,・・・と実際に列挙し、{A(n)}の階差数列を調べてみたところ
何らかの法則性があるようにも見えたのですが、その階差数列の一般項も
結局出せないので、結論が出ていません。
高校のときに思い付いた問題なのですが、15年経った今もときどき思い出
してはアタックしてみるものの、視点を変えられないためか解けてません。
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4053．Re: どの３項でも等差数列を為さない数列 |
| 名前：みゆき 日付：10月13日(日) 17時24分 |
1,2,4,5,7,・・・で
1,4,7をとると等差数列になっています。
階差数列にどのような条件が必要か少しわかりかけた状態なので、数式の処理は少し考えてみます。結局わからないかも知れません。
1,2,4,5,10,11,22,23,・・・
nが奇数のとき
an=2an-1
nが偶数のとき
an=an-1+1
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4056．Re: どの３項でも等差数列を為さない数列 |
| 名前：みゆき 日付：10月13日(日) 18時17分 |
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条件がたらないので一意的に決まらなさそうです。
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4060．Re: どの３項でも等差数列を為さない数列 |
| 名前：Dollop 日付：10月13日(日) 23時8分 |
ヨッシーさん、みゆきさん早速の返答ありがとうございます。
>みゆきさん
7って・・・ ちゃんと列挙した紙を見るべきでした。 すみません。
実際は、1,2,4,5,10,11,13,14,28,29,・・・でした。
きちんと伝わるか心配ですが、列挙しているときは数値を１ずつ更新して
要素となるときは数列{A(n)}の項として採用します。
なので、
(4)A(n)とA(n+1)の間に条件(3)を満たす数が存在しない。
という条件になるでしょうか？（何か抜けているような気も・・・）
あと、条件の順序としては変ですが
(5)数列{A(n)}の全ての項は整数である。
も追加しておきます。
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4061．Re: どの３項でも等差数列を為さない数列 |
| 名前：C-D 日付：10月14日(月) 0時31分 |
>1,2,4,5,10,11,13,14,28,29,...
の各項から1を引くと
>0,1,3,4,9,10,12,13,27,28,...
で、これを3進法に直すと
>0,1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,...
まったく2が出てこない。
某所でこんな感じの問題が出題されていた記憶が（謎過？）
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4063．Re: どの３項でも等差数列を為さない数列 |
| 名前：キューダ 日付：10月14日(月) 2時9分 |
問題に、
「(2)、(3)の条件を満たすもののうち最小の自然数」
という条件を付け加えると、この数列はユニークに決定されると思います。
その階差数列をBnとすると、ｎを
ｎ=２k ３l ５m ...
のように素因数分解したときの２の累乗数ｋを用いて
Bn = (3k+1)/2
でＯＫだと思います。（実際に数列を作り、帰納的に出したものです。）
３進法に直して考えるC-Dさんの方法で、証明できそうですね。
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4070．Re: どの３項でも等差数列を為さない数列 |
| 名前：Dollop 日付：10月15日(火) 1時21分 |
C-Dさん、キューダさん返答ありがとうございます。
３進数表記ですか．．． 考えてもみなかったです。
で、実際に試してみたのですが、n-1の２進数表記とA(n)-1の３進数表記が
一致してます。（ひとまず n=35000まで<計算中>で、証明はまだです。）
これをきっかけにもう少し考えてみたいと思います。
キューダさんに書いていただいた方も検討してみます。
皆さんありがとうございました。また行き詰まったらアドバイス下さい。
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