受験生さんからの質問２

問題１
ｘ³＋ax＋b と ｘ²-２ｂｘ−ａ の最大公約数がx+1の時、この二つの多項式の最小公倍数を求めよ。

問題２
a,bは実数でa≠bとする。f(x)＝2x³+ax²+bx+1 と g(x)＝2x³+bx²+ax+1 とは、 a+bが（　　）の時、公約数x-（　　）をもつ。 またこの公約数でf(x)を割ると商のxの係数はa+（　　）となる。

解答１
　f(x)＝ｘ³＋ax＋b
　g(x)＝ｘ²-２ｂｘ−ａ
とおくと、条件より、f(-1)＝g(-1)＝０ なので、
　f(-1)＝−ａ＋ｂ−１＝０
　g(-1)＝−ａ＋２ｂ＋１＝０
これを解いて、
　ａ＝−３，ｂ＝−２
求める最小公倍数は、f(x)×g(x)÷(x+1) なので、
　 (ｘ³-3x−２)(ｘ²＋4ｘ＋３)÷(x+1)＝ｘ⁴＋3ｘ³−3ｘ²−11ｘ−６

解答２
公約数を　ｘ−ｍ とおくと、f(m)＝g(m)＝０ より、
　2m³+am²+bm+1＝０　・・・(1)
　2m³+bm²+am+1＝０　・・・(2)
(1)-(2) より
　(a-b)m²＋(b-a)m＝０
ａ≠ｂ より、両辺 a-b で割って
　m²−m＝０
これを解いて、
　ｍ＝０，１
ｍ＝０ は解になり得ないので、ｍ＝１のとき、
　f(1)＝g(1)＝ａ＋ｂ＋３＝０
よって、　ａ＋ｂ＝−３　であり、このとき公約数は　ｘ−１。
実際に、f(x) を x-1 で割ると、
　f(x)＝(x-1){2x²＋(a+2)x＋(a+b+2)}＋(a+b+3)
よって、商のｘの係数は ａ＋２。

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