じゃんけんの確率

ｎ人(ｎ≧２)でじゃんけんをする。各自のグー・チョキ・パーの出し方が
完全に無作為であるとき、あいこになる確率を求めます。

ｎ人がじゃんけんをして、
　全員同じモノを出してあいこになっている確率をＡn
　２種類のモノが出て勝負が付いている確率をＢn
　３種類のモノが出てあいこになっている確率をＣn
とします。
ここに、もう１人加わって、ｎ＋１人になったとき、
　Ａn は１：２の確率でＡn+1、Ｂn+1 になります。
　Ｂn は２：１の確率でＢn+1、Ｃn+1 になります。
　Ｃn は必ずＣn+1になります。
以上をまとめると、
　Ａn+1＝Ａn/３
　Ｂn+1＝２Ａn/３＋２Ｂn/３
　Ｃn+1＝Ｂn/３＋Ｃn
という漸化式になります。また、ｎ＝１のとき
　Ａ1＝１
　Ｂ1＝０
　Ｃ1＝０
であり、これを初期値とします。
Ａn は公比1/3の等比数列なので、
　Ａn＝1/３^n-1
よって、
　Ｂn+1＝２/３ⁿ＋２Ｂn/３
これが
　Ｂn+1＋ｍ/３ⁿ⁺¹＝２/３(Ｂn＋ｍ/３ⁿ)
の形に書けたとします。展開して
　Ｂn+1＝２Ｂn/３＋ｍ/３ⁿ⁺¹
よって、
　ｍ/３^n+1＝２/３ⁿ
となれば良いのであって、
　ｍ＝６
であることになります。
　Ｄn＝Ｂn＋６/３ⁿ＝Ｂn＋２/３^n-1
は、初項 ２、公比2/3 の等比数列なので、
　Ｄn＝２(2/3)^n-1
よって、
　Bn＝Ｄn−２/３^n-1＝(２ⁿ−２)/３^n-1
これは、勝負が付く確率なので、あいこになるのは、
　１−Ｂn＝１−(２ⁿ−２)/３^n-1＝(３^n-1−２ⁿ＋２)/３^n-1
となります。
ちなみに、Ｃn は、
　Ｃn＝１−Ｂn−Ａn＝(３^n-1−２ⁿ＋１)/３^n-1
となります。

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